Молдаванский Д.И.
ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ:
Элементы теории множеств и алгебры. Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа. Действительные числа. Комплексные числа
Числовые системы: Элементы теории множеств и алгебры. Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа. Действительные числа. Комплексные числа

URSS. 2019. 176 с. ISBN 978-5-9710-5365-1.

Мягкая обложка
Твердый переплет 629 руб. ››

Аннотация

В настоящей работе приводится аксиоматическое построение систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Показано, как из предлагаемой системы аксиом выводятся утверждения, соответствующие интуитивным представлениям читателя о свойствах данной числовой системы. В частности, доказаны основные свойства отношения делимости целых чисел. В предположении непротиворечивости аксиоматики натуральных чисел доказывается ...(Подробнее)непротиворечивость всех остальных систем аксиом, а именно: показано, как, располагая моделью для натуральных чисел, построить последовательно модели для целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. В каждом случае установлена также единственность модели. При формулировке аксиом и доказательстве всех утверждений используются язык и методы современной алгебры; подробному изложению необходимых сведений из алгебры и теории множеств посвящен первый, вводный, параграф пособия.

Книга предназначена для преподавателей и студентов математических факультетов университетов.

Оглавление

Предисловие			5
§ 1.	Элементы теории множеств и алгебры		8
	1.1.	Упорядоченная пара и декартово произведение множеств	8
	1.2.	Отношения, операция умножения отношений	10
	1.3.	Отображение множеств	12
	1.4.	Отношение эквивалентности	18
	1.5.	Фактор-множество по отношению эквивалентности и естественное отображение. Каноническое разложение отображений	24
	1.6.	Отношение порядка	27
	1.7.	Операции и предикаты. Алгебраические системы, универсальные алгебры и гомоморфизмы	32
	1.8.	Группоиды, полугруппы, моноиды и группы	36
	1.9.	Кольца и поля	43
	1.10.	Упорядоченные кольца и поля	49
§ 2.	Натуральные числа		58
	2.1.	Алгебры Пеано	58
	2.2.	Схема примитивной рекурсии	65
	2.3.	Операции сложения и умножения в алгебре Пеано	69
	2.4.	Отношение порядка на множестве элементов алгебры Пеано	78
	2.5.	Единственность алгебры Пеано	83
§ 3.	Целые числа 87
	3.1.	Аксиомы системы целых чисел 87
	3.2.	Введение в теорию делимости целых чисел	102
	3.3.	Степень с целым показателем элементов мультипликативной группы и целочисленное кратное элементов аддитивной группы	116
§ 4.	Рациональные числа		123
	4.1.	Подкольца и подполя. Вложимость целостного кольца в поле	123
	4.2.	Поле частных целостного кольца	126
	4.3.	Аксиомы системы рациональных чисел	130
§ 5.	Действительные числа		132
	5.1.	Сходимость и фундаментальность последовательностей элементов упорядоченного поля	132
	5.2.	Архимедовски упорядоченные поля	137
	5.3.	Сечения линейно упорядоченного множества	141
	5.4.	Аксиома непрерывности. Непрерывно упорядоченное поле	142
§ 6.	Комплексные числа		163
	6.1.	Аксиомы системы комплексных чисел	163
	6.2.	Непротиворечивость аксиоматики комплексных чисел	168
Заключительные замечания			171
Литература			174

Об авторе

Молдаванский Давид Ионович

Доктор физико-математических наук (2006), профессор (1993). Окончил математический факультет, затем аспирантуру Ивановского государственного педагогического института (с 1974 года — Ивановский государственный университет). После окончания аспирантуры и защиты кандидатской диссертации (1968) приступил к работе на кафедре алгебры и математической логики ИГПИ, более тридцати лет возглавлял эту кафедру. Областью научных интересов является комбинаторная теория групп, прежде всего ее раздел, посвященный изучению свойства финитной аппроксимируемости групп и его обобщений применительно к группам, строение которых описывается на языке свободных конструкций групп. Исследовательскую работу в этом направлении совмещает с разработкой и чтением соответствующих спецкурсов для студентов и аспирантов. Подготовил одиннадцать кандидатов наук.

[наверх]