Менский М.Б. Группа путей:
Измерения, поля, частицы. Изд. 4, стереотип.

Оглавление

Предисловие

В монографии, предлагаемой читателю, рассматривается широкий круг вопросов из квантовой теории измерений, теории калибровочных полей и гравитации. Столь различные области тем не менее естественно объединены в книге. Автор достигает этого за счет применения к ним единого математического метода, в основе которого лежит понятие пространства путей. В вопросах теории измерений главную роль играет интегрирование на этом пространстве, а в вопросах теории поля – его групповые свойства, суммированные автором в понятии группы путей.

За счет оригинального подхода к затронутым проблемам автору удалось осветить их с новой и во многом неожиданной точки зрения, а в некоторых случаях – поставить и решить практически важные задачи. Так, в первой части книги физически очень прозрачно формулируется квантовая теория измерений, длящихся во времени, а во второй части теория калибровочных и гравитационных полей и движущихся в них частиц строится на алгебраической основе, имеющей для физиков концептуальные преимущества перед традиционно применяемым для этих целей языком дифференциальной геометрии. Большая часть книги посвящена изложению вопросов, почти совершенно не освещенных в отечественной литературе, а значительная часть ее основана на работах самого автора.

Монография М.Б.Менского написана для физиков. В ней сочетается тонкость и красота современных математических методов и предельная ясность физической интерпретации. Автор сумел перевести на знакомый физикам язык многие принципиальные аспекты теоретико-группового подхода, продемонстрировав при этом его простоту и естественность для рассмотренного круга физических задач. Основы теории интегрирования по путям изложены в монографии в максимально доступной форме. Вместе с тем автор сумел существенно расширить область применения этого метода за счет систематического использования интегрирования "в конечных пределах", т.е. по ограниченной области пространства путей.

Не подлежит сомнению, что эту книгу с интересом и пользой для себя прочтут как физики-теоретики, так и студенты и аспиранты, специализирующиеся в области квантовой механики и квантовой теории поля.

От автора

В этой книге рассматривается два круга проблем: 1) расчет непрерывных измерений на основе фейнмановского интеграла по путям; 2) описание частиц во внешних калибровочных и гравитационных полях на основе группы путей. Эти проблемы обсуждаются соответственно в частях I и II, которые можно читать независимо друг от друга. В том и в другом случае используется формализм путей. В теории измерений на первый план выступает мера на пространстве путей, а в калибровочной теории и гравитации – групповая структура этого пространства. Однако и с математической, и с физической точек зрения между вопросами, рассмотренными в двух частях книги, имеются глубокие связи.

Квантовая теория измерений является неотъемлемой частью квантовой механики и крайне важна для ее понимания. Несмотря на это, квантовая теория измерений еще сегодня далека от завершения. В последние годы интерес к ней заметно повысился. Отчасти это связано с дальнейшим развитием квантовой теории, требующим более глубокого понимания ее основ. Отчасти же – с практическими нуждами точных экспериментов и прецизионных измерений, возросшая точность которых требует учета квантовых эффектов при оценке погрешности измерений.

В части I книги делается попытка использовать для построения квантовой теории измерений исчисление амплитуд вероятности и фейнмановский интеграл по путям. Говоря точнее, для системы, которая подвергается измерению, амплитуда перехода из одного состояния в другое выражается через интеграл по некоторому семейству путей (а не по всем путям, как в случае, если никакого измерения не производится). Это позволяет естественно и просто решить такую трудную задачу, как расчет измерений, длящихся непрерывно во времени. Использованный подход автоматически учитывает влияние прибора на измеряемую систему (редукцию состояния измеряемой системы). Разработаны новые вычислительные методы, которые применяются к конкретным схемам измерений – слежению за координатой системы и измерению спектральных составляющих ее движения. В качестве измеряемой системы рассматриваются гармонический осциллятор и система двух связанных гармонических осцилляторов.

Теория калибровочных полей и гравитация находятся в центре современной квантовой теории поля и объединяют в себе большое число новых математических и физических идей. В последние годы в калибровочной теории все большее распространение получает предложенный Мандельстамом формализм путей и путезависимых функций. В нем функции (поля) зависят не от точки пространства-времени, а от пути, ведущего в эту точку.

В части II книги делается попытка подвести под этот формализм новую математическую основу и с ее помощью получить дальнейшее его развитие. Новой основой является предложенная автором группа путей, обобщающая группу трансляций. Группа путей и ее представления позволяют существенно упростить путезависимый формализм, исключив многие сложные и искусственные построения, фигурировавшие в работах Мандельстама. Группа путей в пространстве Минковского оказывается универсальной, пригодной как для обычного калибровочного, так и для гравитационного поля.

На основе группы путей естественным образом описываются калибровочные поля не только в пространстве Минковского, но и в топологически нетривиальных пространствах. Это позволяет дать очень прозрачное описание таких физических явлений и понятий, как эффект Ааронова–Бома, магнитный монополь, закрученные частицы и обобщенные блоховские функции. Многомерные обобщения группы путей (группа 2-путей и т.д.) оказываются естественным инструментом для классификации и анализа неабелевых дифференциальных форм. Более того, они позволяют обобщить понятие неабелевой формы и ввести аналоги калибровочного поля, связанные с более высокими размерностями (2-калибровочное поле и т.д.). Такие обобщенные калибровочные поля должны играть роль в теории струн, мембран и других нелокальных квантовых объектов, появившихся в квантовой теории поля. В рамках этой программы в гл.8 строится кинематика пробного калибровочного монополя и пробного калибровочного диона (т.е. объекта, обладающего как калибровочным магнитным, так и калибровочным электрическим зарядом). Нелокальные свойства таких объектов дают возможность предложить модель кварков, по крайней мере качественно объясняющую конфайнмент (удержание).

На обложке предыдущей книги автора [37] символически было изображено пространство-время де Ситтера и траектории частиц в нем (рис.1, а). Однако на некоторых экземплярах книги траектории частиц оказались сдвинутыми и существовали как бы вне пространства-времени (рис.1, б). Автор счел это добрым предзнаменованием, так как уже тогда работал над теоретико-групповым вариантом путезависимого формализма (он упоминался в заключительных строках книги [37]). Мысль состояла в том, что пространственно-временное многообразие лишь приближенно описывает реальность. Более точную картину дает сеть траекторий, точнее – функция, приписывающая каждой конфигурации траекторий некоторую амплитуду вероятности. Геометрия возникает лишь как характеристика вероятностного распределения по сетям траекторий, отражающая положение максимума этого распределения (траектории или пути задаются кривыми в стандартном пространстве Минковского, которое отнюдь не отождествляется с пространством-временем, а скорее является моделью любого касательного пространства к нему). Группа путей позволила по крайней мере частично реализовать эту программу.

Многое указывает на то, что группа путей и ее представления – это техника, в которой локальные и глобальные элементы теории сводятся на один и тот же уровень, выражаются в терминах одних и тех же понятий. Следовательно, именно эта техника подходит для исследования взаимосвязи локальных и глобальных аспектов теории. Примером, демонстрирующим такую взаимосвязь, является описание локальных свойств калибровочно заряженной частицы в терминах представления подгруппы петель (гл.6). Оказывается, что свойства частицы, находящейся (виртуально) в единственной точке пространства-времени, описываются с помощью петель, выходящих из этой точки и возвращающихся в нее. Частица, находящаяся в одной точке, с помощью петель как бы прощупывает все пространство-время, и только в результате такого прощупывания возникают определенные локальные свойства частицы (т.е. ее кинематика, в частности – вид ковариантной производной).

Другой важной отличительной чертой предлагаемого формализма является то, что группы внутренней симметрии появляются при описании различных представлений одной и той же универсальной группы – группы путей, которая к тому же имеет непосредственную пространственно-временную интерпретацию. Отпадает необходимость постулировать внутренние симметрии. Они с необходимостью появляются как проявления пространственно-временной структуры, более богатой, чем принято было думать раньше. Вместо пространственно-временного многообразия, состоящего из точек, эта структура описывается пространством путей с действующей на нем группой путей.

При учете гравитации структура усложняется, так как оказывается невозможным полностью отделить, факторизовать группу Лоренца. Вместо этого приходится рассматривать ее объединение с группой путей – обобщенную группу Пуанкаре. Однако по-прежнему и внутренние симметрии, и поля (калибровочное и гравитационное) появляются лишь как проявления этой универсальной пространственно-временной структуры. Все это наводит на мысль, что группа путей и различные ее обобщения могут быть эффективным инструментом для более детального, чем это принято в существующей теории, исследования пространственно-временных отношений. Возможно, что такое исследование позволит со временем свести материю к геометрии в большей мере, чем это удавалось до сих пор.

Следует сказать несколько слов о связи между группой путей, которая обсуждается в части II, и интегралом по путям, которому посвящена часть I. Такая связь прослеживается в главах 9,10. Там показано, что интеграл по путям для частицы во внешнем поле получается из интеграла по путям для свободной частицы, если под знак интеграла ввести соответствующее представление группы путей. На самом деле существует еще более тесная связь между этими двумя аспектами формализма путей. Если не отождествлять друг с другом пути, отличающиеся параметризацией, то получающееся семейство параметризованных путей представляет собой уже не группу, а полугруппу. Этого достаточно, однако, чтобы получить теоретико-групповое обоснование интеграла по путям, т.е. вывести фейнмановский интеграл, включая весовой множитель exp (iS) и даже форму интеграла действия S. Таким образом, полугруппа параметризованных путей позволяет вывести из групповых соображений не только кинематику, но и динамику частицы во внешнем поле. Детальное рассмотрение этого вывода выходит за рамки данной книги. Некоторые другие проблемы, естественно возникающие при рассмотрении группы путей, отмечены в Заключении (глава И).

В основе данной книги лежит курс лекций, который читался автором на физическом факультете Московского государственного университета в последние годы. Для книги материал лекций существенно переработан и расширен.

Книга написана на "физическом уровне". Основной целью было описать некоторые известные и новые математические структуры и проанализировать их физическое содержание. Точные с математической точки зрения доказательства и даже точные определения и формулировки утверждений сделали бы эту задачу невыполнимой и резко сузили бы круг потенциальных читателей. Поэтому они не приводятся даже в тех случаях, когда существуют. Вместо этого часто даются лишь схемы доказательств. Нет сомнения, что математик без труда даст строгие доказательства всех изложенных в книге результатов. Разумеется, при этом в ряде случаев придется более четко определить фигурирующие в них понятия и очертить пределы применимости утверждений и теорем.

Книга имеет довольно сложную структуру и рассчитана на различные категории читателей, отличающиеся как по их специализации, так и по уровню математической подготовки. Целью автора было сделать ее доступной для всех этих категорий читателей. Поэтому были предприняты специальные усилия, чтобы сделать разные главы по возможности независимыми друг от друга. В связи с этим некоторые положения и формулы повторяются в разных главах и параграфах, часто в различных формах. Это несколько увеличивает объем книги, зато позволяет при желании читать ее по диагонали или выборочно.

Список литературы не является ни в какой мере полным. Кроме работ, непосредственно использованных при исследовании, приведены некоторые обзоры и монографии и еще некоторые работы, которые автор по тем или иным причинам посчитал относящимися к делу. Ввиду того, что в данной книге многие вопросы рассматриваются под новым углом зрения, некоторые важные и широко цитируемые работы не попали в список литературы, за что автор просит его извинить.

В части I книги использованы обычные единицы измерения, а в части II (если не оговорено противное) – единицы, в которых с=h=1. Звездочками отмечены параграфы, которые можно пропустить при первом чтении.

Пользуюсь случаем, чтобы выразить глубокую признательность Н.Н.Боголюбову, поддержавшему эту работу, а также многим другим физикам и математикам, обсуждения с которыми способствовали решению целого ряда принципиальных вопросов. Особо хочется поблагодарить С.П.Новикова, В.Б.Брагинского, А.А.Славнова, И.Я.Арефьеву, В.Н.Руденко, Ю.М.Зиновьева. Я сердечно благодарен В.П.Павлову, который взял на себя труд прочесть рукопись и сделал целый ряд полезных замечаний. Несомненно, эта книга была бы написана много позже или не написана вовсе, если бы не моральная поддержка, оказанная мне моим отцом, Б.М.Менским. Безвременная кончина не позволила ему увидеть ее опубликованной. Я всегда буду ему благодарен.

Об авторе