Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики Изд. 2

---

ОГЛАВЛЕНИЕ				3
Введение				7
Литература к введению				10
Глава 1. Основные положения				11
§ 1. Уравнения Максвелла и вспомогательные понятия				11
1.1. Уравнения электродинамики				11
1.2. Дифференциальные операторы				13
§ 2. Дифференциальные операторы электродинамики				17
2.1. Электрические операторы LE				17
2.2. Магнитные операторы LH				19
2.3. Операторы Максвелла M				20
2.4. Заключительные замечания				22
§ 3. Вариационные принципы				23
3.1. Общие сведения				23
3.2. Функционалы для операторов Максвелла				26
3.3. Функционалы для магнитных операторов				32
3.4. Функционалы для электрических операторов				34
§ 4. Системы собственных функций				36
4.1. О вихревых и потенциальных собственных функциях				36
4.2. Приведенные операторы и их собственные функции				38
4.3. Квазивихревые подсистемы				41
4.4. Потенциальные подсистемы				41
4.5. Квазигармонические подсистемы				43
4.6. Заключение и выводы				46
§ 5. Ортогональные ряды				48
5.1. Полнота системы функций				48
5.2. О сходимости в частичной области				51
5.3. Электродинамический базис				53
5.4. Условия разложимости по вихревым и потенциальным подсистемам				55
5.5. Дифференцирование рядов Фурье				58
5.6. Порядок убывания коэффициентов Фурье				62
§ 6. Прямые методы				67
6.1. Вступительные замечания				67
6.2. Метод Галеркина				68
6.3. Метод Ритца				71
§ 7. Интегральные уравнения				73
7.1. Тензор Грина				73
7.2. Разложение тензора Грина по собственным функциям				76
7.3. Некоторые интегральные уравнения электродинамики				76
Приложение к гл. 1				80
П.1.1. Собственные векторные функции операторов Лапласа для цилиндрической области				80
П.1.2. Электродинамический базис для параллелепипеда				86
Литература к гл. 1				89
Глава 2. Прямые методы на основном базисе				90
§ 8. Свободные колебания резонаторов				91
8.1. Метод Галеркина для уравнений Максвелла				91
8.2. Обсуждение уравнений Галеркина — Ритца				95
8.3. Формальные варианты метода Галеркина				98
8.4. Применение оператора Максвелла				100
8.5. Метод Ритца				104
8.6. Закономерности алгебраизации				108
8.7. О несимметричных операторах второго порядка				111
8.8. О непосредственном обращении дифференциальных операторов				114
8.9. Применение поверхностных интегралов				116
§ 9. Свободные волны волноводов				118
9.1. Постановка задачи				118
9.2. Виды базисов				122
9.3. Метод Галеркина для объемной формулировки				127
9.4. Метод Галеркина для двумерной формулировки				130
9.5. Преобразование уравнений Галеркина — Ритца				133
9.6. Метод Ритца				136
9.7. Периодические волноводы				138
§ 10. Вынужденные колебания полых систем				141
10.1. Возбуждение нерегулярного резонатора				141
10.2. Применение оператора Максвелла				145
10.3. Описание вынужденных колебаний через свободные				147
10.4. Возбуждение поперечнонерегулярного волновода				149
§11. Рассеяние в полых системах				151
11.1. Средства описания волноводного трансформатора				151
11.2. Нахождение матрицы проводимости				155
11.3. Нахождение матрицы сопротивления				157
11.4. Алгоритмы с выделенным полем; матрица проводимости				160
11.5. Алгоритмы с выделенным полем; матрица сопротивления				164
11.6. Нахождение матрицы рассеяния				166
§ 12. Рассеяние в регулярном волноводе				169
12.1. Применение предыдущих результатов				169
12.2. Метод поперечных сечений; основные уравнения				174
12.3. Метод поперечных сечений; граничные условия				179
Приложение к гл. 2				184
П.2.1. О связи матриц Z,Y и R				184
П.2.2. Реактивный трансформатор				186
Литература к гл. 2				188
Глава 3. Прямые методы на вспомогательных базисах				189
§ 13. Способы представления поля				189
13.1. Базис расширенной области				189
13.2. Базис преобразованной области				192
13.3. Преобразование областей				195
§ 14. Представления в объемных областях				198
14.1. Общие соображения				198
14.2. Свободные колебания резонатора; магнитный алгоритм				200
14.3. Свободные колебания резонатора; другие алгоритмы				203
14.4. Волноводы и периодические системы				207
14.5. Вынужденные колебания и рассеяние в полых системах				211
§ 15. Представления на поверхностях				214
15.1. Общие соображения				214
15.2. Свободные волны и рассеяние в волноводе				217
Приложение к гл. 3. О криволинейных координатах				219
Литература к гл. 3				226
Глава 4. Теория возмущений				227
§ 16. Функционалы сравнения				227
16.1. Принцип сравнения				227
16.2. Общие функционалы сравнения для внутренних задач электродинамики				228
16.3. Возмущения свободных колебаний				230
16.4. Возмущения бегущих волн				233
16.5. Дифракционные возмущения				237
§ 17. Аппроксимация возмущенного поля				244
17.1. Постановка задачи				244
17.2. Квазистатическое приближение				246
17.3. Квазистатические формулы возмущения				250
17.4. Примеры задач				257
§ 18. Теория возмущений Рэлея — Шредингера и системы обыкновенных дифференциальных уравнений				271
18.1. Свободные колебания резонатора; представление индукций				271
18.2. Свободные колебания резонатора; представление напряженностей				274
18.3. Сведение задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений				278
18.4. Дальнейшие обобщения				284
Литература к гл. 4				288
Глава 5. Оценки функционалов				289
§19. Простые оценки собственных значений				290
19.1. Верхние границы собственных значений				290
19.2. Распространение выводов на электродинамические задачи				292
19.3. Вычисление собственных значений				296
19.4. Минимаксимальный принцип Куранта и его применения				304
§ 20. Итерационные оценки				309
20.1. Постановка задачи. Верхние границы собственных значений				309
20.2. Нижние границы и двусторонние оценки				312
20.3. Итерационный процесс для электродинамической задачи				313
20.4. Обоснование квазистатических формул возмущения				318
§ 21. Двусторонние оценки на основе спектрального представления оператора				322
21.1. Неравенство Като				322
21.2. Применение неравенства Като к электродинамическим задачам				325
21.3. Сравнение операторов и нижняя граница по Свирскому				331
21.4. Дальнейшие обобщения				333
§ 22. О задачах рассеяния				336
22.1. Вариационные принципы для задач рассеяния в полых системах				336
22.2. Об оценках параметров рассеяния				339
Литература к гл. 5				342
Глава 6. Вопросы обоснования прямых методов				343
§ 23. Вынужденные колебания и рассеяние				344
23.1. Предварительное рассмотрение				344
23.2. Вынужденные колебания резонатора				348
23.3. Рассеяние в волноводной системе (уравнения Галеркина — Ритца)				356
23.4. Рассеяние в волноводной системе (метод поперечных сечений)				361
§ 24. Свободные колебания и волны				366
24.1. Вводные соображения				366
24.2. Свободные колебания резонатора				368
24.3. Свободные волны волновода				374
24.4. Другое обоснование уравнений Галеркина — Ритца				376
Приложение к гл. 6				382
П.6.1. О непосредственном обосновании метода Ритца				382
П.6.2. О линейной независимости Нn(') (n(') = 1, 2, ... N(') )в V0				383
Литература к гл. 6				384
Глава 7. Примеры применения прямых методов				385
§ 25. Вычисление собственных частот резонаторов				386
25.1. Алгоритм на вихревом базисе				386
25.2. Алгоритм на полном базисе				399
§ 26. Вычисление постоянных распространения волноводов				409
26.1. Алгоритм на основе двумерной формулировки с удобным понижением порядка (основной базис)				409
26.2. Другие алгоритмы на основе двумерной формулировки (основной базис)				422
26.3. Алгоритм на основе объемной формулировки с использованием базиса расширенной области				427
§ 27. Нахождение матриц проводимости и рассеяния волноводных трансформаторов				439
27.1. Рассеяние в прямоугольном волноводе на гиротропном теле, I				439
27.2. Рассеяние в прямоугольном волноводе на гиротропном теле, II				445
27.3. Применение метода поперечных сечений				455
Литература к гл. 7				457
Заключение				459

---

Современная прикладная электродинамика, т. е. главным образом электродинамика полых систем (в частности, систем сложной формы, содержащих неоднородные анизотропные среды и пр.) и электродинамика весьма разнообразных антенных устройств, приводит к существенным трудностям математического, а точнее, вычислительного характера. Непосредственная причина лежит здесь, как это очевидно, в геометрической сложности соответствующих задач для уравнений Максвелла. Очень немногие простые задачи имеют решения, представимые в замкнутой форме, и это практически позволяет в ряде случаев лишь качественно судить о реальных устройствах. Между тем и в рассматриваемом круге явлений потребность количественного ответа на все вопросы, возникающие в физических исследованиях и особенно в инженерных разработках, возрастает вместе со сложностью технических проблем. Это не удивительно, если принять во внимание, что все более дорогим становится эксперимент, которым платят за незнание закономерностей, в принципе подлежащих дедуктивному выводу из уравнений Максвелла.

Хотя нахождение замкнутых решений для краевых задач электродинамики, адекватных практике, сейчас совершенно бесперспективно, это отнюдь не налагает запрета на дедуктивный подход. Действительно, данные задачи представляют обширное поле деятельности для так называемых «приближенных методов высшего анализа» (выражение заимствовано из [1]). В дальнейшем будет преимущественно употребляться термин прямые методы, а также вариационные методы, так как главная роль принадлежит здесь методам Галеркина — Ритца и аналогичным1). С их помощью представляющие интерес характеристики краевых задач — «решения» — получаются с закономерно возрастающей и в ряде случаев оцениваемой точностью. В настоящее время практическая значимость этих методов резко повысилась в связи с развитием и освоением быстродействующих вычислительных машин, которые становятся все более доступным и распространенным орудием.

В этой книге внимание будет сосредоточено на внутренних краевых задачах электродинамики, сопоставимых проблемам радиофизики и радиотехники СВЧ. Выделение их вполне оправдано не только самостоятельным прикладным значением, но и их математическими особенностями. Им присущи и некоторые общие трудности, происхождение которых определенным образом связано с невозможностью построения тензоров Грина в замкнутой форме. Приходится, таким образом, иметь дело исключительно с дифференциальными операторами. Спектральные свойства этих операторов достаточно специфичны, что обусловлено особой ролью потенциального подпространства векторных функций.

Универсальный подход к внутренним задачам электродинамики, а вместе с этим и отмеченные выше вопросы их теории до последнего времени почти не разрабатывались. Данное обстоятельство находит простое объяснение в том факте, что до развития быстродействующих вычислительных машин это не принесло бы практической пользы. Обычно в прикладной электродинамике стремились по возможности упростить и геометрически идеализировать исследуемую задачу еще в постановке, с тем чтобы для полученной таким путем модели действительного явления найти приближенное решение, доступное при простых вычислительных средствах; понятно, что основная ответственность при этом ложится на никак не оцениваемую «физическую аппроксимацию». Уместно подчеркнуть в связи с этим принципиальное значение современных вычислительных машин, которые стимулируют развитие и применение универсальных достаточно мощных алгоритмов для краевых задач, позволяющих избегать грубых упрощений в постановке последних. Благодаря этому электродинамической теории сообщается ранее недостижимая практическая ценность.

Вычислительные машины могут быть использованы для решения высокого порядка систем линейных алгебраических уравнений, а также систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Опираясь на этот факт, целесообразно строить прямые методы для краевых задач, которые бы сводили их к такого рода системам уравнений. Оба типа сведения в применении к внутренним задачам электродинамики уже нашли место в последних работах (см. библ. к гл. 2, 3 и 7). В данной книге большее внимание будет уделено «алгебраизации» краевых задач, основой которой является разложение неизвестного поля по векторным функциям.

Итак, в соответствии со своим основным назначением эта, книга включает изложение тех методов, идеальным прообразом которых можно считать разложение полей в ряды Фурье, переносящее рассмотрение из функционального пространства в пространство бесконечных последовательностей чисел. Особенность большинства построенных методов — представление электромагнитных полей в функциональных базисах, которые сами допускают электродинамическое толкование. В сущности, сложная электродинамическая система представляется в терминах систем более простых и аналитически изученных. Поэтому, например, всем матричным формулировкам задач нетрудно сопоставить определенные физические образы. Не останавливаясь здесь на вычислительном аспекте этого подхода, отметим, что совокупность полученных результатов составляет определенную концепцию электродинамической теории. Сюда входят алгебраические образы резонатора, волновода, рассеяния в волноводе и т. д.

Разложение полей по векторным функциям уже давно играет важную роль в прикладной электродинамике. Этот факт нашел отражение в ряде превосходных руководств [4—6]. В настоящей книге разложение по собственным функциям выступает как составная часть методов Галеркина и Ритца. Поэтому вместе с формулировками задач в виде уравнений поля и краевых условий каждый раз рассматривается эквивалентная вариационная формулировка. Польза такого «двойного» рассмотрения не только в большей принципиальной общности, но и в дополнительных возможностях обоснований и оценок.

Методы Галеркина и Ритца занимают в книге центральное положение, но не исчерпывают ее содержания. К другим вопросам, которым уделяется внимание, принадлежат оценки функционалов и теория возмущений. Последняя сохраняет значение в настоящее время по той причине, что по мере уменьшения возмущающего эффекта объем вычислений в методах Галеркина и Ритца в ряде случаев существенно возрастает, так что в квазистатической области некоторые методы теории возмущений оказываются гораздо эффективнее. Что касается оценок функционалов, то, несмотря на ограниченную пока сферу их применения, можно ожидать в будущем создания на их основе универсальных алгоритмов для внутренних задач электродинамики.

Книгу можно рассматривать как предварительный итог деятельности автора с группой сотрудников за последние годы, уже нашедшей отражение в ряде работ (см. библ. к главам). Однако в сравнении с уже имеющимися публикациями материал существенно углублен и расширен. Большая часть сообщаемых результатов не была ранее опубликована. Книга не является монографией обзорного характера: за исключением работ автора и его сотрудников, в ней нашли место лишь методологически наиболее близкие работы.

Книга написана главным образом для непосредственно заинтересованных лиц, т. е. для специалистов по радиофизике и радиотехнике СВЧ, а также прикладной электродинамике. Однако некоторые вопросы, видимо, могут заинтересовать и математиков, что будет способствовать дальнейшему развитию методов. Уровень изложения материала, конечно, лимитируется степенью разработки излагаемых вопросов. В то же время он в значительной мере определен общим направлением книги, и с этой точки зрения так называемый «физический уровень строгости» (примером является известная монография [7]) представляется более уместным в сравнении с чисто математическими нормами. В тексте используются некоторые элементарные понятия функционального анализа и вариационного исчисления, которые большей частью поясняются лишь кратко. Расширение этого материала, выходящего за рамки традиционного математического аппарата прикладной электродинамики, затруднило бы чтение книги для большинства заинтересованных лиц, и автор старался строить изложение так, чтобы основательная подготовка в указанной математической области не была безусловно необходимой. В качестве вспомогательного материала полезно по мере надобности привлекать книгу С. Г. Михлина [2], удачно сочетающую глубину и доступность. Классическая электродинамика и обычная теория полых систем предполагаются хорошо известными читателю (необходимый минимум сведений содержится в [8]).

За многочисленные дискуссии по вопросам книги и непосредственный вклад в работу (отмеченный в соответствующих местах текста) автор дружески признателен своим сотрудникам Д. И. Корниенко, В. П. Орлову и В. Г. Феоктистову, работникам ВЦ МГУ И. П. Котику и Ю. П. Никитину, а также ранее участвовавшему в работе В. Г. Сухову.

При работе над книгой автор обсуждал некоторые вопросы с А. Г. Свешниковым и участвовал в работе руководимого им семинара при ВЦ МГУ. За ценные замечания автор благодарен рецензентам книги А. Г. Свешникову и Б. 3. Каценеленбауму, а также участникам семинара.

---