| Предисловие |
| Часть I . МЕТОД МАКСИМУМА И ГАРМОНИЧЕСКОЙ МАЖОРАНТЫ |
| Введение |
| | § 1. Связь между функциями гармоническими и аналитическими |
| | § 2. Функция Грина |
| | § 3. Свойства функции Грина |
| | § 4. Формула Грина |
| | § 5. Интеграл Пуассона |
| Глава I. Обобщенный параметр Лапласа |
| | § 1. Определение обобщенного параметра Лапласа |
| | § 2. Новое определение гармонической функции |
| | § 3. Теорема Гарнака |
| Глава II. Выпуклые функции |
| | § 1. Определение выпуклой функции |
| | § 2. Принцип максимума |
| | § 3. Критерии и основные свойства выпуклых функций |
| | § 4. Примеры |
| Глава III. Субгармонические функции |
| | § 1. Определение непрерывной субгармонической функции |
| | § 2. Критерий непрерывной субгармонической функции |
| | § 3. Общее определение субгармонической функции |
| | § 4. Наилучшая гармоническая мажоранта |
| | § 5. Второе определение субгармонической функции |
| | § 6. Простейшие свойства субгармонических функций |
| | § 7. Примеры |
| | § 8. Теорема о среднем значении |
| | § 9. Различные определения субгармонической функции |
| | § 10. Простейший критерий субгармонической функции |
| | § 11. Классификация субгармонических функций |
| | § 12. Логарифмически-субгармонические функции |
| | § 13. Теорема о логарифмически-субгармонических функциях |
| | § 14. Обобщение теоремы Гарди |
| | § 15. Среднее значение порядка alpha как функция от alpha |
| | § 16. Обобщение теоремы Адамара |
| | § 17. Теорема о трех плоскостях |
| | § 18. Теорема о трех цилиндрах |
| | § 19. Теорема о трех полуплоскостях |
| | § 20. Теорема о трех конусах |
| Глава IV. Принцип максимума в его простейшей форме |
| | § 1. Принцип максимума в его простейшей форме |
| | § 2. Лемма Шварца |
| | § 3. Принцип максимума в обобщенном виде |
| | § 4. Второе расширение принципа максимума |
| | § 5. Случай счетного множества исключительных точек |
| | § 6. Приложения к угловым областям (плоский случай) |
| | § 7. Пространственный случай . |
| | § 8. Приложении к угловым областям – продолжение (плоский случай) |
| | § 9. Пространственный случай |
| | § 10. Приложения к угловым областям – окончание (плоский случай) |
| | § 11. Резюме |
| | § 12. Субгармонические функции во всей плоскости |
| | § 13. Субгармонические функции во всем пространстве |
| Глава V. Принцип гармонической мажоранты и его приложения |
| | § 1. Принцип гармонической мажоранты |
| | § 2. Неравенство Неванлинны и Островского |
| | § 3. Лемма Карлемана |
| | § 4. Лемма Карлемана в пространстве |
| | § 5. Понятие наилучшей гармонической мажоранты в полной области |
| | § 6. Критерий разложимости субгармонической функции на сумму двух слагаемых |
| | § 7. Некоторые экстремальные задачи теории субгармонических функций |
| Глава VI. Подчиненные субгармонические функции |
| | § 1. Определение |
| | § 2. Принцип средних значений |
| | § 3. Принцип максимума и минимума |
| | § 4. Подчиненные аналитические функции комплексного переменного |
| | § 5. Пример |
| | § 6. Метод Линделефа для круга |
| | § 7. Приложения |
| | § 8. Модулярная функция |
| | § 9. Неравенство Шоттки |
| | § 10. Теорема Ландау |
| | § 11. Метод Линделефа для односвязной области |
| | § 12. Теорема Пикара |
| Глава VII. Подчиненные субгармонические функции в обобщенном смысле |
| | § 1. Неевклидова метрика |
| | § 2. Лемма Шварца-Пика |
| | § 3. Определение |
| | § 4. Принцип максимума и минимума |
| | § 5. Принцип средних значений |
| | § 6. Случай односвязной области |
| ЧАСТЬ I I. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД |
| Глава I. Аналитический аппарат для представления субгармонических функций |
| | § 1. Основная формула для представления субгармонической функции в классическом случае |
| | § 2. Функция множества |
| | § 3. Интеграл Стильтьеса |
| | § 4. Потенциал |
| | § 5. Аппроксимация субгармонической функции |
| | § 6. Принцип компактности функций множества |
| | § 7. Основная формула для представления субгармонической функции внутри области |
| | § 8. Основная формула для представления субгармонической функции во всей области |
| | § 9. Приложения к аналитическим функциям |
| | § 10. Обобщение формулы Иенсена-Неванлинны |
| Глава II. Приложения аналитического аппарата к изучению субгармонической функции внутри области |
| | § 1. Свойства характеристической функции |
| | § 2. Функция N (rho) |
| | § 3. Критерий для суммы субгармонической отрицательной и супергармонической положительной функций |
| | § 4. Обобщение теоремы Лиувилля |
| | § 5. Логарифмический потенциал конечной массы |
| Глава III. Граничная задача |
| | § 1. Случай круга |
| | § 2. Случай произвольной области |
| | § 3. Общая задача |
| Библиографический указатель |
Настоящая монография "Субгармонические функции" содержит
лекции, читанные мною в Московском государственном университете
в 1934/35 учебном году.
Книга дает изложение новой теории субгармонических функций
и связи с их приложениями к аналитическим функциям комплексного
переменного и разделяется на две части сообразно методу исследования.
Первая часть монографии посвящена изучению свойств субгармонических
функций, пользуясь в основном методом максимума и гармонической
мажоранты; при этих исследованиях мы не пользуемся аналитическим
аппаратом, при помощи которого представляется субгармоническая
функция. В основу же второй части положена формула для
изображения субгармонической функции и изучаются свойства таких
функций, отправляясь от их аналитического представления.
Считаю своим долгом выразить глубокую благодарность проф.
А.Я.Плесснеру за ценные указания, внесенные им при редактировании
этой книги.
Привалов Иван Иванович