|
Оглавление
 Введение.......................... 5 Глава I. Интеграл.................... 8 § 1. Интеграл Римана и ступенчатые функции......................... 8 1. Интеграл Римана (8). 2. Верхний и нижний интегралы (10). 3. Ступенчатые функции (13). 4. Множества меры 0 и множества полной меры (15). 5. Дальнейшие свойства ступенчатых функций (18). 6. Применения к теории интеграла Римана (20). 7. Инвариантное определение верхней и нижней функции и критерий Лебега (22). 8. Идея обобщения (23). Задачи (25) § 2. Общая теория интеграла.................................. 26 I. Элементарные функции и элементарный интеграл (2fi). 2. Множества меры 0 и множества полной меры (27). 3. Класс ? + и интеграл в нем (29). 4. Свойства интеграла в классе ?+ (30). 5. Класс ? и интеграл в нем (32). 6. Теорема Беппо Леви (34). 7. Теорема Лебега (37). 8. Вопрос о суммируемости предельной функции при сходимости почти всюду. Лемма Фату (39). 9. Теорема о полноте пространства ? (40). 10. Теорема Фубини (43) II. Знаконеопределенный интеграл (47). 12. Пространство суммируемых функций для знаконеопределенного интеграла (51). 13. Другие возможные разложения (52) § 3. Интеграл Лебега в n-мерном пространстве............................. 53 1. Соотношение между интегралом Римана и интегралом Лебега (53). 2. Несобственный, интеграл Римана п интеграл Лебега (54). 3. Теорема Фубини для функций нескольких переменных (56). 4. Непрерывные функции как элементарные функции с интегралом Римана как элементарным интегралом (58). Задачи (61) Глава II. Интеграл Стилтьеса.......................... 63 § 4. Интеграл Римана — Стилтьеса..................................... 63 1. Брусы и листы -(63). 2. Квазиобъемы (65). 3. Квазпдлнна и производящая функция (67). 4. Интеграл Римана — Стилтьеса (69). 5. Предельные теоремы (74). 6. Применения в анализе (78). 7. Структура квазиобъема с ограниченным изменением (80). 8. Описание других возможных разложений (82). 9. Формулы для положительного, отрицательного и полного изменения (83). 10. Случай л = 1; теорема Жордана (85). Задачи (86) § 5. Интеграл Лебега — Стилтьеса................................. 88 1. Определение интеграла Лебега—Стилтьеса (88). 2. При-меры (90). 3. Интеграл Лебега—Стилтьеса для квазнобъема с ограниченным изменением (93). 4. Интеграл Римана—Стилтьеса как общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве непрерывных функций (95). 5. Соотношение между квази-объемами О и о (97). 6. Непрерывные квоэиобъемы (100). 7. Каноническое разложение непрерывного квазиобъема а и каноническое разложение функционала 1а (102). 8. Эквивалентные квазиобъемы (103). 9. Построение интеграл! Лебега — Стилтьеса на основе ступенчатых функций в качестве элементарных (106). Задачи (108) Глава III. Мера..........................................110 § 6. Измеримые функции и измеримые множества..............................110 1. Измеримые функции (ПО). 2. Измеримые множества (113). 3. Теорема о счетной аддитивности меоы (114). 4. Аксиомы Стона (116) 5. Характеристика измеримых функций в терминах меры (117) 6. Определение интеграла Лебега по Лебегу (119). 7. Интегрирование по измеримому подмножеству (120). 8. Мера на произведении множеств (123). 9. Пространство Lp (124). Задачи (129) § 7. Конструктивная теория меры.......................................131 1. Полукольца подмножеств (131). 2. Подпространство, порожденное совокупностью характеристических функций (133). 3. Достаточное полукольцо (134). 4. Вполне достаточное полукольцо (138). 5. Верхняя мера и критерии измеримости (14)). 6. Мера на n-мерном брусе. Примеры (Ь2). 7. Мера Лебега при л = 1 (146). Задачи (147) § 8. Аксиоматическая теория меры.........................148 1. Элементарная, борелевскач и лебеговская меры (148). 2. Боре-левские н лебеговские расширения элементарной меры (151). 3. Построение интеграла по лебеговской мере (158V 4. Разложение знакоиеопределенной борелевскон меры в разность двух неотрицательных (159). 5. Квазнобъемы и теория меры (162).' 6. Разложение Хана (164). 7. Общий вид непрерывного линейного функционала в пространстве С (X) (167). Задачи (169) Глава IV. Производная.............................172 § 9. Мера и функции множеств................................172 1. Основные типы функций множеств. Разложение функции множеств на непрерывную и дискретную части (172). 2. Усиление теоремы Хана (175). 3. Разложение непрерывной функции множеств на абсолютно непрерывную и сингулярную части. Теорема Радона — Никодима (176). 4. Некоторые приложения теоремы Радона — Никоднма (180). 5. Положительное, отрицательное и полное изменения суммы двух счетно-аддитивных функций (183). (5. Случай Х = а, Ь. Абсолютно непрерывные функции точки (184) 7. Сингулярные функции точки (188). 8. Дискретные функции точки (190). 9. Теорема Лебега о каноническом разложении функции с ограниченным изменением (192). Задачи (193) § 10. Производная функции множеств........................................194 1. Различные определения производной (194). 2. Дифференцирование по сети (198). 3. Дифференцирование по системе Витали. Теорема Лебега—Витали (199). 4. Некоторые следствия теоремы Лебега — Витали (203). 5. Дифференцирование функции множеств относительно о-кольца (212). Задачи (215) Предметный указатель....................................218 |