| Предисловие |
| ЧАСТЬ ПЕРВАЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ |
| Глава I. | Геометрия на прямой |
| | § 1. | Понятие вектора |
| | § 2. | Умножение вектора на скаляр |
| | § 3. | Векторы на прямой |
| | § 4. | Метод координат на прямой |
| | § 5. | Расстояние между двумя точками |
| | § 6. | Деление отрезка в данном отношении |
| | § 7. | Проективные однородные координаты на прямой |
| | § 8. | Модель проективной прямой |
| Глава II. | Метод координат на плоскости |
| | § 1. | Векторы на плоскости |
| | § 2. | Декартовы и аффинные координаты на плоскости |
| | § 3. | Деление отрезка в данном отношении |
| | § 4. | Скалярное произведение векторов |
| | § 5. | Расстояние между двумя точками |
| | § 6. | Преобразование координат |
| | § 7. | Преобразование начала |
| | § 8. | Преобразование координатных векторов |
| | § 9. | Общее преобразование координат |
| Глава III. | Уравнение геометрического места точек |
| | § 1. | Геометрический смысл уравнений |
| | § 2. | Уравнение окружности |
| | § 3. | Эллипс |
| | § 4. | Каноническое уравнение эллипса |
| | § 5. | Построение эллипса по точкам |
| | § 6. | Эллипс как проекция окружности |
| | § 7. | Гипербола |
| | § 8. | Каноническое уравнение гиперболы |
| | § 9. | Парабола |
| | § 10. | Построение параболы по точкам |
| Глава IV. | Общие теоремы об уравнениях линий на плоскости. |
| | § 1. | Уравнение, содержащее только одну текущую координату |
| | § 2. | Точка пересечения двух линий |
| | § 3. | Инварианты преобразования координат |
| | § 4. | Классификация линий на плоскости |
| | § 5. | Геометрический смысл порядка кривой |
| | § 6. | Уравнение, левая часть которого разлагается на множители |
| | § 7. | Пучок линий |
| | § 8. | Полярная система координат |
| Глава V. | Линии первого порядка |
| | § 1. | Нормальное уравнение прямой |
| | § 2. | Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду |
| | § 3*. | Уравнение первой степени в косоугольной системе координат |
| | § 4. | Уравнение прямой с угловым коэффициентом |
| | § 5. | Уравнение прямой в отрезках |
| | § 6. | Исследование уравнения прямой |
| | § 7. | Построение прямой по заданному уравнению |
| | § 8. | Расстояние точки от прямой |
| | § 9. | Угол двух прямых |
| | § 10. | Условие параллельности |
| | § 11. | Условие перпендикулярности |
| | § 12. | Уравнение прямой, проходящей через заданную точку по заданному направлению |
| | § 13. | Уравнение прямой, проходящей через две точки |
| | § 14. | Условие расположения трех точек на одной прямой |
| | § 15. | Точка пересечения двух прямых |
| Глава VI. | Прямая на проективной плоскости |
| | § 1. | Однородные координаты |
| | § 2. | Проективная плоскость |
| | § 3. | Несобственные элементы расширенной плоскости |
| | § 4. | Исследование уравнения прямой. |
| | § 5. | Точка пересечения двух прямых |
| | § 6. | Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки |
| | § 7. | Пучок прямых |
| | § 8. | Аналитические точки и действия над ними |
| | § 9. | Проективные координаты на плоскости |
| | § 10. | Проективные координаты на расширенной плоскости |
| Глава VII. | Общие сведения о кривых второго порядка |
| | § 1. | Общее уравнение кривой второго порядка |
| | § 2. | Определение кривой второго порядка пятью точками |
| | § 3. | Пересечение кривой второго порядка с прямой. Касательная |
| | § 4. | Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптота |
| | § 5. | Несобственные точки кривой второго порядка |
| Глава VIII. | Проективные свойства кривой второго порядка |
| | § 1. | Сложное отношение четырех точек на прямой |
| | § 2. | Сложное отношение четырех прямых одного пучка |
| | § 3. | Гармоническая четверка |
| | § 4. | Полярная сопряженность точек относительно кривой второго порядка |
| | § 5. | Полярная форма |
| | § 6. | Поляра |
| | § 7. | Касательная |
| | § 8. | Поляры внешних и внутренних точек |
| | § 9. | Полярно сопряженная пара прямых |
| | § 10. | Вырождение полярного соответствия |
| | § 11. | Вырождение полярного соответствия с понижением ранга дискриминанта D до единицы |
| | § 12. | Вырождение кривой второго порядка на расширенной плоскости |
| Глава IX. | Аффинные свойства кривой второго порядка |
| | § 1. | Проективные, аффинные и метрические свойства геометрических образов |
| | § 2. | Центр кривой второго порядка |
| | § 3. | Кривые второго порядка с неопределенным центром |
| | § 4. | Диаметр кривой второго порядка |
| | § 5. | Сопряженные диаметры |
| | § 6. | Условие сопряженности двух направлений k и k' |
| | § 7. | Асимптоты |
| | § 8. | Построение кривой по заданной паре асимптот |
| | § 9*. | Пучок линий второго порядка |
| | § 10*. | Уравнение пары асимптот |
| Глава X. | Метрические свойства кривой второго порядка |
| | § 1. | Главные направления |
| | § 2. | Кривые с неопределенными главными направлениями |
| | § 3. | Характеристическое уравнение |
| | § 4. | Инвариантность корней характеристического уравнения |
| | § 5. | Инварианты кривой второго порядка |
| Глава XI. | Канонические уравнения кривых второго порядка |
| | § 1. | Автополярный треугольник |
| | § 2. | Канонические уравнения кривых второго порядка в проективных координатах |
| | § 3. | Канонические уравнения кривых второго порядка в аффинных координатах |
| | § 4. | Канонические уравнения кривых второго порядка в декартовых координатах |
| | § 5. | Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду |
| | § 6*. | Инвариантные характеристики различных типов линий второго порядка |
| Глава XII*. | Фокальные свойства кривой второго порядка |
| | § 1. | Ортогональная инволюция полярно сопряженных прямых пучка |
| | § 2. | Мнимые касательные из фокуса к кривой |
| | § 3. | Уравнение кривой второго порядка, отнесенной к фокусу. |
| | § 4. | Эксцентриситет кривой второго порядка |
| | § 5. | Число фокусов кривой второго порядка |
| | § 6. | Фокусы центральных кривых второго порядка |
| | § 7. | Фокусы параболы |
| ЧАСТЬ ВТОРАЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ |
| Глава I. | Метод координат в пространстве |
| | § 1. | Координаты вектора |
| | § 2. | Аффинная и декартова (прямоугольная) системы координат |
| | § 3. | Угол двух векторов |
| | § 4. | Расстояние между двумя точками |
| | § 5. | Деление отрезка в данном отношении |
| | § 6. | Скалярное произведение трех векторов |
| | § 7. | Ориентация тройки векторов |
| | § 8. | Объем тетраэдра |
| | § 9. | Векторное произведение |
| | § 10. | Площадь треугольника по координатам вершин |
| Глава II. | Преобразование координат |
| | § 1. | Преобразование начала |
| | § 2. | Преобразование координатных векторов |
| | § 3. | Определитель прямоугольного преобразования |
| | § 4*. | Эйлеровы углы |
| | § 5. | Инвариант преобразования аффинных координат |
| Глава III. | Общие теоремы относительно уравнений геометрического места точек |
| | § 1. | Уравнение геометрического места точек |
| | § 2. | Уравнение сферы |
| | § 3. | Уравнение между двумя координатами |
| | § 4. | Уравнения линии |
| | § 5. | Классификация поверхностей |
| | § 6. | Распадение поверхности |
| | § 7. | Пучок поверхностей |
| | § 8. | Связка поверхностей |
| Глава IV. | Плоскости в эвклидовом пространстве |
| | § 1. | Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданному вектору |
| | § 2. | Нормальное уравнение плоскости |
| | § 3. | Приведение уравнения плоскости к нормальному виду |
| | § 4. | Расстояние точки от плоскости |
| | § 5. | Уравнение плоскости в отрезках |
| | § 6. | Построение плоскости по ее уравнению |
| | § 7. | Угол двух плоскостей |
| | § 8. | Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки |
| Глава V. | Прямые в эвклидовом пространстве |
| | § 1. | Уравнения прямой |
| | § 2. | Прямая, проходящая через две точки |
| | § 3. | Приведение системы уравнений прямой к каноническому виду |
| | § 4. | Угол двух прямых |
| | § 5. | Угол прямой и плоскости |
| | § 6. | Условие расположения прямой в плоскости |
| | § 7. | Плоскость, проходящая через точку и прямую |
| | § 8. | Условие пересечения двух прямых |
| | § 9*. | Дважды векторное произведение трех векторов |
| | § 10*. | Теорема Лапласа |
| | § 11*. | Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми |
| | § 12*. | Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую |
| Глава VI. | Проективное пространство |
| | § 1. | Однородные координаты точки |
| | § 2. | Проективное пространство |
| | § 3. | Расширенное эвклидово пространство |
| | § 4. | Точка пересечения трех плоскостей |
| | § 5. | Условие, что четыре точки лежат в одной плоскости |
| | § 6. | Аналитические точки |
| | § 7. | Проективные координаты |
| | § 8. | Проективные координаты в расширенном пространстве |
| | § 9. | Преобразование проективной системы координат |
| | § 10. | Конус |
| | § 11. | Пучок и связка плоскостей |
| Глава VII*. | Проективные и аффинные, преобразования пространства |
| | § 1. | Проективные преобразования пространства |
| | § 2. | Аналитическое представление проективного преобразования |
| | § 3. | Группа проективных преобразований |
| | § 4. | Проективная геометрия |
| | § 5. | Группа аффинных преобразований |
| | § 6. | Аффинная геометрия |
| | § 7. | Группа перемещений пространства |
| Глава VIII. | Общие свойства поверхностей второго порядка в проективном пространстве |
| | § 1. | Общее уравнение поверхности второго порядка |
| | § 2. | Пересечение поверхности с прямой |
| | § 3. | Пересечение поверхности с плоскостью |
| | § 4. | Эллиптические, гиперболические и параболические точки поверхности |
| Глава IX. | Теория полюсов и полярных плоскостей |
| | § 1. | Пара полярно сопряженных точек |
| | § 2. | Полярная форма |
| | § 3. | Полярная плоскость |
| | § 4. | Касательная плоскость |
| | § 5. | Вырождение полярного соответствия |
| | § 6. | Вырождение полярного соответствия с рангом дискриминанта, равным двум |
| | § 7. | Вырождение полярного соответствия с рангом дискриминанта, равным единице |
| Глава X. | Автополярный тетраэдр |
| | § 1. | Полярная сопряженность плоскостей и прямых |
| | § 2. | Автополярный тетраэдр I рода |
| | § 3. | Автополярный тетраэдр II рода |
| | § 4*. | Автополярный тетраэдр конической поверхности |
| Глава XI. | Канонические уравнения поверхностей второго порядка в проективном пространстве |
| | § 1. | Уравнение поверхности второго порядка, отнесенной к автополярному тетраэдру I рода |
| | § 2. | Каноническая форма уравнения поверхности второго порядка в проективном пространстве |
| | § 3*. | Сигнатура формы |
| | § 4*. | Внутренние и внешние точки поверхности |
| | § 5. | Классификация поверхностей второго порядка в проективном пространстве |
| | § 6*. | Классификация вырождающихся поверхностей |
| | § 7*. | Вырождение второй и третьей степени |
| | § 8. | Относительный инвариант преобразования проективных координат |
| Глава XII. | Аффинная теория поверхностей второго порядка |
| | § 1. | Несобственная кривая поверхности второго порядка |
| | § 2. | Классификация поверхностей второго порядка |
| | § 3. | Центр поверхности второго порядка |
| | § 4. | Координаты центра |
| | § 5. | Поверхности с неопределенным центром |
| | § 6. | Плоскость центров |
| | § 7. | Диаметральная плоскость |
| | § 8. | Уравнение диаметральной плоскости, сопряженной хордам данного направления |
| | § 9. | Диаметры поверхности второго порядка |
| | § 10. | Сопряженные диаметры |
| | § 11. | Условие сопряженности двух направлений |
| | § 12. | Тройка сопряженных диаметров |
| Глава XIII. | Канонические уравнения поверхностей второго порядка в аффинном пространстве |
| | § 1. | Канонические уравнения центральных поверхностей второго порядка в аффинной геометрии |
| | § 2. | Центральные поверхности второго порядка в декартовой косоугольной системе координат |
| | § 3. | Уравнение поверхности второго порядка, отнесенной к автополярному тетраэдру II рода |
| | § 4. | Канонические уравнения параболоидов в аффинной геометрии |
| | § 5. | Уравнения параболоидов в декартовой косоугольной системе координат |
| | § 6*. | Классификация вырождающихся поверхностей второго порядка в аффинной геометрии |
| | § 7. | Плоские сечения поверхности второго порядка |
| | § 8. | Параллельные плоские сечения поверхности 2-го порядка |
| | § 9*. | Асимптотический конус |
| | § 10*, Инварианты поверхности второго порядка относительно преобразования аффинной системы координат |
| | § 11*. | Прямолинейные образующие |
| Глава XIV. | Канонические уравнения поверхности второго порядка в эвклидовом пространстве |
| | § 1. | Характеристическое уравнение |
| | § 2. | Инвариантность корней характеристического уравнения |
| | § 3. | Теорема существования в случае трех простых корней |
| | § 4. | Теорема существования в случае равенства двух корней |
| | § 5. | Равенство трех корней характеристического уравнения |
| | § 6. | Канонические уравнения поверхностей второго порядка в эвклидовом пространстве |
| | § 7. | Инварианты преобразований декартовой прямоугольной системы координат |
| | § 8. | Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду |
| | § 9*. | Инварианты поверхностей, допускающих движение в себе |
| | § 10*. | Инвариантные характеристики поверхностей 2-го порядка |
| Глава XV. | Плоские сечения поверхности второго порядка |
| | § 1*. | Сечение поверхности второго порядка плоскостью |
| | § 2. | Сечения эллипсоида плоскостями, параллельными главным плоскостям |
| | § 3. | Сечения однополостного гиперболоида плоскостями |
| | § 4. | Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями |
| | § 5. | Сечения эллиптического параболоида плоскостями |
| | § 6. | Сечения гиперболического параболоида плоскостями |
| | § 7*. | Круговые сечения и циклические точки |
| | § 8*. | Круговые сечения центральных поверхностей 2-го порядка |
| | § 9*. | Круговые сечения эллиптического параболоида |
Настоящий курс составлен из лекций, читанных мною в течение
последних четырех лет на первом курсе Московского городского
педагогического института им.Потемкина.
Два соображения руководили мною при выборе метода изложения.
Первое относилось к самому содержанию курса. Аналитическая геометрия
в своей главной части содержит теорию кривых и поверхностей
второго порядка. Эту теорию нельзя изложить, оставаясь
в области собственных точек эвклидова пространства. Вместо того
чтобы, насилуя природу чисел, говорить в связи с асимптотами
о "бесконечно удаленных" точках, мне казалось проще ввести несобственные
точки, систематически пользуясь однородными координатами.
Второе соображение касалось специфической трудности аналитической
геометрии: обилия сложных выкладок и громоздких формул.
Мне кажется, что это в значительной части происходит от употребления
не свойственной задаче системы координат. Проективные свойства
фигур должны изучаться в проективных координатах относительно
координатного тетраэдра, аффинные – в аффинной системе координат
относительно произвольной тройки некомпланарных векторов, метрические – в декартовых координатах относительно прямоугольного трехгранника.
В этой схеме нет места декартовой косоугольной системе
координат. Мне кажется, она еще сохраняется в курсах аналитической
геометрии только по традиции. Отдавая дань этой традиции, я сохранил
ряд формул косоугольной системы в первой части аналитической
геометрии, но и там их можно опустить без всякого вреда.
Книга содержит в основном только тот материал, который был
прочитан в аудитории. Однако, в зависимости от состава слушателей
и целого ряда других причин, может возникнуть необходимость
сокращения его. Поэтому я отметил звездочкой те статьи и вопросы
различной ценности, которые можно опустить, не нарушая общей
структуры курса. В некоторых случаях под звездочкой помещены для
справок такие статьи, например эйлеровы углы, на которые имеется
только беглая ссылка в основном тексте.
В заключение считаю приятным долгом высказать мою глубокую
признательность профессору Д.И.Перепелкину, который прочел всю
книгу в рукописи и передал мне целую тетрадь больших и малых
замечаний, из которых некоторые были весьма существенны. Он же
мне сообщил замечание о характере вершин автополярного тетраэдра.
Фиников Сергей Павлович