Яглом И.М. О комбинаторной геометрии Изд. 2

Оглавление

Предисловие

Настоящая брошюра посвящена новой и активно развивающейся ветви математики – так называемой комбинаторной геометрии (о ней см. введение, стр.4–7). Этот раздел геометрии возник сравнительно недавно; в настоящее время он бурно развивается и пока еще трудно сказать, какие очертания примет комбинаторная геометрия через несколько десятилетий или даже лет. Последнее обстоятельство делает невозможный исчерпывающее изложение всего относящегося сюда материала (которое может устареть быстрее, чем содержащая его книга выйдет в свет). Поэтому мы, подобно авторам всех других имеющихся книг по комбинаторной геометрии, ограничиваемся одним сравнительно узким кругом вопросов (за которым, однако, стараемся проследить с известной полнотой). При этом уже в первых параграфах брошюры читатель столкнется с нерешенными до сих пор задачами; это характерно для комбинаторной геометрии, насчитывающей сегодня больше открытых проблем, чем доказанных результатов.

Отличие этой брошюры от других книг сходной тематики заключается в первую очередь в том, что типичные для комбинаторной геометрии постановки задач мы стремимся проиллюстрировать, не выходя за рамки "элементарно-геометрических " фигур и тел – кругов и шаров, многоугольников и многогранников. Даже центральную для брошюры теорему Гохберга–Маркуса (см. § 3 гл.I) мы доказываем не в той общей постановке, которую она имела у авторов, а лишь для (плоских) выпуклых многоугольников. Такой подход делает брошюру вполне доступной для интересующихся математикой школьников старших классов; круг ее читателей может также включать учителей средних школ, студентов младших курсов пединститутов и университетов и всех других любителей математики.

Автор благодарит В.Г.Болтянского за ряд полезных советов, а М.С.Королеву и И.И.Яглома – за помощь в изготовления эскизов чертежей.

Введение

"Математическая революция" второй половины XX века, резкое изменение представления о "важном" и "неважном" в математике, связанное с появлением электронных цифровых вычислительных машин и возникновением целого ряда новых направлений чистой и (особенно!) прикладной математики, обозначаемых ныне чаще всего собирательным термином "кибернетика" – все это привело к зарождению большого числа новых ветвей математической науки, каждая из которых характеризуется свойственными только ей постановками задач и специфическими именно для нее методами.

Одним из самых неожиданных проявлений созревших лишь после второй мировой войны новых тенденций явилось выделение в самостоятельную научную дисциплину так называемой комбинаторной геометрии, изучающей определенный круг геометрических задач на максимум и минимум, связанный с отысканием в том или ином смысле наилучших (или по крайней мере "достаточно хороших") расположений конечных систем точек или геометрических фигур. Решения этих задач носят в значительной степени комбинаторный характер и связаны с отысканием определенных целых чисел, например, чисел, указывающих количество рассматриваемых точек или фигур. О комбинаторной геометрии (сам этот термин как будто предложен выдающимся современным швейцарским геометром Гуго Хадвигером) еще лет 15 назад не слышал ни один человек в мире; сегодня же мы имеем многие десятки посвященных ей книг (имеющиеся на русском языке книги перечислены в списке литературы на стр.60) и многие сотни научных статей, причем литература по этой теме все растет.

Расцвет комбинаторной геометрии естественно связать с ростом интереса к комбинаторике, тесно связанного с выдвижением на передний край математической науки так называемой "дискретной" (или "конечной") математики, порожденной арифметикой и алгеброй и игнорирующей (непрерывные) функции и бесконечные процессы, изучение которых базируется на понятии предельного перехода и составляет прерогативу (математического) анализа.

На протяжении XVIII, XIX и первой половины XX века созданный в XVII веке трудами И, Ньютона и Г.В.Лейбница анализ рассматривался как "магистральное направление" всей математической науки, как та ветвь математики, которая единственно заслуживает серьезного внимания. Как пережиток этой эпохи, мы до сих пор называем математический анализ и все связанные с ним разделы науки "высшей математикой", противопоставляя его тем самым "низшей" математике – арифметике, алгебре, геометрии.

Еще в конце 30-х годов нашего века выдающийся французский математик Анри Лебег писал в одной из своих адресованных учителям математики статье: "Если все законченные точные вычисления, единственные, которые допускались древними, и сохранили все свое математическое значение... то их практическое значение значительно уменьшилось, а порой и совершенно исчезло". Тем самым он признавал практически полезными лишь связанные с бесконечными процессами разделы математики, изучением которых занимается анализ.

Сегодня, однако, положение дела резко изменилось. Создание электронных цифровых вычислительных машин (причем прилагательное "цифровые" в названии этих машин подчеркивает принципиально "дискретную" их природу) содействовало значительному изменению наших взглядов на взаимоотношение "непрерывного" и "дискретного" и существенному повышению научного веса всех не связанных с анализом разделов математики. В качестве убедительной иллюстрации роста интереса к комбинаторике можно указать на публикацию в течение последних восьми лет четырех серьезных пособий по комбинаторике (в то время как до этого таких книг в русской литературе не было вовсе); помимо этого были изданы три книги по такой специальной области комбинаторного анализа, как теория графов. Еще более характерным симптомом смещения акцентов в области математики явилось появление обширного сборника "Прикладная комбинаторная математика" (М., "Мир", 1968), причем составителем этой книги явился известный американский ученый Э.Беккенбах, ранее выпустивший обстоятельную "Современную математику для инженеров" (М., Изд-во иностр. лит., 1958), в первую очередь ориентированную в сторону математического анализа.

В настоящее время многие математики и педагоги считают "дискретную математику" чуть ли не равноправной но важности математическому анализу. Так, например, в Дартмутском колледже, сегодня являющемся одним из ведущих высших учебных заведений США, уже ряд лет на первых двух годах обучения студентам, специализирующимся как по чистой, так и по прикладной математике, читаются два независимых курса – математического анализа и "дискретной" (или "конечной") математики. Слушатели обязаны прослушать оба курса, но вольны выбирать, какой из них они будут изучать на первом году обучения, а какой – на втором.

В период господства в математике математического анализа, т.е. дифференциального и интегрального исчисления, основной ветвью геометрии твердо считалась дифференциальная геометрия, созданная в начале XIX века трудами Г.Монжа и К.Ф.Гаусса; одно время с ней пыталась соперничать интегральная геометрия В.Бляшке. Выдвижение же на передний план дискретной математики и комбинаторики породило новые ветви геометрии – дискретную геометрию, изучающую оптимальные (например, самые плотные) расположения на плоскости или в пространстве (в первую очередь правильных или "решетчатых ") систем фигур и тел или расположения, достаточно близкие к оптимальным, и тесно связанную с дискретной геометрией комбинаторную геометрию, которой и посвящена настоящая брошюра. Типичным примером задачи дискретной геометрии может служить проблема плотнейшей "укладки" (или "упаковки") равных кругов на плоскости или в некоторой ее части – здесь требуется, чтобы никакие два круга не пересекались и чтобы число или "плотность" кругов были возможно большими. Характерным примером задачи комбинаторной геометрии может служить так называемая проблема 13 шаров, требующая приложить к материальному шару Ш возможно большее число равных ему (тоже материальных) шаров так, чтобы никакие два из приложенных шаров не пересекались и все они касались основного шара Ш.

Возникновение дискретной геометрии и комбинаторной геометрии естественно связать с большим значением, которое приобрели в современной науке и технике те области математики, которые ставят своей целью отыскание оптимальных (или достаточно близких к ним) режимов работы определенных механизмов или больших систем. Во второй половине XX века этот круг вопросов обсуждался столь оживленно, что он привел к появлению целого ряда самостоятельных научных направлений (теория игр и теория информации, линейное программирование и динамическое планирование, оптимальное управление и исследование операций, теория кодирования и методы Монте Карло); в некоторых из этих новых "математических дисциплин" непосредственно используется дискретная геометрия.

В настоящее время круг рассматриваемых комбинаторной геометрией задач группируется вокруг нескольких центральных тем. К их числу относится известная теорема Хелли о системах выпуклых тел с общими точками, так называемая проблема Борсука (см. ниже стр.57), названная выше проблема 13 шаров и др. В настоящей брошюре мы не ставили своей целью охарактеризовать исчерпывающим образом все эти темы. Нам кажется, что проиллюстрировать типичные для комбинаторной геометрии постановки задач, ходы мысли и методы, продемонстрировать ее успехи и неудачи легче всего, выбрав какой-то один цикл вопросов; так, например, центральное место в книгах [1] и [3] из приведенного на стр.60 списка литературы занимает теорема Хелли, а книги [2] и [5] больше всего внимания уделяют проблеме Борсука. Аналогично этому мы выбрали из всего массива комбинаторных задач о расположениях геометрических фигур небольшое число проблем, связанных с покрытиями одних фигур другими.

Развернутый здесь ряд задач начинается с весьма элементарного вопроса (см. задачу 1 на стр.7), бесспорно, доступного любому школьнику. Все же последующие задачи (если исключить несколько связанных с многоугольниками и многогранниками вопросов, имеющих чисто иллюстративный характер) являются обобщениями задачи 1. При этом уже на первых страницах брошюры читатель встречается с проблемами, решить которые пока не удалось никому: для комбинаторной геометрии характерно соединение крайней простоты условий задач зачастую с большой сложностью их решения. Впрочем, некоторые из сформулированных, но не решенных в тексте задач вполне могут оказаться доступными начинающему математику, и мы хотим порекомендовать читателю не пренебрегать заложенными в этой книжке возможностями самостоятельной работы.

Об авторе

Известный российский математик и педагог, автор популярных учебных и образовательных книг по математике. Доктор физико-математических наук, профессор. Был одним из соавторов знаменитого трехтомника "Задачи и теоремы элементарной математики", ставшего на долгие годы основным руководством для многих любителей математики. Кроме популярных математических задачников и пособий, И.М.Яглом выпустил ряд работ по истории математики, в которых исследуются связи математики с естественными и гуманитарными науками, а также ее роль в жизни общества.