В настоящее время математика интенсивно проникает в другие науки. Дифференциальные уравнения, как и многие другие математические задачи, являются мощным средством для решения прикладных задач. Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется различными количественными характеристиками, поэтому она и вобрала в себя большое число математических методов. В связи с этим математические дисциплины следует рассматривать как одну из важнейших составляющих в системе фундаментальной подготовки экономистов, особенно по специальностям 080116 "Математические методы в экономике" и 080601 "Статистика". К построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения, приводит исследование как природных процессов, так и изучение закономерностей развития общества. Например, дифференциальными уравнениями моделируются проблемы инфляции, государственного долга, экономического роста, безработицы, взаимосвязей денежного и реального рынков и др. В данном пособии изложены необходимые основы математического аппарата теории дифференциальных уравнений, приведены примеры решения каждого из рассмотренных типов уравнений и их использования в современных экономических задачах. Материал излагается без доказательств, так как основное внимание уделено применению математического аппарата на практике. Цель данного пособия – рассмотреть различные дифференциальные уравнения и наполнить математические упражнения экономическим содержанием. Большинство известных классических учебников и задачников по теории дифференциальных уравнений посвящено решению физических, химических и технических задач. Они имеют свою особенность. Каждая задача сформулирована в терминах той области знаний, для которой строится математическая модель. Что касается сборников задач по математике для экономистов, то зачастую специфика этих изданий заключается только в облегчении заданий. Однако существует немало экономических моделей, которые описываются не только уравнениями с разделяющимися переменными. Например, для моделирования инфляционных ожиданий используется уравнение гармонического осциллятора, часто применяемое в задачах по электротехнике. Кроме того, исследование устойчивости полученного решения для экономической модели не менее важно, нежели для модели из области физики, электротехники, гидравлики, оптики и других областей. В данном пособии собраны и классифицированы экономические задачи различного уровня сложности: начиная с простых задач экономической теории и заканчивая эконометрическими моделями, применяемыми в серьезных исследованиях. Все задачи формулируются с помощью терминологии, используемой в курсах микро- и макроэкономического моделирования. Некоторые рассмотренные задачи приведены только в качестве иллюстрации, так как подробно их решение разбирается на старших курсах. В конце многих разделов предложены типовые задания для самостоятельной работы, которые могут быть заданы студентам в качестве семестровой работы. Пособие состоит из восьми глав. В первой главе приводятся основные определения и понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также методика и типовые примеры составления уравнений. Вторая глава посвящена классификации и методам решения уравнений первого порядка: уравнений с разделяющимися переменными, однородных и неоднородных уравнений, уравнений Бернулли и в полных дифференциалах. В третьей главе изложены основные принципы понижения порядка уравнений, содержащих k > 1 производных. В четвертой главе рассмотрены однородные уравнения с постоянными коэффициентами, введено понятие характеристического уравнения и приведены все возможные способы получения общего решения такого уравнения. Пятая глава посвящена неоднородным уравнениям высших порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрен не только простейший случай – когда правая часть уравнения имеет специальный вид, но и общий случай, когда уравнение не удается решить с помощью подбора коэффициентов частного решения. Для решения такой задачи приведен метод вариации произвольных постоянных. Кроме того, рассмотрены метод суперпозиции решений и уравнение Эйлера, часто встречающееся в задачах эконометрического моделирования. В шестой главе изложены основные принципы решения систем из двух и трех дифференциальных уравнений. Рассматривается сведение системы к уравнению высших порядков. В качестве частных случаев приводятся линейные однородные и неоднородные системы с постоянными коэффициентами и их применение в экономике. Дана классификация траекторий решений линейных систем на плоскости. Седьмая глава посвящена исследованию решений уравнений и систем на устойчивость. Кроме основных понятий и определений рассмотрены способы исследования на устойчивость решений линейных систем с постоянными коэффициентами. В восьмой главе рассмотрены определение разностного уравнения и методы решения таких уравнений, имеющих постоянные коэффициенты (однородных, неоднородных, со специальной правой частью). Численным методам решения дифференциальных уравнений и примеры решенных задач на Matlab посвящено учебное пособие "Численные методы", вышедшее в издательстве URSS в 2010 году. Материал этого пособия является значительной частью курса "Численные методы", также изучаемого студентами указанных специальностей. В конце учебного пособия содержатся ответы и указания для заданий. Для наиболее сложных примеров и задач в тексте соответствующих глав приведены решения. Ответы к заданиям для самостоятельной работы размещены на web-странице настоящей книги в интернет-магазине PersonNameURSS.ru. В разделе "Персоналии" (Приложение 3) даны краткие биографические сведения о математиках и экономистах, внесших вклад либо в развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, либо в моделирование экономических систем. Макаровских Татьяна Анатольевна Доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры «Системное программирование» Южно-Уральского государственного университета. В 2003 г. с отличием окончила ЮУрГУ по специальности «Прикладная математика». В 2006 г. защитила кандидатскую диссертацию по специальности «Теоретические основы информатики» в Вычислительном центре имени А. А. Дородницына РАН. В 2020 г. защитила докторскую диссертацию по той же специальности в ЮУрГУ. Является автором более 100 научных публикаций, 7 учебных пособий, монографии «Маршруты-покрытия специального вида в графах: Теоретические основы и применение в ресурсосберегающих технологиях» (М.: URSS), а также более 10 зарегистрированных программ для ЭВМ.
|