Ландау Э. ОСНОВЫ АНАЛИЗА:
Действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами. Дополнение к учебникам по дифференциальному и интегральному исчислению. Пер. с нем. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие для учащегося

1. Прошу не читать помещенного дальше предисловия для знатока!

2. Я предполагаю лишь владение логическим мышлением и языком; ничего – из школьной или, тем более, высшей математики.

Чтобы предупредить возражения: одно число, ни одного числа, два случая, все вещи из заданной совокупности и т.п., все это – ясные языковые словообразования. Теорема 1, теорема 2,..., теорема 301 (и аналогично для аксиом, определений, глав, параграфов) или 1), 2) и т.п. при разбиениях на случаи – просто знаки, отличающие друг от друга теоремы, аксиомы,..., случаи и более удобные при ссылках, чем если бы я, скажем, говорил светлосиняя теорема, темносиняя теорема и т.п. Введение так называемых положительных целых чисел только до "301" вообще не представило бы никакого труда; первая – преодолеваемая в главе 1 – трудность лежит в совокупности положительных целых чисел

1, ...

с таинственным многоточием за запятой (называемых в главе 1 натуральными числами), в определении действий, которые можно над ними производить, и в доказательствах относящихся сюда теорем.

Я последовательно излагаю все необходимое в главе 1 – для натуральных чисел, в главе 2 – для положительных дробей и положительных рациональных чисел, в главе 3для положительных (рациональных и иррациональных) чисел, в главе 4 – для вещественных чисел (положительных, отрицательных и нуля), в главе 5 – для комплексных чисел; таким образом я говорю лишь о таких числах, с которыми ты встречался еще в школе. В этом смысле:

3. Прошу – забудь все, чему ты учился в школе; потому что ты этому не научился.

Прошу, однако, всюду вызывать в своем представлении соответствующие разделы школьного курса; потому что тебе все же не следует его забывать,

4. Никакой таблицы умножения, даже теоремы

2 x 2 = 4,

я не даю; однако, я рекомендую тебе, в качестве упражнения к главе 1, § 4, определить и доказать указанную теорему.

Из предисловия для знатока

Эта книжечка является уступкой коллегам (к сожалению, составляющим большинство), не разделяющим мою точку зрения на следующие вопросы.

В то время как в школе, разумеется, приходится отказаться от строгого построения элементарной математики без всяких пробелов, математическое преподавание в высшей школе должно знакомить слушателя не только с материалом и результатами, но и с методами доказательств. Даже тот, кто изучает математику главным образом ради ее приложений к физике или другим наукам и кто поэтому часто вынужден самостоятельно разбираться в новом математическом материале, может лишь тогда уверенно сойти с протоптанной тропы, когда он научился ходить, т.е. различать неверное от верного, предположения от доказательств (или, как некоторые изящно говорят,-нестрогие доказательства от строгих).

Поэтому я – в согласии с некоторыми моими учителями и коллегами, с некоторыми авторами, из трудов которых я черпал, и с большинством моих учеников – считал правильным, чтобы студент уже в первом семестре узнавал, на каких основных фактах как на аксиомах можно без пробелов построить анализ и как это построение можно начать. При выборе аксиом, как известно, можно поступать различным образом. Поэтому я считаю отнюдь не неправильным, но лишь почти диаметрально противоположным моей личной точке зрения, когда для вещественных чисел в качестве аксиом постулируют многочисленные обычные законы действий и основную теорему Дедекинда (теорему 205 этой книжки). Разумеется, я не доказываю непротиворечивости пяти аксиом Пеано (по той причине, что этого сделать нельзя); однако, каждая из них-явно независима от предыдущих. С другой стороны, при указанном расширенном числе аксиом учащемуся сразу навязывается вопрос, нельзя ли какие-нибудь из них доказать (а хитрец добавил бы: или опровергнуть) с помощью предшествующих; и так как доказуемость всех этих вещей известна уже многие десятилетия, то почему же не дать учащемуся уже в самом начале ознакомиться с этими (всюду совершенно простыми) доказательствами,

Я уже не буду подробно останавливаться на том, что часто в основу не кладется даже основная теорема Дедекинда (или равносильный ее суррогат при обосновании вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей), так что такие вещи, как теорема о среднем значении из дифференциального исчисления, основывающаяся на ней теорема, что функция, производная которой на некотором интервале равна нулю, постоянна в этом интервале, или, например, теорема, что постоянно убывающая ограниченная последовательность чисел стремится к некоторому пределу, – остаются без всякого доказательства или же, что еще хуже, снабжаются мнимыми доказательствами, ничего на самом деле не доказывающими. Число представителей этой крайней разновидности другой точки зрения кажется мне не только монотонно убывающим, но и предел, к которому по упомянутой выше теореме стремится это число, повидимому, равен нулю.

Однако, с обоснования натуральных чисел начинают лишь в редких случаях. Признаюсь, что и я издавна придерживался построения теории вещественных чисел по Дедекинду, но раньше свойства целых и рациональных чисел предполагал известными. Во всяком случае, три последних раза я предпочел начинать с целых чисел. Из них, правда, один раз, – и делаю это также в наступающем летнем семестре, – в качестве уступки слушателям, желающим только дифференцировать, а выяснением понятия числа заняться не в первом семестре (если же возможно, – то и вообще никогда), я разбил мои лекции на две параллельно читаемые части, одну из которых назвал "основами анализа". В этой части, отправляясь от пеановских аксиом для натуральных чисел, я довожу до теории вещественных и комплексных чисел; правда, в первом семестре комплексные числа слушателям еще не нужны; однако, введение их после всего предшествующего столь просто, что никого не затруднит.

Но во всей математической литературе нет никакого учебника, который имел бы своей целью обосновать в указанном выше смысле только действия над числами. И даже в объемистых руководствах, где этому посвящены вводные главы, слишком многое оставляется (сознательно или бессознательно) на долю читателя.

Эта книжка дает возможность каждому коллеге, придерживающемуся другого педагогического направления и, значит, не входящему в изложение основ, по крайней мере сослаться (если он сочтет ее пригодной для этой цели) на источник, где все недостающее и только недостающее изложено в связном виде и без пробелов. Чтение ее не представит труда для того, кто – как это предполагается – знаком с излагаемыми результатами по школьному курсу и преодолел уже первые абстрактные четыре или пять страниц.

Я выпускаю эту книжку в свет с некоторым колебанием, так как тем самым выступаю в такой области, где (за исключением одного устного сообщения д-ра Кальмара (Kalmar)) ничего нового сообщить не имею; но ведь никто другой этого моего, частью скучного, труда не проделал.

Об авторе