Сарданашвили Г.А. Современные методы теории поля.
Том 1: ГЕОМЕТРИЯ И КЛАССИЧЕСКИЕ ПОЛЯ. Т.1. Изд. 2, испр.

Содержание

Введение

Геометрические методы сейчас широко применяются как в классических, так и в квантовых полевых моделях. В этой книге мы ограничимся только классической теорией поля, математический аппарат которой, в отличие от квантовой теории поля, можно считать вполне разработанным. При этом основной акцент будет сделан не на самих полевых моделях, быстро сменяющих одна другую, а на тех математических методах, на которых большинство этих моделей базируется.

Применение геометрических методов в теории поля основывается на следующем положении.

Все классические поля представляются как сечения некоторых дифференцируемых расслоений

pi: Y-->X,

где база X играет роль пространственно-временного многообразия или некоторого пространства параметров, а прообразу pi^-1(x) всякой точки x\inX придается смысл пространства скоростей, импульсов или некоторого внутреннего пространства. При этом, даже если рассматриваются локальные конструкции (на некоторой области пространства X), все объекты строятся глобально хорошо определенными. В первую очередь это вызывает замену операторов частных производных d_mu на операторы ковариантных производных

D_mu = d_mu -- Г_mu,

где Г -- это некоторая связность на расслоении Y-->X. Связности -- это тот новый важнейший физический объект, к которому приводит геометрическая формулировка теории поля. Например, в калибровочных моделях фундаментальных взаимодействий это -- связности на главных расслоениях, интерпретируемые как калибровочные поля -- переносчики взаимодействий, характеризуемых той или иной группой симметрий.

Понятие связности является ключевым в геометрическом подходе к теории поля. В большинстве учебников по дифференциальной геометрии ограничиваются рассмотрением связностей на главных расслоениях. Этого, однако, недостаточно для описания динамики полей, построения лагранжева и гамильтонова формализмов. В книге мы исходим из общего понятия связностей на дифференцируемых расслоениях, описывая их в терминах тангенциально-значных дифференциальных форм и многообразий струй.

Многообразия струй -- еще один математический объект, которому в данной книге, в отличие от большинства стандартных учебников по дифференциальной геометрии, уделяется много внимания. Многообразияструй -- это пространства, элементами которых являются классы эквивалентности полей, отождествляемых по первым двум или более членам их разложения в ряд Тейлора. Теория дифференциальных операторов, как известно, формулируется именно на языке многообразий струй. Соответственно лагранжев и гамильтонов формализмы в теории поля адекватно описываются в тех же самых терминах.

Важно, что и связности, и многие объекты на многообразиях струй выражаются через тангенциально-значные дифференциальные формы, которыми легко оперировать. Эти формы составляют основу применяемой в книге математической техники.

Помимо связностей, геометрический подход к теории поля вводит в рассмотрение еще один совершенно новый класс физических величин -- так называемые топологические числа и заряды, описывающие глобальные свойства полевых конфигураций. Они представляют собой различные гомотопические и тополого-алгебраические характеристики многообразий и расслоений. Примерами таких характеристик являются элементы гомотопических групп, числа Чженя, Понтрягина, эйлерова характеристика и др. Они широко применяются в солитонных, монопольных, инстантонных и других нелинейных моделях с различными топологиями.

Об авторе

Сарданашвили Геннадий Александрович

Советский и российский физик-теоретик, доктор физико-математических наук. На протяжении многих лет работал на кафедре теоретической физики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (последняя должность — ведущий научный сотрудник). Область научных исследований: геометрические методы теории поля, классической и квантовой механики; теория калибровочных полей; теория гравитации. Автор более 350 научных работ, в том числе 25 книг.