Обложка Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Дискретные вероятностные модели: Все важнейшие дискретные модели теории вероятностей, математической статистики и комбинаторного анализа и методы их применения в теории и практике
Id: 243702
1999 руб.

ДИСКРЕТНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ:
Все важнейшие дискретные модели ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ и КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА и методы их применения в теории и практике
Дискретные вероятностные модели: Все важнейшие дискретные модели теории вероятностей, математической статистики и комбинаторного анализа и методы их применения в теории и практике

URSS. 2021. 620 с. ISBN 978-5-9710-7145-7.
  • Твердый переплет

Аннотация

Данная книга является вероятностно-статистическим справочником, содержащим обзор накопленных к настоящему времени результатов по важнейшим дискретным моделям теории вероятностей, математической статистики и комбинаторного анализа и методов применения их в теории и практике.

Справочник предназначен научным работникам, преподавателям вузов, аспирантам, студентам и инженерам практически всех современных специальностей, использующим в своей ...(Подробнее)работе вероятностно-статистические методы. Как показывает практика последних десятилетий, справочник особенно будет полезен специалистам, занимающимся вопросами экономики, социологии, финансовой сферы, биологии, медицины, а также криптографии и защиты информации, для которых сегодня статистические методы являются основным инструментом анализа, прогнозирования и принятия научно обоснованных решений.


Содержание
Предисловие7
Введение. Основные понятия и теоретические сведения12
Часть I. Одномерные модели23
Глава 1. Биномиальная модель24
1.1. Определение и вероятностные свойства24
1.2. Асимптотические результаты и приближения39
1.3. Обобщенное биномиальное распределение46
1.4. Конвея—Максвелла биномиальное распределение (COMB)48
1.5. Другие обобщения биномиального распределения49
1.6. Статистические выводы51
1.7. Моделирование57
Глава 2. Отрицательное биномиальное распределение59
2.1. Определение и вероятностные свойства59
2.2. Геометрическое распределение65
2.3. Статистические выводы66
2.4. Моделирование67
Глава 3. Пуассоновская модель69
3.1. Определение и вероятностные свойства69
3.2. Асимптотические результаты и приближения77
3.3. Статистические выводы82
3.4. Моделирование87
Глава 4. Гипергеометрическое распределение88
4.1. Определение и вероятностные свойства88
4.2. Статистические выводы97
4.3. Моделирование97
Глава 5. Модель степенного ряда99
5.1. Определение и вероятностные свойства99
5.2. Предельные теоремы100
5.3. Статистические выводы101
5.4. Модифицированное РСР103
Глава 6. Одномерная модель Маркова—Пойа104
6.1. Определение модели104
6.2. Предельные распределения105
6.3. Перестановочность106
6.4. Процесс Пойа107
Глава 7. Равномерное дискретное распределение108
7.1. Определение108
7.2. Асимптотика108
7.3. Оценивание размера конечной совокупности109
7.4. Прогнозирование в схеме повторного выбора110
Глава 8. Логарифмическое распределение111
8.1. Определение и свойства111
8.2. Предельные теоремы113
8.3. Распределение Стирлинга первого рода113
8.4. Оценивание114
Глава 9. Пуассона-биномиальное распределение115
9.1. Определение и свойства115
9.2. Оценивание116
Глава 10. Распределение Неймана типа А117
10.1. Определение и свойства117
10.2. Предельные формы и аппроксимации118
10.3. Оценивание119
10.4. Обобщения119
Глава 11. Распределения, основанные на разложениях в ряды121
11.1. Лагранжевы распределения121
11.2. Распределения Гоулда122
11.3. Распределения Абеля123
Глава 12. Другие дискретные распределения124
12.1. Вырожденное распределение124
12.2. Распределение Бореля—Таннера124
12.3. Распределение Эрмита125
12.4. Распределение Пойа—Аеппли (Polya—Aeppli)126
12.5. Распределение Пуассона—Паскаля128
12.6. Распределение Томаса129
12.7. J-распределение129
12.8. Распределение (семейство) Каца и его расширения130
12.9. Семейство Орда131
12.10. Обобщенное гипергеометрическое распределение132
12.11. Распределения факториального ряда133
12.12. Ципфа и дзета-распределения134
12.13. Одномерные распределения в многомерных моделях135
12.14. Распределения значащих цифр136
12.15. Дискретное распределение арксинуса137
12.16. Дискретное распределение Гаусса—Лежандра138
12.17. Сдвинутое логбиномиальное распределение139
12.18. Распределения расстояний между соседними локальными максимумами139
12.19. Распределение Ландсберга (Landsberg, 1895)140
Часть II. Многомерные модели141
Глава 1. Полиномиальная модель142
1.1. Определение и вероятностные свойства142
1.2. Асимптотические результаты153
1.3. Некоторые статистики от частот полиномиальной схемы159
1.4. s-цепочки последовательности полиномиальных испытаний171
1.5. Статистические выводы178
1.6. Моделирование204
Глава 2. Отрицательная полиномиальная модель206
2.1. Определение и вероятностные свойства206
2.2. Асимптотические результаты210
2.3. Статистические выводы211
Глава 3. Многомерное гипергеометрическое распределение214
3.1. Определение и вероятностные свойства214
3.2. Асимптотические результаты217
3.3. Статистические выводы217
3.4. Распределения, связанные с МГГР219
3.5. Обобщенная схема выбора221
Глава 4. Многомерная модель Маркова—Пойа231
4.1. Определение и вероятностные свойства231
4.2. Асимптотические результаты235
4.3. Граничные задачи и моменты остановки237
4.4. Статистические выводы239
4.5. Обобщенная урновая схема с переменным составом244
Глава 5. Случайные размещения247
5.1. Введение247
5.2. Предельные теоремы248
5.3. Обратные задачи (время ожидания)251
5.4. Время ожидания в схемах размещения со случайными уровнями254
5.5. Порядковые статистики260
5.6. Случайное число частиц262
5.7. Размещение частиц комплектами264
5.8. Марковские схемы размещения265
5.9. Процессы в схемах размещения268
Глава 6. Обобщенная схема размещения270
6.1. Определение и свойства270
6.2. Предельное поведение РРС273
6.3. Примеры применения ОСР278
Глава 7. Подстановки284
7.1. Комбинаторные свойства подстановок284
7.2. Равновероятная модель. Распределение цикловой структуры298
7.3. Параметрическая модель306
7.4. Статистика параметрической модели318
7.5. Редуцируемые подстановки323
7.6. Подстановки с трансформированными циклами325
7.7. Случайные неполные подстановки330
7.8. Методы генерации подстановок339
Глава 8. Случайные многочлены345
8.1. Введение345
8.2. Исходные соотношения347
8.3. Производящие функции349
8.4. Предельные распределения аддитивных структурных характеристик350
8.5. Асимптотическое поведение экстремальных характеристик354
8.6. Другие результаты357
8.7. Приложение361
Глава 9. Конечные цепи Маркова363
9.1. Введение и предмет исследования363
9.2. Предельные распределения364
9.3. Цепь Маркова с двумя состояниями368
9.4. Статистические выводы374
Глава 10. Разбиения конечных множеств385
10.1. Введение и основные понятия385
10.2. Распределение числа блоков в случайном разбиении390
10.3. Распределение числа блоков заданной величины в случайном разбиении392
10.4. Минимальный и максимальный блоки в случайном разбиении395
10.5. Случайные A-разбиения с помеченными блоками396
10.6. Разбиения с поглощениями и противоречивые разбиения398
10.7. Другие статистики на разбиениях404
10.8. Параметрическая модель406
Глава 11. Общая параметрическая модель для случайных комбинаторных объектов420
11.1. Введение: модель и ее основные фрагменты420
11.2. Влияние выбора параметрической последовательности {theta_j} на асимптотическое поведение характеристик случайной n-подстановки423
11.3. Двухпараметрическая модель430
11.4. Классификация мер436
11.5. Сингулярная модель для случайных подстановок437
11.6. Сингулярная модель для случайных разбиений443
Глава 12. Случайные булевы функции и их спектры449
12.1. Введение449
12.2. p-модель452
12.3. Модель Fnk455
12.4. Симметрические булевы функции и их спектры458
12.5. Модель Snr462
12.6. Метрические свойства симметрических булевых функций465
12.7. Спектральная структура случайных булевых функций469
Часть III. Три столпа дискретной математики477
Глава 1. Классические модели478
1.1. Введение. Определения, основные соотношения и производящие функции478
1.2. Асимптотические результаты485
1.3. Унимодальность493
Глава 2. Суммы и арифметические свойства биномиальных коэффициентов497
Глава 3. Параметрические модели чисел Стирлинга521
3.1. Определения, представления и комбинаторный смысл различных модификаций чисел Стирлинга521
3.2. Производящие функции и рекуррентные соотношения529
3.3. Алгебраические свойства и оценки535
3.4. Асимптотические результаты536
Дополнение I. Предельные теоремы в дискретных моделях541
Дополнение II. Корни производящих функций и суммы целочисленных случайных величин553
1. Введение553
2. Представления дискретных случайных величин суммами простейших независимых случайных величин556
3. Необходимые условия для принадлежности корней левой полуплоскости. Слабая лог-выпуклость558
4. Предельные теоремы559
5. Примеры560
Литература565

Предисловие

Настоящее (расширенное и дополненное) справочное пособие посвящено изложению накопленных к настоящему времени результатов (включая и последние результаты авторов) по анализу дискретных вероятностных моделей. Ранее, в издательстве URSS уже выходили две наши книги, посвященные этой теме: «Одномерные распределения» (2015) и «Многомерные распределения» (2016). Незатухающий интерес к дискретным моделям привел к появлению в математической литературе последнего времени большого числа новых публикаций в этой области, существенно дополняющих и развивающих в самых различных направлениях предыдущие достижения, поэтому их систематизация и единообразное изложение в одной книге представляется нам актуальным и полезным для их практического использования. Отметим здесь общую тенденцию, характерную для последнего времени и связанную со стремлением построения новых, более общих и более адекватных требованиям современной практики дискретных математических моделей. Комбинаторный и вероятностно-статистический анализ этих моделей и порождает вал новых результатов, продвигающих как общую теорию дискретных моделей, так и расширяющих сферу их применений.

В качестве характерного примера приведем проблему исследования таких важных для криптографических приложений комбинаторных объектов, каковыми являются подстановки и разбиения конечных множеств.

Традиционным до недавнего времени методом исследования различных комбинаторных объектов было введение на множестве рассматриваемых объектов равновероятной меры и последующий анализ различных характеристик этих объектов как случайных величин. Такой вероятностный подход оказался весьма эффективным при решении широкого круга комбинаторных перечислительных задач, когда интересуются подсчетом числа объектов — подмножеств некоторого множества, обладающих теми или иными заданными свойствами.

Вместе с тем, в современных приложениях возникают задачи и других типов, для решения которых равномерная модель уже не является адекватной, а именно, когда требуется учитывать различного рода возможные отклонения от равновероятности, и исследовать поведение изучаемых характеристик при альтернативных (по отношению к равномерной) мерах.

Общая параметрическая модель для произвольного множества разложимых комбинаторных объектов была предложена в наших работах (2003, 2004, 2007), а ее конкретизация для случайных подстановок и разбиений конечных множеств изложена в работах (2006, 2011, 2017). Достоинством этой модели является наличие в ней большого числа «свободных» параметров (степеней свободы), варьируя которые можно конструировать различные альтернативные распределения на множестве изучаемых объектов. Тем самым, имеется возможность проводить более глубокий вероятностно-статистический анализ (проверка различных статистических гипотез) таких моделей. В то же время и классические конструкции комбинаторных объектов зачастую оказываются уже недостаточными в качестве адекватных моделей для приложений — требуется вводить различного рода усложнения или ограничения на множествах рассматриваемых объектов. Например, в соответствующих задачах требуется рассматривать лишь подстановки без коротких и/или длинных циклов, а также изучать такие разбиения конечного множества, которые не содержат блоков малого и/или большого объема. Так возникают новые конструкции комбинаторных объектов и новые задачи их анализа, которые, в основном, и составили содержание дополнений в настоящей монографии.

В книге уделено также внимание моделям, возникающим при анализе случайных комбинаторных объектов, в частности, многочленам над конечными полями и различным функционалам, связанным со схемами размещения частиц. Следует при этом отметить, что при анализе многомерных моделей естественно возникают специфические распределения и различных одномерных характеристик, отражающих существенные особенности модели. Так что в данной книге имеется большое число и новых одномерных распределений, дополняющих их список, приведенный в нашей первой книге (2015).

Помимо этого, в книгу включен новый материал (Часть III), посвященный трем знаменитым числовым последовательностям: биномиальным коэффициентам и числам Стирлинга первого и второго рода. Включение этого материала мотивировано той исключительной ролью, которую играют эти числа при решении различных задач комбинаторики, криптографии, математического анализа, теории вероятностей и других разделов математики. Литература, посвященная как исследованию разнообразных и интересных аналитических свойств этих чисел, так и их многообразных применений и обобщений, буквально необъятна, и поток новых публикаций по этой тематике не иссякает. Обзор и систематизация накопленных здесь результатов, представляющих собой необходимый математический инструментарий исследования новых математических моделей, является, на наш взгляд, несомненно, актуальным.

В книгу также включены глава «Булевы функции» и два дополнения.

При подготовке этого издания мы не могли пройти мимо такого важнейшего, на наш взгляд, современного направления в дискретных вероятностных моделях, как случайные булевы функции и их спектральный анализ. В настоящее время наблюдается бурное развитие таких отраслей математики, как теории конечных функциональных систем, теории информации, теории кодирования и криптографии, в которых рассматриваются проблемы анализа и синтеза дискретных устройств, осуществляющих обработку и преобразование различного рода информации. Булевы функции (более обще — дискретные функции) и являются основным аналитическим аппаратом решения подобных проблем. По этой причине они представляют собой популярный объект математического и криптографического анализа.

В книге мы акцентируем наше внимание на важнейшем объекте модели булевой функции — ее спектре Фурье: многие криптографические свойства булевой функции выражаются именно в терминах

ее спектральных характеристик. В последние годы для исследования спектра булевой функции весьма эффективно применяется вероятностный подход, когда на множестве рассматриваемых функций вводится та или иная вероятностная мера, приписывающая каждой функции этого множества соответствующий вес (например, равномерная мера, приписывающая каждой функции этого множества одинаковый вес). В этом случае спектр случайно выбранной функции становится случайным вектором, и для исследования различных его особенностей «в среднем» успешно применяются методы теории вероятностей, и в особенности ее предельные теоремы, позволяющие устанавливать полезные асимптотические оценки для различных характеристик спектра. Обзор полученных в последнее время в этом направлении результатов и составляет содержание данной главы.

В Дополнении I приводится сборник общих предельных теорем, составляющих инструментарий исследования асимптотических свойств последовательностей неотрицательных действительных чисел и неотрицательных целочисленных случайных величин. Дополнение II посвящено изложению методологии исследования дискретных случайных величин с конечным носителем, основанной на свойствах корней их производящих функций и приводящей к разложению таких величин на простейшие независимые слагаемые.

В данную книгу включены модели, которые наиболее часто встречаются в самых разнообразных задачах теории вероятностей, математической статистики и комбинаторного анализа, и значение которых трудно переоценить.

Отметим также, что дискретные модели (как правило, многомерные) используются и в различных задачах экономической, финансовой деятельности, в теории исследования операций, социологии и особенно в современных задачах теории защиты информации, теории кодирования и криптографии.

При работе над книгой мы использовали как оригинальные публикации, так и различную монографическую и учебную литературу по теории вероятностей, математической статистике и комбинаторике, а также (в некоторых аспектах) аналогичные зарубежные издания: весьма полезный и обширный справочник Johnson, Kotz & Balakrishnan (1996) и др. В отличие от последних изданий, акцент делается нами собственно на изложении результатов (что и представляет, по нашему мнению, главный интерес для пользователей), без детального обсуждения (в большинстве случаев) их генезиса и первоисточников.

Далее, наряду с вероятностными аспектами, мы детально освещаем и соответствующие вопросы статистического вывода (оценивание неизвестных параметров распределений и проверка соответствующих статистических гипотез), а также вопросы моделирования и асимптотического анализа, включая важные для приложений темы оценок типа неравенств и больших уклонений. Наконец, мы доводим повествование до наших дней и при этом стремимся, как можно более полно отразить существенный вклад отечественных авторов в развитие этой тематики, чему, к сожалению, не уделяется должного внимания в аналогичных зарубежных изданиях.

В то же время, за пределами данного пособия остался ряд важных объектов дискретной математики, так как они уже достаточно детально отражены в соответствующих монографиях и обзорных работах (тем не менее, в приводимой нами библиографии соответствующие публикации отражены). Это:

— общие случайные отображения и случайные графы (Колчин В. Ф., Павлов Ю. Л., Степанов В.Е. и др.);

— случайные матрицы и системы случайных уравнений над конечными полями и кольцами (Балакин Г. В., Горшков С. П., Коваленко И. Н., Колчин В. Ф., Копытцев В. А., Левитская А. А., Михайлов В. Г., Сачков В. Н., Тараканов В. Е. и др.);

— вероятностные модели конечных автоматов (Горчинский Ю. Н., Зубков А. М., Иванов В. А., Максимов Ю.И., Михайлов В. Г. и др.);

— распределения на конечных группах (Алиев Ф. К., Горчинский Ю. Н., Капитонов В. М., Круглов И. А., Лапшин А. В., Шерстнев В. И. и др.). Приводимая в конце книги достаточно обширная (но отнюдь не претендующая на исчерпывающую полноту) библиография по дискретной тематике, в основном отражающая (в той или иной степени) вклад в нее российских математиков, является, по нашему мнению, самоценной и будет полезной для пользователей.

Преподаватели, студенты, научные работники и инженеры, использующие в своей практической работе вероятностные и статистические методы, постоянно сталкиваются с потребностью в соответствующем кратком сборнике ответов на часто возникающие вопросы (как говорит арабская пословица, знание ответов — великое преимущество). Данное пособие и имеет целью удовлетворить потребность в быстром получении соответствующей информации, которая обычно разбросана по многочисленным и часто трудно доступным источникам.

Мы будем признательны читателям за замечания и предложения, направленные на улучшение изложения материала и пополнение его содержания для последующих изданий книги.

Мы признательны рецензентам книги и другим коллегам по Академии криптографии за полезные обсуждения, замечания и моральную поддержку при подготовке этой книги. Особую благодарность мы выражаем Шляпниковой Светлане Игоревне за неоценимую помощь в поиске и подборе научной литературы по тематике книги, разбросанной по необъятным просторам Интернета в виде монографий, журналов и различных пособий.

В заключение отметим следующее. Математических справочников (как общего характера, так и относящихся к отдельным разделам математики) издано огромное количество, все они об одном и том же о математике, но различаются как по подбору материала, так и по полноте и стилю его изложения, что, в определенной мере, отражает, естественно, и пристрастия их авторов. Это в полной мере относится и к данному пособию. Мы, возможно, уделили больше внимания собственным результатам, но стремились быть объективными и в отражении достижений наших коллег, предшественников, а также зарубежных авторов. И, как говорил Б. Паскаль , «Пусть не корят меня, что я не сказал ничего нового: ново уже само расположение материала; игроки в мяч бьют по одному и тому же мячу, но не с одинаковой меткостью».

Октябрь 2018 Авторы


Об авторах
Ивченко Григорий Иванович
Доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области теории вероятностей, математической статистики, дискретной математики и их приложений. Действительный член Академии криптографии РФ. С 2016 г. — главный научный сотрудник. Автор более 200 научных работ, в том числе свыше 10 учебников и учебных пособий по специальности «прикладная математика» для вузов. Имеет правительственные награды.
Медведев Юрий Иванович
Доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области теории вероятностей, математической статистики, дискретной математики и их приложений. Действительный член Академии криптографии РФ (с 1998 г. — член президиума). Лауреат Государственной премии СССР (1975), заслуженный деятель науки РФ. Автор более 200 научных работ, в том числе свыше 10 учебников, учебных пособий и монографий по специальности «прикладная математика». Имеет государственные награды.