|
Содержание
Из главы I. История создания геометрии Лобачевского. Пятый постулат Евклида
Возникновение геометрии относится к глубокой древности и связано в первую очередь с практической деятельностью человека. Первые дошедшие до нас сочинения по геометрии, появившиеся в Древнем Египте во втором тысячелетии до нашей эры, содержат правила вычисления площадей и объемов некоторых простейших фигур и тел. Правила эти были получены практическим путем, без какого-либо доказательства их справедливости. С VII по I век до нашей эры центр развития геометрии перемещается в Грецию. Здесь накапливаются сведения о соотношениях между сторонами и углами треугольника, возникает учение о площадях и объемах, о пропорциях и подобии, о решении задач на построение и т.д. Появляются уже сравнительно строгие логические доказательства ряда утверждений. Геометрические исследования этого периода связаны с именами Фалеса (VI в. до н.э.), Пифагора (V в. до н.э.), Демокрита (V в. до н.э.), Эвдокса (IV в. до н.э.) и др. Основные принципы дедуктивного построения науки впервые отчетливо были сформулированы Аристотелем (IV в, до н.э.). Он отмечал, что при доказательстве того или иного утверждения мы опираемся на ранее установленные факты. Поэтому те положения, с которых мы начинаем построение науки, не могут быть логически доказаны – они принимаются без доказательства и называются аксиомами. Воплощением этих идей Аристотеля явился знаменитый труд Евклида "Начала" (ок. 300 г. до н.э.). В нем сформулировано сравнительно небольшое число постулатов и аксиом геометрии, из которых выведены почти все известные в то время теоремы (следует отметить, что в результате более поздних исследований этого круга вопросов выяснилось, что список аксиом Евклида не полон – некоторые аксиомы, необходимые для построения геометрии, Евклид не формулировал; полный список аксиом планиметрии приведен в приложении в конце брошюры). Приведем постулаты и аксиомы Евклида. Нужно потребовать: 1) чтобы от каждой точки к каждой точке можно было провести прямую линию; 2) и чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать по прямой; 3) и чтобы вокруг любого центра любым радиусом можно было провести окружность; 4) и чтобы все прямые углы были равны друг другу; 5) и чтобы, когда прямая, пересекая две прямые, образует внутренние односторонние углы, составляющие в сумме меньше двух прямых углов, эти прямые при продолжении пересекались в точке, лежащей с той стороны, где расположены эти углы. Аксиомы 1) равные одной и той же равны; 2) и если к равным придать равные, то получатся равные; 3) и если от равных отнять равные, то получатся равные; 4) совмещаемые друг с другом равны друг другу. При рассмотрении аксиом Евклида сразу бросается в глаза, что 5-й постулат выделяется на фоне остальных: его формулировка отличается существенно меньшей простотой и наглядностью. Конечно, можно заменить 5-й постулат какой-нибудь другой аксиомой, более простой по формулировке. Например, можно потребовать, как это делается в большинстве школьных учебников, чтобы через точку, не лежащую на данной прямой, проходила только одна прямая, параллельная данной. Однако даже и в такой формулировке это утверждение, очевидно, менее наглядно, чем остальные аксиомы Евклида и даже некоторые простейшие теоремы (например, теорема о сумме смежных углов) – ведь в нем идет речь о поведении прямых сколь угодно далеко от указанной точки! В связи с этим возник вопрос: не является ли 5-й постулат теоремой, которую Евклид не сумел доказать и поэтому включил в число аксиом? На протяжении почти двух десятков веков усилия сотен геометров были направлены на решение этого вопроса. Однако все попытки доказать 5-й постулат оказались безуспешными: во всех предложенных доказательствах либо обнаруживались ошибки, либо 5-й постулат заменялся другой аксиомой, эквивалентной этому постулату. Приведем несколько примеров. Древнегреческий ученый Посидоний (I в. до н.э.) в своем доказательстве 5-го постулата опирался на новую аксиому: множество всех точек, находящихся от данной прямой на данном расстоянии, есть прямая. Древнегреческий ученый Прокл (V в. н.э.) исходил из того, что если две прямые параллельны, то расстояние между ними ограничено. Персидский поэт и ученый Омар Хайям (XI–XII в. н.э.) в своих рассуждениях опирался на то, что две сближающиеся прямые не могут с некоторого момента начать расходиться. Но это, очевидно, есть новая аксиома. Подобным примерам нет числа. К началу XIX века исследования вопроса о возможности доказать 5-й постулат Евклида составили весьма обширную библиотеку, однако сама проблема так и не была решена. Единственный результат этих исследований состоял в выявлении целого ряда утверждений, эквивалентных 5-му постулату. Приведем некоторые из них: существует выпуклый четырехугольник, у которого все углы прямые (А.Клеро, XVIII в); существует треугольник, подобный, но не равный другому треугольнику (Д.Саккери, XVIII в.); существует треугольник, у которого сумма углов не меньше, чем 180о (А.Лежандр, XIX в.); через точку, лежащую внутри острого угла, можно провести прямую, пересекающую обе его стороны (А.Лежандр, XIX в.). К началу XIX века у большинства геометров сложился весьма пессимистический взгляд на проблему 5-го постулата Евклида. В 1823 году в письме к сыну венгерский математик Фаркаш Бойаи писал: "Эта беспросветная мгла может поглотить тысячу таких гигантов, как Ньютон, и никогда на земле не прояснится". Видимо, такой же точки зрения придерживалось и большинство его современников. Между тем уже в XVIII веке у некоторых геометров возникает мысль о невозможности доказательства 5-го постулата. Так, немецкий ученый И.Ламберт, в течение многих лет пытавшийся доказать невозможность существования четырехугольника с суммой углов меньше 360o, высказал в конце концов предположение о том, что такой четырехугольник, возможно, и существует "на какой-то мнимой сфере". Окончательный ответ на вопрос о недоказуемости 5-го постулата Евклида был дан нашим соотечественником Н.И.Лобачевским. Об авторе
Род. 1 октября 1952 г. Доцент кафедры математики физического факультета МГУ, кандидат физико-математических наук. Имеет звание "Отличник народного просвещения". Специалист в области теории подмногообразий многомерных евклидовых пространств, автор более 100 печатных работ. Основные труды: "Геометрия 7–9: Учебник для средней общеобразовательной школы" (совместно с Л.С.Атанасяном, В.Ф.Бутузовым, Э.Г.Позняком, И.И.Юдиной). М.: Просвещение, 1990 и последующие издания (учебник занял первое место на Всесоюзном конкурсе учебников в 1988 г.). "Геометрия 10–11: Учебник для средней общеобразовательной школы" (совместно с Л.С.Атанасяном, В.Ф.Бутузовым, Л.С.Киселевой, Э.Г.Позняком). М.: Просвещение, 1992 и последующие издания (учебник занял первое место на Всесоюзном конкурсе учебников в 1988 году). "Планиметрия: Пособие для углубленного изучения математики" (совместно с В.Ф.Бутузовым, Э.Г.Позняком, С.А.Шестаковым, И.И.Юдиной). М.: Физматлит, 2005. "Аналитическая геометрия и линейная алгебра". М.: Физматлит, 2001 и последующие издания. "Невозможность некоторых специальных изометрических погружений пространств Лобачевского" // Математический сборник, 107 (149), N 2 (10). М., 1978. "О поверхностях с постоянной внешней геометрией отрицательной кривизны" // Математические заметки, вып. 4, т. 47. М., 1990. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||