Обложка Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры
Id: 243426
799 руб.

Основные понятия алгебры. Изд. 3, испр.

URSS. 2019. 408 с. ISBN 978-5-9710-6028-4.

Аннотация

Работа посвящена обзору основных понятий, идей и направлений алгебры. Ее цель — дать представление о духе алгебры и ее связях с другими частями математики. Особое внимание уделено мотивировке алгебраических понятий и постановке задач.

У читателя предполагается владение линейной алгеброй и основами анализа. Другие используемые понятия определяются за исключением встречающихся при разборе некоторых изолированных примеров. Начиная с изложения ...(Подробнее)и пояснения простейших понятий — полей, колец, модулей, групп, работа приводит к обзору более сложных теорий: представлений групп, алгебр Ли, гомологической алгебры, K-теории.

Книга предназначена широкому кругу специалистов, студентов, аспирантов физико-математических специальностей.


Оглавление
Предисловие12
1.Что такое алгебра?15
 Идея координатизации15
 Словарь квантовой механики19
 Конечные интерпретации системы аксиом соединения и параллельности19
2.Поля23
 Аксиомы поля24
 Изоморфизм25
 Поле рациональных функций от независимых переменных, поле рациональных функций на плоской алгебраической кривой, поле рядов Лорана и формальных рядов Лорана27
 Поле рядов Лорана и формальных рядов Лорана31
3.Коммутативные кольца33
 Аксиомы кольца33
 Кольцо многочленов33
 Делители нуля и целостные кольца36
 Поле частных36
 Прямые суммы колец36
 Кольцо непрерывных функций37
 Кольцо степенных рядов и формальных степенных рядов38
 Кольцо полиномиальных функций на плоской алгебраической кривой38
 Булевы кольца39
 Разложение на множители40
 Факториальные кольца40
 Примеры факториальных колец41
4.Гомоморфизмы и идеалы43
 Гомоморфизмы, идеалы, факторкольца43
 Гомоморфизмы ограничения в кольцах функций45
 Кольца главных идеалов47
 Связь с факториальностью47
 Умножение идеалов49
 Целые числа как функции49
 Теорема о гомоморфизмах51
 Расширение, в котором заданный многочлен имеет корень. Алгебраически замкнутые поля52
 Конечные поля52
 Характеристика поля54
 Представление элементов общих колец как функций на максимальных и простых идеалах55
 Целые числа как функции55
 Ультрапроизведения и нестандартный анализ56
 Коммутирующие дифференциальные операторы58
5.Модули59
 Прямые суммы и свободные модули60
 Эквивалентность идеалов и изоморфизм модулей62
 Тензорные произведения65
 Тензорная, симметрическая и внешняя степень модуля, двойственный модуль66
 Модули дифференциальных форм и векторных полей68
 Семейства векторных пространств и модули69
6.Алгебраический аспект размерности71
 Ранг модуля72
 Модули конечного типа73
 Модули конечного типа над кольцом главных идеалов74
 Нётеровы модули и кольца76
 Нётеровы кольца и кольца конечного типа78
 Случай градуированных колец78
 Степень трансцендентности расширения81
 Конечные расширения83
7.Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий87
 Функции с точностью до бесконечно малых второго порядка и касательное пространство к многообразию89
 Векторные поля и дифференциальные операторы первого порядка90
 Особые точки92
 Бесконечно малые высших порядков93
 Струи и дифференциальные операторы93
 Пополнения колец, p-адические числа96
 Поля p-адических чисел в теории чисел96
 Нормированные поля. Нормы поля рациональных чисел и рациональных функций97
8.Некоммутативные кольца105
 Основные определения105
 Кольцо эндоморфизмов модуля106
 Алгебры над кольцами107
 Групповая алгебра108
 Кватернионы и тела109
 Твисторное расслоение111
 Эндоморфизмы n-мерного пространства над телом113
 Тензорная алгебра и кольцо некоммутативных многочленов113
 Левые и правые идеалы кольца эндоморфизмов векторного пространства над телом115
 Внешняя алгебра117
 Супералгебры118
 Алгебра Клиффорда118
 Простые кольца и алгебры120
9.Модули над некоммутативными кольцами123
 Модули и представления124
 Представления алгебр на матричном языке126
 Лемма Шура128
 Простые модули, композиционные ряды, теорема Жордана–Гёльдера128
 Длина модуля и кольца129
 Эндоморфизмы модулей130
10.Полупростые модули и кольца133
 Полупростота133
 Полупростота групповой алгебры135
 Модули над полупростым кольцом136
 Полупростые кольца конечной длины: теорема Веддербёрна138
 Простые кольца конечной длины и основная теорема проективной геометрии141
 Факторы и непрерывные геометрии144
 Полупростые алгебры конечного ранга над алгебраически замкнутым полем145
 Применения к представлениям конечных групп146
11.Тела конечного ранга151
 Тела конечного ранга над полем вещественных чисел и конечными полями151
 Теорема Тзена и квазиалгебраически замкнутые поля152
 Центральные тела конечного ранга над полем p-адических и полем рациональных чисел154
12.Понятие группы159
 Группы преобразований159
 Симметрии160
 Симметрии динамических систем и законы сохранения162
 Автоморфизмы163
 Симметрии физических законов164
 Группы, регулярное действие164
 Группа классов идеалов169
 Группа расширений модуля170
 Группа Брауэра171
 Подгруппы, нормальные делители, факторгруппы172
 Прямое произведение двух групп177
13.Примеры групп: конечные группы179
 Симметрические и знакопеременные группы179
 Группы симметрий правильных многоугольников и правильных многогранников182
 Группы симметрий решеток187
 Кристаллографические классы188
 Конечные группы, порожденные отражениями195
14.Примеры групп: бесконечные дискретные группы199
 Дискретные группы преобразований199
 Кристаллографические группы201
 Дискретные группы движений плоскости Лобачевского210
 Модулярная группа211
 Свободные группы211
 Задание групп соотношениями212
 Логические проблемы214
 Фундаментальная группа215
 Группа узла217
 Группа кос217
15.Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы221
 Группы Ли224
 Торы. Их роль в теореме Лиувилля225
 Классические компактные группы и некоторые связи между ними227
 Классические комплексные группы Ли231
 Группа Лоренца233
 Алгебраические группы235
 Группы аделей236
16.Общие результаты теории групп239
 Прямые произведения241
 Теорема Веддербёрна–Ремака–Шмидта242
 Композиционные ряды243
 Теорема Жордана–Гёльдера243
 Простые группы244
 Разрешимые группы245
 Простые компактные группы Ли247
 Простые комплексные группы Ли249
 Простые конечные группы250
17.Представления групп253
 Представления конечных групп257
 Соотношения ортогональности263
 Представления компактных групп264
 Интеграл по группе264
 Теорема Гельмгольца–Ли265
 Характеры коммутативных компактных групп и ряды Фурье268
 Тензоры Вейля и Риччи в четырехмерной римановой геометрии271
 Представления групп SU(2) и SO(3)271
 Эффект Зеемана274
 Полная приводимость представлений конечномерных классических комплексных групп Ли275
 Представления некомпактных групп Ли277
18.Некоторые приложения групп279
 Теория Галуа279
 Разрешимость уравнений в радикалах283
 Теория Галуа дифференциальных уравнений284
 Классификация неразветвленных накрытий и фундаментальная группа285
 Первая основная теорема теории инвариантов288
 Представления групп и классификация элементарных частиц289
19.Алгебры Ли и неассоциативная алгебра297
 Скобка Пуассона как пример алгебры Ли298
 Кольца и алгебры Ли298
 Теория Ли301
 Группы Ли и движения твердого тела310
 Числа Кэли312
 Квазикомплексная структура на шестимерных подмногообразиях восьмимерного пространства313
 Неассоциативные вещественные тела314
20.Категории317
 Диаграммы и категории317
 Функторы325
 Функторы, возникающие в топологии: пространства петель, надстройки326
 Группы в категории328
 Гомотопические группы331
21.Гомологическая алгебра335
 Комплексы и их гомологии335
 Гомологии и когомологии полиэдров335
 Теорема о неподвижной точке338
 Дифференциальные формы и когомологии де Рама339
 Теорема де Рама340
 Точная последовательность когомологий342
 Когомологии модулей344
 Когомологии групп348
 Топологический смысл когомологии дискретных групп351
 Пучки353
 Когомологии пучков356
 Теоремы конечности357
 Теорема Римана–Роха359
22.K-теория361
 Топологическая K-теория361
 Векторные расслоения и функтор Vec(X)361
 Теорема периодичности и функторы Kn(X)364
 Группа K1(X) и бесконечномерная линейная группа365
 Символ эллиптического дифференциального оператора365
 Теорема об индексе367
 Алгебраическая K-теория368
 Группа классов проективных модулей368
 Группы K0, K1 и Kn кольца370
 Группа K2 поля и ее связь с группой Брауэра372
 K-теория и арифметика373
Комментарий к литературе376
Литература385
Именной указатель394
Предметный указатель397

Об авторе
Шафаревич Игорь Ростиславович
Выдающийся советский и российский математик, доктор физико-математических наук, профессор, академик АН СССР и РАН. Еще в школе изучал программу механико-математического факультета МГУ и сдавал экстерном экзамены. После окончания школы был принят на последний курс этого факультета и окончил его в 1940 г. (в 17 лет). Защитил кандидатскую диссертацию в 1942 г. (в 19 лет), докторскую — в 1946 г. (в 23 года). В 1944 г., после окончания аспирантуры, стал преподавателем механико-математического факультета МГУ. С 1946 г. — сотрудник Математического института имени В. А. Стеклова (МИАН). В 1953–1974 гг. — профессор кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. В 1960–1995 г. работал в должности заведующего отделом алгебры МИАН, с 1995 г. — главный научный сотрудник МИАН (советник РАН). В 1958 г. избран членом-корреспондентом АН СССР, с 1991 г. — академик. Лауреат Ленинской премии (1959). Президент Московского математического общества (1970–1973).

В область научных интересов И. Р. Шафаревича входили алгебра, теория чисел, алгебраическая геометрия. В теории алгебраических чисел он нашел самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел, что явилось в известной мере завершающим этапом 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Леонарду Эйлеру и Карлу Гауссу. Внес фундаментальный вклад в развитие теории Галуа. За работы по алгебраической теории чисел (открытие общего закона взаимности и решение обратной задачи Галуа для разрешимых групп), опубликованные в 1950–1954 гг., был удостоен Ленинской премии. В 1970-1980-х гг. И. Р. Шафаревич, Д. К. Фаддеев и их ученики получили важные результаты, относящиеся к теории групп, теории целочисленных представлений групп и теории Галуа. Кроме того, И. Р. Шафаревич получил известность как общественный деятель и автор историко-философских публикаций.