| Предисловие |
| ГЛАВА 1. Дифференциальное исчисление |
| | 1.1. | Предварительные сведения |
| | | 1.1.1. | Функция |
| | | 1.1.2. | Евклидово пространство |
| | | 1.1.3. | Базис |
| | | 1.1.4. | Области в Rn |
| | | 1.1.5. | Функции двух и трех переменных |
| | | 1.1.6. | Криволинейные системы координат |
| | 1.2. | Предел функции |
| | | 1.2.1. | Определение предела в точке |
| | | 1.2.2. | Определение предела на бесконечности |
| | | 1.2.3. | Вычисление пределов |
| | | 1.2.4. | Повторные пределы |
| | 1.3. | Непрерывность и разрывы функции |
| | | 1.3.1. | Определение непрерывности |
| | | 1.3.2. | Свойства непрерывных функций |
| | | 1.3.3. | Точки разрыва |
| | 1.4. | Частные производные и полный дифференциал |
| | | 1.4.1. | Определение частной производной |
| | | 1.4.2. | Теорема о полном приращении функции |
| | | 1.4.3. | Определение дифференцируемости и полного дифференциала функции |
| | 1.5. | Техника дифференцирования |
| | | 1.5.1. | Сложная функция |
| | | 1.5.2. | Функция, заданная неявно |
| | | 1.5.3. | Замена переменных |
| | 1.6. | Градиент |
| | | 1.6.1. | Определение градиента и его свойства |
| | | 1.6.2. | Оператор Гамильтона |
| | | 1.6.3. | Формула Лагранжа о конечном приращении |
| | | 1.6.4. | Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
| | 1.7. | Частные производные высших порядков |
| | | 1.7.1. | Функция, заданная явно |
| | | 1.7.2. | Сложная функция |
| | | 1.7.3. | Функция, заданная неявно |
| | 1.8. | Дифференциалы высших порядков |
| | 1.9. | Ряд Тейлора |
| ГЛАВА 2. Кратные, поверхностные и криволинейные интегралы |
| | 2.1. | Двойной интеграл |
| | | 2.1.1. | Определение двойного интеграла и его свойства |
| | | 2.1.2. | Сведение двойного интеграла к повторному |
| | | 2.1.3. | Замена переменных. Коэффициенты Ламе. Якобиан |
| | | 2.1.4. | Дополнения |
| | 2.2. | Тройной интеграл |
| | 2.3. | Поверхностный интеграл первого рода |
| | 2.4. | Криволинейный интеграл первого рода |
| | 2.5. | Некоторые приложения |
| ГЛАВА 3. Оптимизация |
| | 3.1. | Экстремум функции нескольких переменных |
| | | 3.1.1. | Безусловный экстремум |
| | | 3.1.2. | Условный экстремум. Функция Лагранжа |
| | | 3.1.3. | Глобальный экстремум |
| | 3.2. | Вариационное исчисление |
| | | 3.2.1. | Функционал от функции одной переменной. Уравнение Эйлера |
| | | 3.2.2. | Классические задачи |
| | | 3.2.3. | Функционал от нескольких функций одной и той же переменной |
| | | 3.2.4. | Вариационные задачи в параметрической форме |
| | | 3.2.5. | Вариационные принципы механики |
| | | 3.2.6. | Функционал, зависящий от производных
высшего порядка. Уравнение Эйлера-Пуассона |
| | | 3.2.7. | Функционал от функции нескольких переменных |
| | | 3.2.8. | Уравнения математической физики |
| | | 3.2.9. | Изопериметрические задачи |
| ГЛАВА 4. Теория поля |
| | 4.1. | Основные формулы векторной алгебры |
| | | 4.1.1. | Векторы и системы координат |
| | | 4.1.2. | Произведения векторов |
| | | 4.1.3. | Тензорные обозначения |
| | | 4.1.4. | Векторная функция скалярного аргумента |
| | 4.2. | Стартовые понятия теории поля |
| | | 4.2.1. | Скалярное поле |
| | | 4.2.2. | Векторное поле |
| | 4.3. | Поток вектора (поверхностный интеграл второго рода) |
| | | 4.3.1. | Определение потока вектора |
| | | 4.3.2. | Вычисление потока вектора (поверхностного интеграла второго рода) через незамкнутую поверхность |
| | | 4.3.3. | Поток вектора через замкнутую поверхность. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского |
| | | 4.3.4. | Применение теоремы Гаусса-Остроградского к некоторым физическим задачам |
| | 4.4. | Криволинейный интеграл второго рода |
| | | 4.4.1. | Определение и вычисление криволинейного интеграла второго рода |
| | | 4.4.2. | Циркуляция вектора. Ротор. Теорема Стокса |
| | 4.5. | Дифференциальные операции с векторными и скалярными полями |
| | | 4.5.1. | Векторные дифференциальные операции первого порядка. Символический метод вычислений |
| | | 4.5.2. | Векторные дифференциальные операции второго порядка |
| | 4.6. | Соленоидальное поле |
| | | 4.6.1. | Определение и свойства соленоидального поля |
| | | 4.6.2. | Трубка тока |
| | | 4.6.3. | Векторный потенциал |
| | 4.7. | Потенциальное поле |
| | | 4.7.1. | Определение и свойства потенциального поля |
| | | 4.7.2. | Восстановление скалярного потенциала |
| | 4.8. | Лапласово поле. Гармонические функции |
| | 4.9. | Теорема Гельмгольца. Уравнения Максвелла |
| | 4.10. | Интегральные теоремы для полей специального вида |
| | | 4.10.1. Варианты теоремы Гаусса-Остроградского. Формулы Грина |
| | | 4.10.2. Варианты теоремы Стокса |
| | 4.11. | Основные формулы теории поля в ортогональных криволинейных координатах |
| | | 4.11.1. Общие соотношения и определения |
| | | 4.11.2. Цилиндрические координаты |
| | | 4.11.3. Сферические координаты |
| Литература |
В основу книги положен курс лекций, который один из авторов
(Иванов С.В.) на протяжении нескольких лет читал студентам
физико-технологического факультета Уральского федерального
университета.
Основная цель книги – преодолеть существующий разрыв между тем,
что пишут математики, и тем, что и как используют в своих
расчетах физики-теоретики. Этим определяется и метод изложения.
Часто мы ограничивались так называемым физическим уровнем
строгости. В то же время, так или иначе, мы доказывали
практически все положения теории.
По охвату материала книга включает всё необходимое
физику-теоретику (по заявленной тематике). В отличие от других
подобных курсов, мы сочли целесообразным включить сюда
вариационные методы исследования, причем именно в таком способе
изложения, который используется физиками.
При написании книги мы ставили задачу не только ввести читателя
в курс основных идей и методов, но и научить использовать их в
конкретных расчетах. Поэтому книга снабжена большим числом
примеров, причем в качестве некоторых из них взяты реальные
физические задачи.
Мартышко Петр Сергеевич Член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, директор Института геофизики Уральского отделения РАН (2004–2015 гг.), заведующий кафедрой вычислительных методов и уравнений математической физики Уральского федерального университета (УрФУ). Окончил математико-механический факультет Уральского государственного университета в 1977 г. и был принят на работу в Институт геофизики УНЦ АН СССР. В октябре 1992 г. был избран по конкурсу на должность заведующего лабораторией математической геофизики, в апреле 2004 г. избран на должность директора Института. Автор 115 научных работ, трех монографий (одна из которых опубликована за рубежом). Основное направление научной деятельности — разработка теории и новых методов интерпретации геофизических полей (прямые и обратные задачи математической физики). Под руководством П. С. Мартышко и при его непосредственном участии разработана методика разделения источников гравитационного поля (областей аномальной плотности) по глубине, реализованная в виде компьютерных технологий и используемая при поисках нефтегазовых месторождений и изучении глубинного строения Земли.
Иванов Сергей Владимирович 
