| Предисловие | 7
|
| Об иллюстрациях | 8
|
| Список литературы | 9
|
| Глава 1. Начальные сведения | 11
|
| 1. Что такое дифференциальные уравнения | 13
|
| 2. Геометрическая трактовка дифференциальных уравнений | 15
|
| 2.1. Фазовые траектории и интегральные кривые | 16
|
| 2.2. Пример. Уравнение вынужденных колебаний линейного осциллятора | 20
|
| 2.3. Пример. Уравнения Лотке–Вольтерра | 23
|
| 2.4. Понятие о теоремах существования и единственности решений | 25
|
| 3. О численном решении дифференциальных уравнений | 29
|
| 3.1. Что такое численное решение дифференциального уравнения | 29
|
| 3.2. Алгоритм Рунге–Кутты | 32
|
| 3.3. Использование Microsoft Excel & VBA | 34
|
| 3.4. Пример. Численное решение уравнения колебаний математического маятника | 41
|
| Глава 2. Уравнения, интегрируемые в квадратурах | 47
|
| 1. Стандартные дифференциальные уравнения первого порядка | 51
|
| 2. Интегрирование заменами переменных | 56
|
| 2.1. Примеры вычисления общего решения | 57
|
| 2.2. Использование начальных условий | 59
|
| 3. Примеры приложений уравнений, интегрируемых в квадратурах | 62
|
| 3.1. Падение при наличии квадратичной по скорости силы сопротивления | 62
|
| 3.2. Одномерное движение в потенциальном поле | 65
|
| Глава 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами | 71
|
| 1. Основные определения | 73
|
| 2. Решение однородного уравнения | 75
|
| 2.1. Формула общего решения и базисные функции дифференциального оператора | 75
|
| 2.2. Пример. Свободные колебания затухающего гармонического осциллятора | 80
|
| 3. Решение неоднородных уравнений с квазимногочленом | 81
|
| 3.4. Пример. Незатухающий осциллятор под действием гармонической силы | 84
|
| 4. Решение неоднородных уравнений вариацией постоянных | 88
|
| 4.1. Реализация метода вариаций постоянных | 88
|
| 4.2. Пример. Гармонический осциллятор под воздействием произвольной силы | 90
|
| Глава 4. Элементы локальной теории дифференциальных уравнений | 95
|
| 1. Неподвижные точки и линейное приближение | 97
|
| 2. Фазовые портреты линейных уравнений | 101
|
| 2.1. Пример. Фазовый портрет гармонического осциллятора | 110
|
| 3. Понятие о структурной устойчивости и предельных циклах | 114
|
| 3.1. Пример. Уравнение Рэлея | 120
|
| Дополнение. Невырожденные преобразования матриц 2х2 | 123
|
| Глава 5. Примеры автоколебательных и хаотических режимов | 127
|
| 1. Осциллятор Ван Дер Поля | 130
|
| 1.2. Случай слабой нелинейности | 130
|
| 1.3. Случай сильной нелинейности | 134
|
| 2. Осциллятор Дуффинга | 140
|
| 2.1. Свободные и слабо затухающие колебания | 141
|
| 2.2. Незатухающие колебания при наличии слабой вынуждающей силы | 144
|
| 2.3. Качественная картина возникновения хаотического режима | 149
|
Алексеев Дмитрий Валентинович
Доктор технических наук, профессор, автор более 60 научных статей, монографий и учебных пособий, в том числе в таких ведущих изданиях, как «Доклады РАН», «Физика твердого тела», «Advanced Material Research».
По окончании в 1971 году физического факультета Томского государственного университета в течение 10 лет работал научным и старшим научным сотрудником лаборатории молекулярной спектроскопии Кемеровского государственного университета. В 1981 году ему была присуждена ученая степень кандидата физико-математических наук.
В 1985 году перешел на преподавательскую работу и более тридцати лет преподавал математику, программирование и компьютерное моделирование в вузах г. Кемерово, продолжая научную работу в области физики твердого тела и ее приложений.
В 1994 году присуждена ученая степень доктора технических наук, в 1995 году присвоено ученое звание профессора по кафедре высшей математики.
Казунина Галина Алексеевна
Кандидат физико-математических наук (1982), доктор технических наук (2011), доцент по кафедре высшей математики (1992). В 1973 г. окончила физический факультет Ленинградского государственного университета. Начала работу научным сотрудником лаборатории молекулярной спектроскопии Кемеровского государственного университета, затем более тридцати лет преподавала математику в Кузбасском техническом университете. В настоящее время профессор кафедры математики.
