Обложка Молдаванский Д.И. Числовые системы: Элементы теории множеств и алгебры. Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа. Действительные числа. Комплексные числа
Id: 236674
359 руб.

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ:
Элементы теории множеств и алгебры. Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа. Действительные числа. Комплексные числа
Числовые системы: Элементы теории множеств и алгебры. Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа. Действительные числа. Комплексные числа

URSS. 2019. 176 с. ISBN 978-5-9710-5365-1.

Аннотация

В настоящей работе приводится аксиоматическое построение систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Показано, как из предлагаемой системы аксиом выводятся утверждения, соответствующие интуитивным представлениям читателя о свойствах данной числовой системы. В частности, доказаны основные свойства отношения делимости целых чисел. В предположении непротиворечивости аксиоматики натуральных чисел доказывается ...(Подробнее)непротиворечивость всех остальных систем аксиом, а именно: показано, как, располагая моделью для натуральных чисел, построить последовательно модели для целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. В каждом случае установлена также единственность модели. При формулировке аксиом и доказательстве всех утверждений используются язык и методы современной алгебры; подробному изложению необходимых сведений из алгебры и теории множеств посвящен первый, вводный, параграф пособия.

Книга предназначена для преподавателей и студентов математических факультетов университетов.


Оглавление
Предисловие5
§ 1.Элементы теории множеств и алгебры8
 1.1.Упорядоченная пара и декартово произведение множеств8
 1.2.Отношения, операция умножения отношений10
 1.3.Отображение множеств12
 1.4.Отношение эквивалентности18
 1.5.Фактор-множество по отношению эквивалентности и естественное отображение. Каноническое разложение отображений24
 1.6.Отношение порядка27
 1.7.Операции и предикаты. Алгебраические системы, универсальные алгебры и гомоморфизмы32
 1.8.Группоиды, полугруппы, моноиды и группы36
 1.9.Кольца и поля43
 1.10.Упорядоченные кольца и поля49
§ 2.Натуральные числа58
 2.1.Алгебры Пеано58
 2.2.Схема примитивной рекурсии65
 2.3.Операции сложения и умножения в алгебре Пеано69
 2.4.Отношение порядка на множестве элементов алгебры Пеано78
 2.5.Единственность алгебры Пеано83
§ 3.Целые числа 87
 3.1.Аксиомы системы целых чисел 87
 3.2.Введение в теорию делимости целых чисел102
 3.3.Степень с целым показателем элементов мультипликативной группы и целочисленное кратное элементов аддитивной группы116
§ 4.Рациональные числа123
 4.1.Подкольца и подполя. Вложимость целостного кольца в поле123
 4.2.Поле частных целостного кольца126
 4.3.Аксиомы системы рациональных чисел130
§ 5.Действительные числа132
 5.1.Сходимость и фундаментальность последовательностей элементов упорядоченного поля132
 5.2.Архимедовски упорядоченные поля137
 5.3.Сечения линейно упорядоченного множества141
 5.4.Аксиома непрерывности. Непрерывно упорядоченное поле142
§ 6.Комплексные числа163
 6.1.Аксиомы системы комплексных чисел163
 6.2.Непротиворечивость аксиоматики комплексных чисел168
Заключительные замечания171
Литература174

Об авторе
Молдаванский Давид Ионович
Доктор физико-математических наук (2006), профессор (1993). Окончил математический факультет, затем аспирантуру Ивановского государственного педагогического института (с 1974 года — Ивановский государственный университет). После окончания аспирантуры и защиты кандидатской диссертации (1968) приступил к работе на кафедре алгебры и математической логики ИГПИ, более тридцати лет возглавлял эту кафедру. Областью научных интересов является комбинаторная теория групп, прежде всего ее раздел, посвященный изучению свойства финитной аппроксимируемости групп и его обобщений применительно к группам, строение которых описывается на языке свободных конструкций групп. Исследовательскую работу в этом направлении совмещает с разработкой и чтением соответствующих спецкурсов для студентов и аспирантов. Подготовил одиннадцать кандидатов наук.