|
Оглавление
Предисловие
Термин "бесконечномерная группа" не имеет строгого определения и, к тому же, не слишком точен. Он означает примерно "очень большая группа". К таким группам относятся, например, следующие классы групп: [(1)] группы диффеоморфизмов многообразий; [(2)] группы, связанные с алгеброй Вирасоро и алгебрами Каца--Муди; [(3)] бесконечные аналоги симметрической группы; [(4)] различные группы операторов в гильбертовом пространстве (например группы автоморфизмов канонических коммутационных и антикоммутационных соотношений); [(5)] группы токов (т.е. группы каких-нибудь функций на чем-нибудь со значениями в какой-нибудь группе); [(6)] группы автоморфизмов пространств с мерой; Представления различных групп перечисленных типов стали изучаться в разное время, начиная примерно с 1950г. Долгое время эти теории развивались независимо и по расходящимся направлениям, и с течением времени становилось все меньше надежды на построение какой-либо связной картины. Однако с начала 80-х годов эта картина начала составляться (что очень трудно понять по существующей литературе), и сейчас, наконец, появилась возможность эту картину описать. Это -- одна из целей нашей книги. Другая цель, тесно связанная с первой, -- явное построение "скрытых структур" (мантий и шлейфов), связанных с бесконечномерными группами. Оказывается, что (по крайней мере, с точки зрения теории представлений) "главными действующими лицами" являются не группы (из списка (1)--(6)), а значительно большие объекты, включающие в себя эти группы. Это немного похоже на взаимоотношения вещественных и комплексных чисел; вещественные числа есть и сами по себе, но вещественная алгебра и вещественный анализ становятся понятными лишь после выхода в комплексную область. Эти скрытые структуры тоже имеют довольно долгую историю (начиная с 60-х годов), многие занимались ими явно, а многие -- не сознавая, по-видимому, что они занимаются "скрытыми структурами". В течение сравнительно продолжительного времени описать эти структуры в удобных терминах не удавалось, положение стало проясняться лишь с конца 1987 года, и, как мне кажется, сейчас в основном прояснилось. Наконец, еще одна цель книги (которой я добиваюсь лишь в меру возможности) -- явное описание конструкций неприводимых представлений для бесконечномерных групп; мне кажется, что в существующей (мало-мальски доступной для чтения) литературе в этом месте серьезный пробел. С другой стороны, рассмотрение большого числа разных групп вынудило меня быть крайне жестким в отборе материала. В книге почти отсутствует целый ряд естественных сюжетов, таких как классификация представлений (исключение составляют главы III и VIII), комбинаторное строение представлений, асимптотическая теория, теория сферических функций, гармонический анализ. Не рассматриваются и аффинные алгебры. Все это, конечно, обедняет содержание, но имеет и положительную сторону, так как резко снижает требования к подготовке читателя -- специальных познаний по теории представлений для чтения книги не требуется. Ряд вспомогательных вопросов и технически несложных рассуждений представлены в виде задач. Звездочка у задачи ставилась в том случае, когда я не был уверен в том, что задача достаточно проста. Как правило, такие задачи снабжены ссылками на литературу. Две ключевые конструкции с точки зрения излагаемой теории -- спинорное представление ортогональной категории (главы II, IV) и "представление Вейля" симплектической категории (главы V, VI). В этих главах сосредоточены основные технические сложности, изложение в них довольно полно в том смысле, что мне удалось сказать в них б\'ольшую часть из того, что, на мой взгляд, заслуживает быть сказанным. Для обеих конструкций мы сначала рассматриваем их "конечномерную часть" (главы II и V), отчасти потому, что это представляет самостоятельный интерес, отчасти потому, что переход к бесконечномерному случаю связан со значительными аналитическими сложностями, и изложение будет более понятным, если сначала отделить "алгебраическую часть". В заключение я должен поблагодарить всех людей, с которыми мне пришлось обсуждать бесконечномерные группы в Москве 80-х годов: Г.И.Ольшанского, Р.С.Исмагилова, А.А.Кириллова, А.М.Вершика, А.В.Карабегова, М.Л.Концевича, Д.Б.Фукса, В.Ф.Молчанова, М.Л.Назарова, А.Г.Реймана, Е.Т.Шавгулидзе, Д.В.Юрьева. Все они в большей или в меньшей степени оказали влияние на меня, а следовательно, и на эту книгу. В особенности я благодарю Г.И.Ольшанского за многолетнее сотрудничество. Москва, 1991--1993 Русское издание книги отличается от английского (выпущенного издательством Oxford University Press в 1996г.) в основном редакционными изменениями. Кроме того, включены предварительные сведения (добавление G), а также несколько новых пунктов в добавлении F и в.6. Я благодарю Российский фонд фундаментальных исследований и издательство URSS за русское издание книги. Москва, 1998 Об авторе
 Неретин Юрий Александрович Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1980 г. и аспирантуру в 1983 г. В 1984 г. удостоен степени кандидата физико-математических наук (механико-математический факультет МГУ), в 1992 г. — доктора физико-математических наук (Математический институт имени В. А. Стеклова РАН). Приглашенный докладчик на 1-м Европейском математическом конгрессе (1992). В 1983–2000 гг. работал в Московском институте электроники и математики (МИЭМ), профессор с 1992 г. В 2000–2011 гг. также работал в Вене (Институт Шрёдингера и Венский университет). С 2008 г. профессор кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ. С 2000 г. ведущий научный сотрудник Института теоретической и экспериментальной физики (ИТЭФ), с 2014 г. ведущий научный сотрудник Института проблем передачи информации (ИППИ РАН). Автор нескольких книг, в числе которых: «Categories of symmetries and infinite-dimensional groups» (New York, 1996), русское издание: «Категории симметрий и бесконечномерные группы» (М.: URSS); «Lectures of Gaussian integral operators and classical groups» (European Mathematical Society, 2011), а также более 100 научных статей. Работает в Вене с 2000 г. (Институт Эрвина Шрёдингера, Венский университет, Институт Вольфганга Паули).
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||