Кутюра Л. Философские принципы математики.
Пер. с фр. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие к русскому изданию

"Принципы математики" Л.Кутюра представляютъ весьма ценное соединенiе научности съ удобопонятной формой изложенiя техъ важнейшихъ результатовъ критическаго изследованiя основъ математики, которые въ математической логике (иначе называемой символической логикой или логистикой) привели къ полному слiянiю дедуктивной логики и чистой математики въ единую научную систему. Предлагаемый переводъ труда Кутюра является первымъ изложенiемъ общей теорiи математической логики на русскомъ языке и, поэтому, можетъ послужить популяризацiи идей этой науки въ Россiи, где она пока мало известна.

Изъ изследованiй по математической логике, вышедшихъ въ светъ после "Принциповъ математики" Кутюра, самымъ значительнымъ произведенiемъ, несомненно, является новая капитальная система этой науки, разработанная Рёсселемъ въ сотрудничестве съ Уайтхедомъ. Кроме задачъ, общихъ всемъ системамъ математической логики, авторы преследуютъ здесь еще спецiальную цель разрешенiя противоречiй, которыя въ новейшее время были открыты въ математической логике и теорiи совокупностей. Эти противоречiя имеютъ первостепенное научное значенiе, такъ какъ ими доказывается неполность анализа основныхъ формально логическихъ отношенiй; поэтому выполненное Уайтхедомъ и Рёсселемъ ихъ разрешенiе несомненно представляетъ крупную реформу формальной логики.

На одно изъ логическихъ противоречiй, открытое имъ самимъ, Рёссель указываетъ уже въ своихъ "Принципахъ математики" и тамъ же намекаетъ на устраненiе подобныхъ противоречiй при помощи открытой имъ же теорiи "логическихъ типовъ", впоследствiи подробно развитой имъ и Уайтхедомъ въ ихъ системе. Хотя Кутюра въ своемъ изложенiи принциповъ математики, главнымъ образомъ, основывается на Рёсселе, онъ совершенно не упоминаетъ объ этомъ важномъ пункте его теорiи; следуетъ, однако, заметить, что трудъ Кутюра, темъ не менее, не утрачиваетъ своего значенiя, такъ какъ принципами теорiи типовъ не нарушается существенно форма остальныхъ принциповъ математической логики, а только ограничивается ихъ значимость.

Для удовлетворительнаго изложенiя теорiи типовъ необходимы очень обстоятельныя предварительныя выясненiя; мы здесь, поэтому, ограничимся приведенiемъ открытаго Рёсселемъ противоречiя и основной идеи, ведущей къ его разрешенiю.

Это противоречiе заключается въ следующемъ:

Пусть к будетъ классъ всехъ техъ классовъ, которые не являются членами самихъ себя. Тогда, для любого класса а, предложенiе: "классъ а есть членъ класса к"-эквивалентно предложенiю: "классъ а не есть членъ класса а". Отсюда следуетъ, если придать переменной а значенiе к, что предложенiе: "классъ к есть членъ класса к"-эквивалентно предложенiю: "классъ к не есть членъ класса к"; что является противоречiемъ.

Разбирая это противоречiе, можно усомниться въ томъ, чтобы выраженiе "классъ всехъ классовъ, которые не являются членами самихъ себя" имело значенiе класса. Но тутъ и является вопросъ о принципахъ, по которымъ, въ подобныхъ случаяхъ, можно было бы судить о существованiи классовъ. До Уайтхеда и Рёсселя эти принципы не были определены. Противоречiя, подобныя только что изложенному, устраняются ими определеннаго рода ограниченiемъ техъ условiй, при которыхъ даннымъ частнымъ значенiямъ переменныхъ какой-либо пропозицiональной функцiи соответствуетъ частное значенiе этой функцiи. У Кутюра мы читаемъ (стр.19): "Пусть будетъ phi х пропозицiональная функцiя отъ переменной х. Эта функцiя имеетъ смыслъ (является предложенiемъ) для всякаго заданнаго значенiя х". Между темъ, по основной идее теорiи типовъ всегда существуютъ такiя значенiя переменной х, которыя не определяютъ частнаго значенiя функцiи phi х если к также значенiе, то, следовательно, символъ phi к лишенъ значенiя.

Классъ всехъ техъ значенiй переменной х, для которыхъ функцiя phi х имеетъ частное значенiе, Рёссель называетъ логическимъ типомъ, соответствующимъ функцiи phi х. Соответствiе между функцiей и ея типомъ согласно теорiи типовъ не однозначное, такъ какъ типы двухъ функцiй phi х и phi у совпадаютъ, если эти типы содержатъ хоть одинъ общiй членъ. Къ типу, соответствующему пропозицiональной функцiи phi х, не принадлежатъ все те объекты мышленiя, которые могутъ быть определены только при посредстве самой этой функцiи. Поэтому классъ

х з phi х

всехъ истинныхъ частныхъ значенiй функцiи phi х не заключенъ въ соответствующемъ ей типе.

При этомъ предположенiи легко разрешается вышеприведенное противоречiе.

Пусть а представляетъ какой-либо классъ. Тогда существуетъ определяющая этотъ классъ пропозицiональная функцiя phi х, такъ что

(1) а = х з phi х.

Но функцiя phi x, какъ только что было замечено, не имеетъ значенiя для х = а, т.-е. символъ phi а лишенъ значенiя; поэтому, въ силу общей эквивалентности

phi к = к epsilon (х з phi х)

символъ

а еpsilon (х з phi х)

также не имеетъ значенiя; то же самое, вследствiе равенства (1), относится къ символу

а еpsilon а,

а потому и къ символу

а - epsilon а.

Такимъ образомъ, выраженiе "классъ а не является членомъ класса а" всегда лишено значенiя, а потому не обладаетъ значенiемъ и выраженiе "классъ всехъ классовъ, которые не являются членами самихъ себя". Этимъ разрешено противоречiе, которое следуетъ изъ предположенiя, что это выраженiе определяетъ классъ.

Въ связи съ фактомъ, что математическая логика до появленiя "Principa mathematica" по вышеизложенной причине должна считаться недостаточно обоснованной, является вопросъ, удовлетворяетъ ли система Уайтхеда и Рёсселя необходимымъ и достаточнымъ условiямъ, определяющимъ эту науку. Но точная формулировка этихъ условiй сама представляетъ задачу, разрешенiе которой проходитъ по этапамъ, параллельно и во взаимной связи съ прогрессомъ математической логики. Въ определенiе ея метода и содержанiя входятъ понятiя символа, предложенiя, функцiи, дедукцiи и т.д., анализъ которыхъ еще не можетъ считаться законченнымъ. Мы здесь хотимъ указать на некоторый существенный пробелъ въ определенiи метода математической логики и на одну проблему, которая возникаетъ съ устраненiемъ этого пробела и представляетъ философскiй интересъ.

Къ методу математической логики предъявляется требованiе, чтобы былъ определенъ некоторый ограниченный комплексъ ея предложенiй, изъ членовъ котораго могло бы быть дедуцированнымъ каждое изъ остальныхъ ея предложенiй. Но, какъ известно, всякая дедукцiя происходитъ по формамъ умозаключенiя; формы же умозаключенiя, на что указываетъ и самое ихъ названiе, являются формами актовъ дедукцiи и, потому, никоимъ образомъ, не могутъ быть отождествляемы съ какими - либо предложенiями. Такимъ образомъ, формы умозаключенiя не могутъ входить въ число первыхъ предложенiй математической логики.

Такъ какъ дедукцiя определяется не только посылками, изъ которыхъ дедуцируется, но и формами умозаключенiя, по которымъ дедуцируется, то каждая завершенная въ своихъ основанiяхъ дедуктивная система (въ томъ числе математическая логика) должна определяться некоторымъ конечнымъ комплексомъ Р, каждый членъ котораго является предложенiемъ, и некоторымъ конечнымъ комплексомь F, каждый членъ котораго представляетъ форму умозаключенiя. Такимъ образомъ, дедуктивная система будетъ функцiей отъ двухъ переменныхъ Р и F; обозначимъ эту функцiю символомъ D (Р, F). Какое-либо предложенiе р будетъ предложенiемъ этой системы D (Р, F), если р является членомъ такого ряда предложенiй, что каждый членъ этого ряда или заключется въ комплексе Р, или же представляетъ заключенiе изъ какихъ-либо предыдущихъ ему членовъ того же ряда согласно одной изъ формъ умозаключенiя, входящихъ въ комплексъ F.

Изложенное определенiе дедуктивной системы D (Р, F) приводитъ къ одному замечательному заключенiю.

Въ дедуктивную систему математической логики входятъ общiя предложенiя въ неограниченномъ количестве. Каждое такое предложенiе имеетъ форму.

"Всякое частное значенiе функцiи phi истинно", где phi представляетъ какую-либо пропозицiональную функцiю отъ одной или несколькихъ переменныхъ. Всякiй выводъ р изъ такого предложенiя, очевидно нуждается въ посылке вида

(alpha) "р есть частное значенiе функцiи phi",

и потому, согласно данному определенiю дедуктивной системы, въ систему математической логики должны входить въ неограниченномъ количестве предложенiя вида (аlpha).

Мы не находимъ никакого указанiя на этотъ фактъ въ существующихъ системахъ математической логики. Между темъ, онъ имеетъ первостепенное принципiальное значенiе для дедуктивнаго метода. Является вопросъ, какимъ образомъ обосновываются предложенiя вида (аlpha) въ дедуктивной системе. Очевидно, они или принимаются въ ней, какъ основныя посылки, или же дедуцируются. Но напрасно мы стали бы искать въ системахъ математической логики соответствующiя такой дедукцiи основныя посылки и формы умозаключенiя; если же предложенiя вида (alpha) принимаются въ нихъ въ качестве основныхъ посылокъ, то это противоречитъ требованiю, чтобы первыя предложенiя были даны въ определенномъ количестве. Такимъ образомъ, здесь остается неразрешенной некоторая основная проблема, относящаяся къ методу математической логики.

Въ заключенiе приведемъ несколько соображенiй по поводу критики, которой Кутюра подвергаетъ философiю математики Канта въ приложенiи къ своимъ "Принципамъ математики".

Мы показали, что въ математическую логику входятъ въ неограниченномъ количестве сужденiя формы.

"alpha есть частное значенiе функцiи phi" и заметили, что эти сужденiя никемъ не сведены къ какимъ-либо основнымъ принципамъ. Но, въ такомъ случае, следуетъ считать необоснованнымъ утвержденiе Кутюра (стр.226), что все сужденiя математической логики (въ частности сужденiя арифметики) формально выводятся изъ основныхъ чисто логическихъ принциповъ и въ этомъ смысле представляютъ сужденiя аналитическiя. Возможно, что математическая логика нуждается въ дополненiи другими принципами, существенно различными отъ чисто логическихъ, и что мышленiя согласно этимъ принципамъ предполагаетъ нечто ближе къ "наглядному представленiю" Канта.

Утвержденiе Канта, что "понятiе суммы 7 и 5 содержитъ въ себе только признакъ соединенiя этихъ двухъ чиселъ въ одно", и заключенiя изъ него Кутюра называетъ "безосновательными утвержденiями, которыя могли бы иметь смыслъ лишь при грубо эмпирическомъ пониманiи арифметики". Мы, напротивъ, видимъ въ приведенномъ положенiи Канта чрезвычайно глубокую и абстрактную мысль, которая очень могла бы послужить математической логике. Дело въ томъ, что Кантъ подъ "понятiемъ суммы 7 и 5", очёвидно, не можетъ понимать значенiе символа 7 + 5, т.-е. число 7 + 5, такъ какъ иначе онъ спорилъ бы противъ закона тождества; но символомъ 7 + 5 определяется еще другой предметъ мышленiя, совершенно отличный отъ числа 7 + 5. Предметъ этотъ - мысль.

"результатъ сложенiя чиселъ 7 и 5", определяющая число 12. Эту мысль можно называть смысломъ символа 7 + 5 въ отличiе отъ его значенiя, числа 7 + 5. Что следуетъ отличать мысль, определяющую предметъ, отъ этого предмета, ясно уже изъ того, что одинъ и тотъ же предметъ можетъ определяться различными мыслями. Мысль, определяющая предметъ, всегда представляетъ некоторую схему мыслительнаго синтеза, въ результате выполненiя котораго и получается предметъ, такимъ образомъ, однозначно определенный этой схемою. Такъ, напр., смыслъ символа 7 + 5 есть схема, выполненiе которой въ синтетическомъ акте мышленiя дало бы въ результате значенiе символа 7 + 5, т.-е. число 7 + 5.

По нашему убежденiю, объектами математической логики, могутъ быть только схемы и ихъ формы. Понятiе формы какой-либо схемы совпадаетъ съ понятiемъ функцiи, освобожденнымъ отъ привходящаго случайнаго элемента - способа символизацiи. Математическая логика, какъ чисто формальная апрiорная дисциплина, не должна содержать сужденiй о символахъ. Такiя сужденiя на деле, всегда являются признакомъ недостаточно глубокаго анализа формальныхъ отношенiй. Если математическая логика символична, то только въ томъ смысле, что въ ней мыслятся формальныя отношенiя при помощи ихъ конкретизацiи символами. Но мышленiе въ символахъ еще не является мышленiемъ о символахъ.

Предисловие автора

Настоящая работа совсемъ не претендуетъ на оригинальность, и это именно должно быть для нея рекомендацiей передъ читателемъ. Своимъ возникновенiемъ она обязана появленiю въ печати капитальнаго труда Бертранда Рёсселя, носящаго то же заглавiе. Собственно говоря, мы имели въ виду – дать публике отчетъ объ этомъ труде; но стремясь комментировать и осветить философскiя теорiи нашего автора, мы, въ конце концовъ, вынуждены были ввести въ свое изложенiе разборъ большей части работъ современныхъ математиковъ по темъ же вопросамъ. Изъ этого изследованiя современнаго состоянiя философiи математики мы вынесли для себя убежденiе (которое, надеемся, съ нами разделитъ и читатель), что ученiе Рёсселя отнюдь не является, подобно некоторымъ моднымъ философскимъ системамъ, блестящимъ парадоксомъ, личной и скоропреходящей фантазiей, безъ корней въ прошломъ и плодовъ въ будущемъ, но необходимымъ завершенiемъ и увенчанiемъ всехъ критическихъ исканiй математиковъ за последнiе полвека. Известно, что современные математики стали придавать особое значенiе дедуктивной строгости разсужденiй и логической чистоте понятiй. Этимъ новымъ запросамъ научной мысли, конечно, должна была отвечать все более и более точная и утонченная логика; необходимымъ же орудiемъ этой новой логики является "символическая логика", созданная Пэано, принятая целой школой математиковъ и усовершенствованная Рёсселемъ. Именно благодаря этой Логистике (какъ мы ее впредь будемъ называть) оказалось возможнымъ подвергнуть все математическiя теорiи самому строгому и кропотливому анализу и заново построить ихъ изъ небольшого числа основныхъ данныхъ (принциповъ и первыхъ понятiй). Благодаря ей же Рёссель, дополнивъ въ известныхъ пунктахъ работу логическаго приведенiя и сокращенiя, могъ дать въ систематическомъ виде обширный и глубокiй синтезъ всехъ добытыхъ результатовъ, - квинтэссенцiю всехъ предыдущихъ работъ,-и представить намъ самый духъ современной математики.

Оказалось, что духъ этотъ совершенно противоположенъ (и это заметили теперь помимо насъ многiе философы) философiи математики въ кантовомъ пониманiи,которое достаточно еще популярно въ различныхъ философскихъ школахъ. Вотъ почему мы воспользовались представившимся намъ случаемъ сопоставить въ отдельномъ этюде философiю математики Канта съ той философiей, которая въ невысказанномъ виде заключается въ современной математике. Такъ какъ подобное сопоставленiе поможетъ лучше понять современную математику и такъ какъ оно позволитъ лучше оценить всю оригинальность новаго ученiя, изложенiю котораго мы посвящаемъ настоящую книгу, то мы сочли полезнымъ приложить къ ней этотъ историческiй этюдъ. Намъ сделанъ былъ упрекъ, что въ немъ мы недостаточно историчны, что мы не вполне стали на точку зренiя Канта и не перенеслись въ его время, Мы, однако, вовсе и не думали, что въ подобномъ изследованiи надо отказаться отъ всякой критической или догматической задачи. Но если очень многiе историки, сопоставляя, по случаю столетней годовщины смерти Канта, его ученiе съ идеями нашего времени, находили возможнымъ прославлять его за согласiе съ ними, превозносили его жизненность и его современность, то мы имели право сделать подобное же сопоставленiе въ иной области и извлечь изъ него - въ этой области - заключенiя, менее благопрiятныя кантiанству. Всегда требовать отъ критика, чтобы онъ понималъ философа "извнутри", становясь на его точку зренiя и переносясь въ его эпоху, значитъ допускать, что въ философiи нетъ истины, что философская система есть произведенiе искусства, имеющее цену лишь постольку, поскольку оно внутренне едино и гармонично. Въ философiи, какъ и въ иныхъ областяхъ, суеверное почитанiе историческаго факта приводитъ къ дилетантизму и скептицизму.

Последовательность требуетъ отъ насъ быть такъ же независимыми и по отношенiю къ нашимъ прежнимъ мненiямъ. Мы должны предупредить читателей, знакомыхъ съ нашей работой De l'Infini mathematique, что мы отказываемся здесь отъ некоторыхъ положенiй, которыя тамъ защищали. Выражаясь точнее, мы скажемъ, что въ силе остается вся дидактическая и критическая часть прежней работы; положительную же часть, особенно теорiю числа и величины, заменятъ II и III главы настоящей книги. Пусть поэтому критики не подчеркиваютъ явныхъ противоречiй между нашими теперешними и прежними положенiями. Если бы нужно было искать оправданiя этимъ переменамъ (являющимся, по нашему мненiю, движенiемъ впередъ), то мы видели бы его въ томъ, что все работы, на которыя мы теперь опираемся, появились въ последнiя десять летъ, уже после составленiя нашего перваго труда.

Это соображенiе устраняетъ всякiя иллюзiи и относительно окончательнаго характера нашего новаго труда. Если бы даже наша книга сегодня была въ курсе идей, - завтра она уже устарела бы. Ежегодно (можно было бы, пожалуй, сказать: ежемесячно) появляются новые мемуары о принципахъ той или иной отрасли математики, которые завершаютъ въ какомъ-нибудь пункте логическую реконструкцiю точныхъ наукъ. Число и разнообразiе этого рода работъ, появляющихся въ Италiи, Англiи, Германiи, Америке, даже для самаго поверхностнаго наблюдателя служатъ доказательствомъ непрерывнаго прогресса логистики и логики математики. Къ сожаленiю нашему, мы должны констатировать, что Францiя въ этой работе до сихъ поръ не принимала никакого участiя, и мы бы считали свой трудъ щедро вознагражденнымъ, если бы онъ способствовалъ ознакомленiю страны съ этимъ внушительнымъ цикломъ работъ, если бы онъ содействовалъ распространенiю созданныхъ ими ученiй, наконецъ, въ особенности, если бы онъ послужилъ стимуломъ для нашихъ соотечественниковъ къ соперничеству съ иностранными логистами, къ сотрудничеству съ ними и къ продолженiю начатой ими работы.

Введение

До середины XIX века Логика и Математика существовали каждая совершенно самостоятельно и даже отдельно одна отъ другой. Логика ограничивалась узкой областью, отведенной ей Аристотелемъ, а именно изученiемъ отношенiй включенiя (inclusion) и сказуемой связи (predication) между общими и отвлеченными понятiями; и вопреки попыткамъ Юнга, Лейбница и ихъ учениковъ, которыя остались или безуспешными или неизвестными, ничто не предвещало возрожденiя или новаго развитiя логики. Съ другой стороны, математическiя дисциплины (это множественное число – знаменательно) представляли собою собранiе спецiальныхъ наукъ техническаго характера: науки о числе, науки о величине, науки о пространстве, науки о движенiи, – довольно смутное единство которыхъ состояло только въ общности ихъ метода. Но любопытная вещь: дедуктивный методъ этихъ наукъ былъ совершенно неизвестенъ формальной логике, которая, темъ не менее, претендовала на изследованiе всехъ формъ дедукцiи; благодаря этому конституировалась въ скрытомъ виде математическая логика, совершенно отличная отъ классической (силлогистической); и философы, искавшiе объясненiя этой двойственности, удовлетворялись темъ, что противопоставляли другъ другу логику количества и логику качества, не пытаясь раскрыть той связи, которая бы ихъ соединила, какъ ветви одной и той же логики.

Положенiе вещей совершенно изменилось въ теченiе второй половины XIX века. Съ одной стороны, математики стали очень требовательными въ отношенiи логическаго обоснованiя своей науки, чемъ совершенно не отличались ихъ предшественники; они стали анализировать способы доказательства, проверять связи теоремъ, отыскивать въ разсужденiяхъ такiе гипотезы или постулаты, которые скрывались въ нихъ незамеченными, наконецъ, начали выделять те изъ принциповъ или аксiомъ, изъ которыхъ исходили ихъ дедукцiи и отъ которыхъ зависели все ихъ теорiи. Исчисленiе безконечно-малыхъ, въ основанiяхъ котораго все еще оставалось много парадоксальнаго и таинственнаго, было, наконецъ, обосновано на строгой теорiи пределовъ; теорiя функцiй, въ которой долго господствовали предразсудки интуитивнаго характера, была очищена и углублена. Геометрiя и механика, очищенныя, насколько возможно, отъ интуицiи, стали "гипотетико -дедуктивными системами", основанными на известномъ числе аксiомъ или постулатовъ, изъ которыхъ все остальное выводится логически. Наконецъ, разрывъ основанiе своей науки и подводя подъ все зданiе новый фундаментъ, математики построили две новыхъ теорiи: теорiю ансамблей и теорiю группъ, иначе говоря: науку о многообразiяхъ и науку о порядке, которыя и должны были впредь стать основанiемъ всехъ другихъ математическихъ теорiй. Благодаря этому стало яснымъ, что науки о числе и величине не являются первоначальными, но опираются на ученiя скорее логическаго, чемъ математическаго, характера и на понятiя, не содержащiя уже ничего количественнаго.

Съ другой стороны, логика къ этому же времени, благодаря математикамъ, вышла изъ своего векового оцепененiя: прежде всего было замечено, что даже не все то поле, которое отвелъ ей А р и с т отель, ею изследовано и обработано; въ ограниченной области отношенiй включенiя между понятiями было найдено много другихъ формъ дедукцiи, помимо пресловутыхъ модусовъ силлогизма (четыре изъ которыхъ къ тому же оказались ложными). Заимствуя у алгебры не принципы ея, а методъ и символизмъ, формальная логика сначала отлилась въ двойную форму исчисленiя классовъ и исчисленiя предложенiй, у которыхъ взаимныя аналогiи поразительны. Затемъ было замечено, что человеческiй умъ ясно представляетъ и употребляетъ, какъ въ обыденной жизни, такъ и въ науке, многiя другiя отношенiя, помимо отношенiй включенiя между понятiями, – и логика принялась анализировать и классифицировать все эти отношенiя, изучая те формальныя свойства, благодаря которымъ отношенiя оказываются пригодными для процессовъ дедукцiи. Расширяя такимъ образомъ свой прежде очень ограниченный горизонтъ, логика становилась логикой отношенiй. А такъ какъ наиболее простыя и элементарныя отношенiя можно найти въ математическихъ теорiяхъ, то логику стали применять къ анализу и проверкъ внутренней связи математическихъ предложенiй и даже къ доказательству такъ называемыхъ аксiомъ, сводя последнiя къ чисто логическимъ принципамъ. Съ этого момента былъ переброшенъ мостъ между двумя когда-то отдельными областями – логикой и математикой. Исчисленiе классовъ является наиболее элементарной частью теорiи ансамблей, а логика отношенiй есть необходимое основанiе теорiи группъ и теорiи функцiй. Такъ свершилось въ наши дни соединенiе, чтобы не сказать полное слiянiе, логики съ математикой; уже нельзя более различить, где кончается логика и начинается математика, разве что вместе съ Рёсселемъ сказать, что логика составляетъ общую и элементарную часть математики, а математика состоитъ въ приложенiи принциповъ логики къ спецiальнымъ отношенiямъ, Конечно, всюду здесь речь идетъ только о чистой математике, которая разсматривается, какъ "гипотетико-дедуктивная система" (выраженiе Пiэри), то-есть, какъ совокупность предложенiй, истинность которыхъ подчинена известнымъ гипотезамъ, изъ которыхъ эти предложенiя выводятся логически. Известно, что всякая теорема математики подчинена явнымъ или неявнымъ гипотезамъ или условiямъ: если эти гипотезы (въ такомъ-то частномъ случае) истинны, то и теорема (въ томъ же случае) истинна. Это свидетельствуетъ о логическомъ характере математическихъ истинъ и о томъ роде ценности, который имъ присущъ; эту ценность можно назвать гипотетической необходимостью. Теперь уже не будетъ для читателя непонятнымъ определенiе, которымъ начинается книга Рёсселя: "Чистая математика есть совокупность предложенiй вида: "изъ р следуетъ (implique) q", где р и q суть предложенiя, содержащiя одни и те же переменныя и не содержащiя никакихъ постоянныхъ, кроме логическихъ". Иными словами, чистая математика есть совокупностъ формальныхъ выводовъ (implication), независимыхъ отъ какого бы то ни было содержанiя. Этимъ оправдывается парадоксальное и юмористическое утвержденiе того же автора, высказанное въ другомъ месте: "Математика это такая наука, где никогда не знаютъ, о чемъ говорятъ, а также не знаютъ, истинно ли то, что говорятъ". Действительно, не знаютъ о чемъ говорятъ, потому что содержанiе выводовъ неопределенно, и не знаютъ, верно ли то, что говорятъ, потому что истинность следствiй зависитъ отъ истинности гипотезъ, которая, въ свою очередь, зависитъ отъ приписываемаго имъ содержанiя. Прикладная математика состоитъ именно въ примененiи этихъ формальныхъ выводовъ къ матерiальнымъ даннымъ; поэтому тезисы теоремъ становятся истинными тогда и постольку, когда и поскольку ихъ гипотезы оправдываются этими данными; но сами теоремы истинны всегда, поскольку оне являются формальными выводами, для которыхъ, какъ мы увидимъ, не имеетъ значенiя ни истина ихъ гипотезъ, ни истина ихъ тезисовъ. Прикладная математика включаетъ геометрiю и механику, поскольку оне касаются реальныхъ (или, скорее, актуальныхъ, какъ говорятъ англичане) пространства и мiра, но не включаетъ ихъ, когда оне разсматриваютъ идеальное пространство и возможный мiръ. Точно такъ же она включаетъ арифметику "конкретныхъ" чиселъ, то есть, всевозможныя примененiя чиселъ къ счету реальныхъ предметовъ или измеренiю реальныхъ величинъ. Таково ясное и логическое различiе между чистой и прикладной математикой, которое недавно оспаривалось – какъ намъ кажется – несправедливо.

Это прогрессирующее слiянiе логики съ чистой математикой, неявно и почти безсознательно осуществленное въ трудахъ Буля, Шрёдера, Пирса, съ одной стороны, и Вейерштрасса, Георга Кантора и Пэано, съ другой, знаменуетъ собою, очевидно, революцiю въ философiи математики и, следовательно, въ теорiи познанiя. Движенiе созрело настолько, что возможнымъ сталъ уже систематическiй обзоръ и синтезъ всехъ разсеянныхъ трудовъ. Этотъ долгожданный синтезъ, наконецъ, выполненъ. Трудъ Рёсселя резюмируетъ и приводитъ въ порядокъ результаты критическйхъ изысканiй современныхъ математиковъ и новыя теорiи, вызванныя ими къ жизни. Это – логическая реконструкция всей чистой математики съ помощью "Логистики" Пэано, исправленной и дополненной авторомъ въ новой еще области Логики отношенiй. Цель этого труда, въ общемъ, оправдать тезисъ о тождестве логики и математики въ ихъ основахъ, показавъ, что все предложенiя математики опираются на девять неопределимыхъ понятiй и двадцать недоказуемыхъ принциповъ, которые являются первыми понятiями и принципами самой логики.

Правда, формальное доказательство этого тезиса (при помощи символической логики, единственнаго строгаго и надежнаго способа разсужденiя) будетъ дано во второмъ томе, подготовляемомъ Рёсселемъ при сотрудничестве Уайтхеда, автора прекраснаго Трактата о всеобщей алгебре. Но это доказательство въ неявномъ виде уже имеется въ трудахъ Пэано и его школы, и особенно въ Formulaire de Mathematiques, главнейшемъ изъ ея произведенiй.

Это доказательство мы и хотимъ здесь сокращенно изложить, конечно, въ менее строгомъ виде, но за то и въ менее технической форме, более доступной философамъ, незнакомымъ съ логистикой. Но сначала мы должны будемъ перечислить принципы и первыя понятiя логики, потому что они являются принципами и первыми понятiями всей математики и потому что, во всякомъ случае, чтобы судить о нашемъ тезисе, надо знать методъ, путемъ котораго можно проверить его справедливость. Кроме того, мы уже говорили, что классическая логика была абсолютно недостаточна для выясненiя характера математическихъ разсужденiй; следовательно интересно и даже необходимо дать краткое обозренiе современной логики, которая, вполне поглощая классическую логику, безконечно шире и содержательнее ея и является истинной логикой математики.

Об авторе

Кутюра Луи

Французский математик, философ, логик и лингвист. Получил математическое и философское образование в Высшей нормальной школе (Париж). Профессор Тулузского университета и Коллеж де Франс. Автор получивших широкую известность книг «Логика Лейбница» (1901) и «Алгебра логики» (1905), в которых одним из первых обратил внимание на современное значение логических идей Лейбница. Большой резонанс в научном мире вызвала его полемика с А. Пуанкаре, результаты которой были опубликованы в книге «Математика и логика» (русское издание — М.: URSS). Кроме того, Л. Кутюра получил известность как один из создателей и пропагандистов искусственного языка идо.