|
Оглавление
Предисловие
Тема настоящей книги относится и к алгебре и к геометрии. Связи между этими двумя дисциплинами очень разнообразны и чрезвычайно плодотворны для каждой из них. Многие применения алгебры к геометрии и геометрии к алгебре были известны уже в далекой древности; ближе к вашему времени возникла такая большая дисциплина как аналитическая геометрия, переросшая затем в алгебраическую геометрию – обширную и активно развивающуюся науку, которую с равными основаниями можно отнести и к геометрии, и к алгебре. Другой пример такого рода доставляют алгебраические методы проективной геометрии, развитие которых привело к тому, что сейчас уже неясно, надо ли считать проективную геометрию разделом геометрии или алгебры. Также и учение о комплексных числах, возникшее первоначально в рамках алгебры, оказалось связанным с геометрией весьма тесно; это можно видеть хотя бы из того, что в развитие этой теории геометры внесли, пожалуй, больший вклад, чем алгебраисты. В настоящее время различные виды комплексных чисел изучаются довольно интенсивно; с учением о комплексных числах связаны важные не решенные до сего дня задачи, над которыми работают ученые во многих странах. Эта книга, разумеется, совсем не ставит своей целью ознакомление читателя с современным состоянием вопроса. Здесь освещена лишь одна из многочисленных нитей, связывающих учение о комплексных числах с геометрией, причем даже и в этой ограниченной области мы никак не претендуем на полноту. Однако тот круг вопросов, который затрагивается в этой книге, представлен здесь довольно широко. В частности, мы нигде не ограничивались лишь введением основных понятий, а во всех случаях стремились сразу же использовать эти понятия для доказательства содержательных геометрических теорем. Книга рассчитана на довольно разнообразный круг читателей: если первые параграфы всех глав вполне могут быть использованы в школьном математическом кружке, то последние параграфы явно рассчитаны уже на студенческий кружок. Это обстоятельство вынудило нас к довольно сложной системе обозначений, различающих отдельные части книги. Основную линию изложения составляют §§1–4, 7, 9, 13 и 15, не отмеченные звездочками. Наряду с этим в книге, в значительной степени обращенной к настоящим и будущим преподавателям математики, естественно было не слишком скупиться при подборе иллюстраций элементарно-геометрического характера. Пути применения аппарата комплексных чисел к элементарной геометрии демонстрируются в §§8, 10, 14 и 16, которые помечены одной звездочкой. Каждый из этих четырех параграфов называется "Приложения и примеры" и содержит разнородные геометрические теоремы, доказываемые с использованием комплексных чисел. Собранные здесь теоремы, как правило, имеют чисто иллюстративное значение; несколько ближе к основной линии изложения стоят, пожалуй, лишь теоремы о степени точки и прямой относительно окружности (§§8 и 10), используемые в §16 для нового ("геометрического") определения осевой (лагерровской) инверсии, играющей существенную роль в содержании §15. Пропуск §§8, 10, 14 и 16 никак не отразится на понимании (всего дальнейшего содержания книги, и мы рекомендуем читателю при первом чтении не слишком задерживаться на них. Впоследствии, по овладении основным материалом, читатель, интересующийся элементарной геометрией, сможет вернуться к этим параграфам. Совсем иной характер имеют §§5, 6, 11, 12, 17 и 18, помеченные двумя звездочками. Здесь мы несколько расширяем рамки изложения и выходим за границы того материала, который (иногда, впрочем, довольно условно) можно отнести к "школьной" (элементарной) геометрии. Дело в том, что основные приложения комплексных чисел в геометрии связаны все же не с геометрией Евклида, которая изучается в средней школе, а с так называемыми "неевклидовыми геометриями", самой известной из которых является неевклидова геометрия Лобачевского. И даже в популярной книге, посвященной комплексным числам, нам казалось совершенно недопустимым полностью игнорировать эту важнейшую линию геометрических приложений комплексных чисел. Не имея возможности коснуться этого вопроса даже с минимальной широтой (см., например, также далеко не всеобъемлющие по охвату материала книги и статьи, указанные в подстрочных примечаниях на стр.19–20 и 30), мы все же сочли необходимым включить в книгу краткое изложение вопроса о роли комплексных чисел в геометрии Лобачевского. Соответствующие параграфы рассчитаны, естественно, на читателя, хотя бы немного знакомого с содержанием этой замечательной геометрии. Впрочем, его подготовка в этом отношении может быть минимальной – она не должна выходить за рамки материала, излагаемого в научно-популярных книгах и брошюрах, посвященных неевклидовой геометрии (некоторые из таких книг и брошюр указаны нами в подстрочных примечаниях). В соответствии с особым характером отмеченных двумя звездочками параграфов и изложение в них имеет несколько иной характер, чем в остальных частях книги: так, например, доказательства здесь иногда не проведены со всей полнотой и восстановление некоторых деталей предоставлено читателям. Ясно, что пропуск §§5, 6, 11, 12, 17 и 18 также никак не отразится на понимании остального материала книги, которая в своей элементарной (т.е. не связанной с неевклидовой геометрией) части представляет собой вполне законченное целое. Первоисточником настоящей книги явилась лекция на ту же тему, прочитанная автором в 1958 г. московским школьникам – участникам школьного математического кружка при Московском государственном университете; расширенное изложение этой лекции было опубликовано в выпуске 6 сборников "Математическое просвещение" (М., Физматгиз, 1961). Значительная часть материала излагалась также на кружке для студентов первого курса математического факультета Московского государственного педагогического института. Автор выражает благодарность А.М.Яглому, советы которого были учтены в процессе работы над рукописью, а также своим ученикам М.М.Араповой и Ф.М.Навяжскому, которым принадлежат некоторые из изложенных в книге доказательств, и редакторам книги М.М.Горячей и И.Е.Морозовой, сделавшим ряд полезных замечаний. Наконец, автор признателен Р.До (Roland Deaux), профессору Политехнического института в г.Монсе (Бельгия), любезно приславшему ему последнее издание своей книги о комплексных числах. И.М.Яглом
Об авторе
 Яглом Исаак Моисеевич Выдающийся советский математик и педагог, автор популярных учебных и образовательных книг по математике. Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил Свердловский университет в 1942 г.; учился в аспирантуре переехавшего тогда в Свердловск Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова под руководством заведующего кафедрой дифференциальной геометрии В. Ф. Кагана. Преподавал математику в различных вузах, в том числе в МГУ имени М. В. Ломоносова и Московском государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина.
Будучи блестящим ученым, педагогом и популяризатором науки, И. М. Яглом написал более 40 книг, многие из которых стали классическими не только в нашей стране, но и за рубежом. Он один из соавторов знаменитого трехтомника «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», ставшего на долгие годы основным руководством для многих любителей математики. Кроме популярных математических задачников и пособий, И. М. Яглом выпустил ряд работ по истории математики, в которых исследовались связи математики с естественными и гуманитарными науками, а также ее роль в жизни общества. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||