| Введение |
| Глава 1. Дифференциальная геометрия |
| | § 1. Топологические пространства |
| | § 2. Многообразия |
| | § 3. Расслоенные многообразия |
| | § 4. Дифференциальные формы |
| | § 5. Многообразия струй |
| | § 6. Связности на расслоениях |
| | § 7. Расслоения со структурными группами |
| Глава 2. Геометрическая теория поля |
| | § 1. Лагранжев формализм |
| | § 2. Калибровочная теория |
| | § 3. Гамильтонов формализм |
| | § 4. Системы со связями |
| | | Калибровочные потенциалы |
| | | Электромагнитное поле |
| | | Поле Прока |
| Глава 3. Топологические характеристики в теории поля |
| | § 1. Гомотопические группы |
| | § 2. Топологические солитоны |
| | | Модель кинков |
| | | Модель синус-Гордона |
| | | Модель Нильсена--Олесена |
| | | Модель Полякова--'тХоофта |
| | § 3. Гомологии и когомологии |
| | | Гомологии комплексов |
| | | Сингулярные гомологии |
| | | Когомологии |
| | § 4. Эффект Ааронова--Бома |
| | | Вакуумные калибровочные поля |
| | | Относительные гомологии и когомологии |
| | § 5. Характеристические классы расслоений |
| | | Классификационная теорема |
| | | Классы Чженя |
| | | Классы Понтрягина |
| | § 6. Инстантоны |
| | § 7. Магнитные монополи |
| | | Электромагнитное поле в модели Полякова--'т Хоофта |
| | | Магнитный заряд |
| | | Модель Полякова--'т Хоофта |
| | | Уравнение Богомольного |
| Приложение А. Вариационное исчисление и законы сохранения |
| | 1. | Пространство струй бесконечного порядка |
| | 2. | Вариационное исчисление |
| | 3. | Законы сохранения |
| | 4. | Нётеровские законы сохранения |
| | 5. | Законы сохранения энергии-импульса |
| | 6. | Энергия-импульс калибровочных полей |
| Приложение Б. Когомологии со значениями в пучках |
| Библиография |
| Предметный указатель |
Геометрические методы сейчас широко применяются как в классических, так
и в квантовых полевых моделях. В этой книге мы ограничимся только
классической теорией поля, математический аппарат которой, в отличие
от квантовой теории поля, можно считать вполне разработанным. При этом основной
акцент будет сделан не на самих полевых моделях, быстро сменяющих одна другую,
а на тех математических методах, на которых большинство этих моделей
базируется.
Применение геометрических методов в теории поля основывается на следующем
положении.
Все классические поля представляются как сечения некоторых дифференцируемых
расслоений
pi: Y-->X,
где база X играет роль пространственно-временного многообразия или некоторого
пространства параметров, а прообразу pi-1(x) всякой точки x\inX
придается смысл пространства скоростей, импульсов или некоторого внутреннего
пространства. При этом, даже если рассматриваются локальные конструкции
(на некоторой области пространства X), все объекты строятся глобально хорошо
определенными. В первую очередь это вызывает замену операторов частных
производных dmu на операторы ковариантных производных
Dmu = dmu -- Гmu,
где Г -- это некоторая связность на расслоении Y-->X. Связности -- это тот новый важнейший физический объект, к которому приводит
геометрическая формулировка теории поля. Например, в калибровочных моделях
фундаментальных взаимодействий это -- связности на главных расслоениях,
интерпретируемые как калибровочные поля -- переносчики взаимодействий,
характеризуемых той или иной группой симметрий.
Понятие связности является ключевым в геометрическом подходе к
теории поля. В большинстве учебников по дифференциальной геометрии
ограничиваются рассмотрением связностей на главных расслоениях. Этого, однако,
недостаточно для описания динамики полей, построения лагранжева и гамильтонова
формализмов. В книге мы исходим из общего понятия связностей
на дифференцируемых расслоениях, описывая их в терминах
тангенциально-значных дифференциальных форм
и многообразий струй.
Многообразия струй -- еще один математический объект, которому в данной книге,
в отличие от большинства стандартных учебников по дифференциальной геометрии,
уделяется много внимания. Многообразияструй -- это пространства, элементами
которых являются классы эквивалентности полей, отождествляемых по первым двум
или более членам их разложения в ряд Тейлора. Теория дифференциальных
операторов, как известно, формулируется именно на языке многообразий струй.
Соответственно лагранжев и гамильтонов формализмы в теории поля адекватно
описываются в тех же самых терминах.
Важно, что и связности, и многие объекты на многообразиях струй выражаются
через тангенциально-значные дифференциальные формы, которыми легко оперировать.
Эти формы составляют основу применяемой в книге математической техники.
Помимо связностей, геометрический подход к теории поля вводит
в рассмотрение еще один совершенно новый класс физических величин -- так
называемые топологические числа и заряды, описывающие глобальные свойства
полевых конфигураций. Они представляют собой различные гомотопические
и тополого-алгебраические характеристики многообразий и расслоений. Примерами
таких характеристик являются элементы гомотопических групп, числа Чженя,
Понтрягина, эйлерова характеристика и др. Они широко применяются в солитонных,
монопольных, инстантонных и других нелинейных моделях с различными топологиями.
Сарданашвили Геннадий Александрович
Советский и российский физик-теоретик, доктор физико-математических наук. На протяжении многих лет работал на кафедре теоретической физики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (последняя должность — ведущий научный сотрудник). Область научных исследований: геометрические методы теории поля, классической и квантовой механики; теория калибровочных полей; теория гравитации. Автор более 350 научных работ, в том числе 25 книг.
