| Предисловие | 3
|
| 1. Классификация уравнений | 4
|
| 1.1. Основные понятия об уравнениях с частными производными | 4
|
| 1.2. Замена независимых переменных в уравнениях второго порядка с двумя переменными | 13
|
| 1.3. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными | 22
|
| 1.4. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений второго порядка со многими независимыми переменными | 26
|
| 1.5. Исключение в уравнениях младших производных | 31
|
| 1.6. Классические решения простейших уравнений с частными производными второго порядка | 32
|
| 1.7. Общее решение уравнений с частными производными первого порядка | 38
|
| Задачи к главе 1 | 40
|
| 2. Задача Коши для уравнений с частными производными | 41
|
| 2.1. Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской | 41
|
| 2.2. О корректной постановке задачи Коши | 50
|
| 2.3. Примеры некорректно поставленных задач Коши | 51
|
| 2.4. Задача Коши для уравнения колебаний струны | 56
|
| 2.5. Метод интегральных преобразований для задачи Коши | 60
|
| 2.6. Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности | 63
|
| 2.7. Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности | 66
|
| 2.8. Обобщенные функции | 70
|
| 2.9. Фундаментальные решения дифференциальных уравнений | 75
|
| Задачи к главе 2 | 79
|
| 3. Смешанные задачи для гиперболических и параболических уравнений | 80
|
| 3.1. Постановка смешанных задач для уравнения колебаний струны | 80
|
| 3.2. Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в стержне | 85
|
| 3.3. Постановка смешанных задач для уравнения теплопроводности в пластине | 87
|
| 3.4. Задача Штурма-Лиувилля | 90
|
| 3.5. Схема метода разделения переменных для решения смешанных задач | 95
|
| 3.6. Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для однородного уравнения колебаний струны | 99
|
| 3.7. Сведение смешанной задачи с неоднородными граничными условиями к задаче с однородными граничными условиями | 102
|
| 3.8. Метод разделения переменных для решения смешанных задач с неоднородным уравнением | 105
|
| 3.9. Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для однородного уравнения теплопроводности в стержне | 108
|
| 3.10. Корректность первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности | 110
|
| 3.11. Решение методом разделения переменных первой смешанной задачи для однородного уравнения теплопроводности в пластине | 114
|
| Задачи к главе 3 | 118
|
| 4. Краевые задачи для эллиптических уравнений | 119
|
| 4.1. Формулы Грина для оператора Лапласа | 119
|
| 4.2. Интегральная формула Грина | 121
|
| 4.3. Свойства гармонических функций | 124
|
| 4.4. Принцип максимума и минимума для гармонических функций | 126
|
| 4.5. Задача Дирихле для уравнения Пуассона | 128
|
| 4.6. Задача Неймана для уравнения Пуассона | 131
|
| 4.7. Решение задачи Дирихле для круга методом разделения переменных | 134
|
| Задачи к главе 4 | 138
|
| 5. Дифференциальные модели для стохастических процессов | 139
|
| 5.1. Одномерные марковские стохастические процессы | 139
|
| 5.2. Многомерные марковские стохастические процессы | 144
|
| 5.3. Свойства условной плотности вероятностей одномерных стохастических процессов | 148
|
| 5.4. Свойства условной плотности вероятностей двухмерных стохастических процессов | 153
|
| 5.5. Уравнения Колмогорова для стохастических процессов | 158
|
| 5.6. Определяющие задачи для стохастических процессов | 162
|
| Задачи к главе 5 | 166
|
| 6. Математические модели денежных и материальных накоплений | 167
|
| 6.1. Моделирование денежных накоплений семьи с помощью обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений | 167
|
| 6.2. Параболическое уравнение денежных накоплений | 173
|
| 6.3. Моделирование денежных и материальных накоплений семьи с помощью системы дифференциальных стохастических уравнений | 180
|
| 6.4. Двухмерное параболическое уравнение денежных и материальных накоплений ансамбля семей | 183
|
| 6.5. Постановка задач для уравнения денежных накоплений ансамбля семей | 190
|
| 6.6. Постановка задач для уравнения денежных и материальных накоплений | 196
|
| Задачи к главе 6 | 201
|
| 7. Математическое моделирование динамики стоимости ценных бумаг | 202
|
| 7.1. Ценные бумаги | 202
|
| 7.2. Параболическое уравнение для плотности акций в пространстве цен | 204
|
| 7.3. Смешанная задача для уравнения плотности акций | 210
|
| 7.4. Связь решений стохастических уравнений с фундаментальными решениями параболических уравнений | 213
|
| 7.5. Формула дифференцирования Ито | 216
|
| 7.6. Замена переменных в уравнениях Колмогорова | 219
|
| 7.7. Функции от марковских процессов | 222
|
| 7.8. Решение задачи Коши для дифференциального стохастического уравнения | 223
|
| 7.9. Вычисление функции стоимости опциона из уравнения Блэка-Шоулса | 225
|
| 7.10. Обоснование уравнения Блэка-Шоулса | 228
|
| Задачи к главе 7 | 232
|
| 8. Математические модели в теории потребления | 233
|
| 8.1. Функция полезности на товарном пространстве | 233
|
| 8.2. Уравнение Слуцкого в теории потребления | 236
|
| Литература | 241
|
Предлагаемый курс лекций входит в программу обучения студентов факультета прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета по специальностям «Экономическая кибернетика» и «Актуарная математика».
Данный курс является переработанным и расширенным вариантом курса лекций «Уравнения с частными производными с приложениями в экономике», изданного в Белгосуниверситете.
В первых четырех главах книги излагаются основы классической теории уравнений с частными производными второго порядка. Приводятся основные понятия и классификация уравнений, формулируются задача Коши, смешанные задачи для гиперболических и параболических уравнений и краевые задачи для эллиптических уравнений. Излагаются аналитические методы решения задач, приводятся теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости решений, исследуются свойства решений. Пятая глава содержит основные сведения из теории марковских стохастических процессов и их описание с помощью уравнений Колмогорова. Шестая глава посвящена основам математического моделирования денежных и материальных накоплений семьи с использованием уравнений с частными производными, учитывающих случайные факторы. В седьмой главе приведен ряд математических моделей динамики стоимости акций и опционов, основанных на уравнении Блэка-Шоулса и теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений. В восьмой главе рассмотрено уравнение Слуцкого для теории товарного потребления.
Материал книги разбит на 24 лекции, в главах книги приведены задачи для практических занятий.
Теория уравнений с частными производными формировалась в большей степени применительно к задачам физики, так как любая физическая макроструктура содержит более 1023 структурных единиц, что позволяет рассматривать такие объекты, как непрерывные среды. Для исследования задач экономики предпочтительным является аппарат дискретной математики. Тем не менее для качественного описания динамики во времени финансовых потоков и трудовых ресурсов, содержащих до 109 элементов, также возможно применение уравнений с частными производными.
Авторы считают, что книга будет полезна студентам, знакомящимся с современными методами математического моделирования.
Ерофеенко Виктор Тихонович 
Козловская Инесса Станиславовна