Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств.
Перевод с английского. Изд. 2

Оглавление

Предисловие

Теория матриц в последнее время приобрела большую популярность как учебная дисциплина и как интересная область математических исследований. Популярность теории матриц, помимо причин эстетического характера, объясняется еще и тем, что матрицы широко используются как в чистой математике, так и в технических и общественных науках.

При написании этой книги мы ставили себе целью изложить основные результаты теории матриц и матричных неравенств на сравнительно небольшом количестве страниц. Мы начинаем изложение, предполагая, что читатель никогда ранее не видел матрицы, а затем быстро вводим его в круг многих современных идей. Чтобы осуществить это, нам пришлось опустить ряд доказательств, которые, впрочем, можно найти в любой из книг по теории матриц. Вместе с тем мы привели ряд доказательств классических теорем, а также утверждений, полученных сравнительно недавно и опубликованных лишь в журналах. Как показал опыт, материал части I более чем достаточен для годового курса теории матриц. Разумеется, лектору придется воспроизвести некоторые опущенные доказательства. Многие вопросы, рассмотренные в части I, не являются стандартными и отражают наши собственные вкусы: например, кронекеровы произведения, ассоциированные и индуцированные матрицы, перманенты, матрицы инциденций, (v, k, lambda)-матрицы, обобщения понятия перестановочности, свойство L.

Часть II начинается обзором элементарных свойств выпуклых множеств и многогранников. Затем мы переходим к доказательству теоремы Биркгофа о двоякостохастических матрицах. Свойства выпуклых функций и классические неравенства, которым посвящены две небольшие главы, используются нами для получения многих интересных матричных неравенств, в частности неравенств Вейля, Фань Цзы, Канторовича и др. В изложении мы следуем авторам этих результатов и приводим большую часть доказательств. В части II рассматривается также классическая теория Перрона – Фробениуса – Виландта неразложимых неотрицательных матриц; заканчивается эта часть книги некоторыми последними результатами по стохастическим матрицам.

Часть III посвящена разнообразным результатам по локализации характеристических чисел матриц в терминах простых функций, их элементов или элементов связанных с ними матриц. Изложение ведется в историческом порядке, и из огромного числа результатов в этой области мы старались отобрать те, которые казались нам наиболее интересными или подавали надежду оказаться полезными.

Авторы надеются, что книга принесет пользу всякому, кого интересуют вопросы, связанные с матрицами или матричными неравенствами.

Книга состоит из трех частей, разбитых на главы и параграфы. Внутри каждой части ссылка на параграф из этой части указывает только номер главы и номер параграфа. Ссылка на параграф из другой части содержит также и указание на номер этой части. Так, если в тексте части II мы хотим сослаться на § 2.12 части I, то мы пишем: "(см. 1.2.12)". Если в тексте части III мы ссылаемся на формулу (2) из § 3.4 части I, то мы пишем: "[см. 1.3.4. (2)]".