Галеев Э.М. Оптимизация:
Теория, примеры, задачи. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие ко второму изданию

Во втором издании исправлены замеченные опечатки первого издания, расписаны подробнее некоторые доказательства, существенно более подробно изложены примеры, убрано громоздкое доказательство принципа максимума Понтрягина в общем случае, и, самое главное, добавлено большое число новых задач и простых, и более сложных. При большем числе задач легче будет преподавателю выбирать те из них, которые более соответствуют излагаемому в соответствующем ВУЗе курсу.

Основная часть задач взята из более ранних задачников, написанных автором вместе с Алексеевым В.М., Кушниренко А.Г., Тихомировым В.М. Первой попыткой создания соответствующего задачника был изданный по инициативе Тихомирова в 1980 г. в МГУ "Сборник задач по оптимальному управлению" (Галеев, Кушниренко, Тихомиров). В 1984 г. в издательстве "Наука" вышел "Сборник задач по оптимизации" (Алексеев, Галеев, Тихомиров), в котором были существенно расширены и теоретический, и задачный материал. В эти задачники были включены многие классические задачи, задачи, используемые преподавателями при ведении обязательного курса "Вариационное исчисление и оптимальное управление". Авторами задач являются многие профессора и преподаватели кафедры общих проблем управления. Большая часть задач была создана специально для задачника студентами и аспирантами МГУ под руководством автора, а также самим автором. Этот задачник стал использоваться во многих ВУЗах при ведении занятий по курсам оптимизации и написании учебников и задачников.

Предисловие

Задачи на отыскание наибольших и наименьших величин являются актуальными на протяжении всей истории развития человечества. Особенное значение они приобретают в настоящее время, когда возрастает важность наиболее эффективного использования природных богатств, людских ресурсов, материальных и финансовых средств. Все это приводит к необходимости отыскивать наилучшее, или, как говорят, оптимальное решение того или иного вопроса.

Первые задачи на максимум и минимум были поставлены и решены в глубокой древности, когда математика только зарождалась как наука. Теория экстремальных задач начала создаваться в начале XVII века, и затем она активно развивалась вплоть до наших дней, включая в свою орбиту крупнейших математиков, таких как Ферма, Ньютон, Лейбниц, Бернулли, Эйлер, Лагранж, Пуанкаре, фон Нейман, Канторович, Понтрягин и других. В наше время невозможно мыслить себе полноценное математическое образование без элементов теории экстремума.

Монография является переработанным и расширенным переизданием первых пяти глав, написанных Галеевым, книги Галеев Э.М., Тихомиров В.М. "Оптимизация: теория, примеры, задачи". М.: УРСС, 2000. Книга состоит из 5 глав. Они содержат материал курса лекций по методам оптимизации, линейному программированию, оптимальному управлению и вариационному исчислению, а также спецкурса по условиям экстремума второго порядка на механико-математическом факультете Московского государственного университета, а также в некоторых институтах естественнонаучного профиля. Данный курс лекций был разработан целым рядом профессоров и преподавателей механико-математического факультета МГУ, на начальном этапе курс сформировался усилиями В.М.Алексеева, В.М.Тихомирова, С.В.Фомина. При написании книги использовался материал, содержащийся в ранее опубликованных книгах: [АТФ] – Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. "Оптимальное управление". М.: Наука, 1979; [АГТ] – Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. "Сборник задач по оптимизации". М.: Наука, 1984; [ГТ] – Галеев Э.М., Тихомиров В.М. "Краткий курс теории экстремальных задач". М.: Изд-во МГУ, 1989. Книга является расширенным вариантом пособия Галеева Э.М. "Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению". М.: Изд-во мехмата МГУ, 1996. Она предназначена для курсов, включающих элементы теории экстремума любого уровня и приспособлена к действующим ныне программам. Все чертежи в LATEX'e 2epsilon выполнены Галеевой Альфирой.

Рассматриваются следующие разделы теории экстремальных задач: задачи без ограничений, гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств, линейное программирование, вариационное исчисление, оптимальное управление, необходимые и достаточные условия экстремума в вариационном исчислении.

При изучении данных разделов требуется знание основ математического анализа и линейной алгебры, изучаемых на первых двух курсах технических и педагогических вузов, университетов. Предполагается, что читатели знакомы с элементарными приемами дифференцирования и интегрирования функций, умеют решать простейшие дифференциальные уравнения, знакомы с элементарными навыками работы с матрицами (умножением, транспонированием, нахождением обратной). Все остальные используемые в курсе математические понятия подробно определяются.

В первой главе рассматриваются задачи без ограничений, задачи с ограничениями типа равенств, с ограничениями типа равенств и неравенств для числовых функций n переменных и в нормированных пространствах. Для каждого типа задач приводятся решения соответствующих примеров. Одним из примеров является старинная задача Аполлония о нормалях к эллипсу. Методами теории экстремальных задач решается задача из курса алгебры о приведении квадратичной формы к главным осям. Большое внимание уделяется выпуклым задачам. Даются элементы выпуклого анализа, причем выпуклый анализ в зависимости от уровня математической подготовки читателя может рассматриваться как в конечномерных пространствах, так и в линейных нормированных пространствах, вводится понятие субдифференциала и доказывается теорема Куна–Таккера. В этой же главе даются некоторые элементы функционального анализа и дифференциального исчисления в нормированных пространствах.

Вторая глава посвящена линейному программированию. В ней вначале даются постановки задач линейного программирования, правило решения задач в канонической форме по симплекс-методу, приводятся с решениями примеры. Вводится понятие двойственности, затем проводится строгое обоснование симплекс-метода, дается ряд методов нахождения первоначальной крайней точки. Полученные навыки применяются к некоторым наиболее известным типам задач линейного программирования – транспортным задачам и задачам о назначении. Основная цель при этом – ознакомление студентов с имеющимися методами решения задач линейного программирования и проведение обоснования этих методов. Обоснование проводится таким образом, чтобы для решения подобных задач в дальнейшем возможно было бы самостоятельно создать метод решения и провести его обоснование. В пособии приведены доказательства теоремы существования решений и теоремы двойственности, позволяющие более глубоко понять данный курс.

В третьей главе приводятся следующие элементарные задачи классического вариационного исчисления: простейшая задача, задача Больца, изопериметрическая задача. Все эти задачи являются частным случаем более общей задачи Лагранжа. Как частный случай задачи Лагранжа рассматриваются задача с подвижными концами и задача со старшими производными.

В четвертой главе рассматриваются задачи оптимального управления. Приводится формулировка принципа максимума Понтрягина в общем случае, а также доказательство принципа максимума для задачи со свободным концом. Решаются простейшая задача о быстродействии, задача Ньютона и ряд других задач оптимального управления.

В пятой главе даны необходимые и достаточные условия экстремума в простейшей задаче классического вариационного исчисления и задаче Больца.

Автор благодарит В.М.Тихомирова, у которого учился теории и решению задач на экстремум и который внес огромный вклад в разработку курсов оптимизации.

Об авторе

Галеев Эльфат Михайлович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Специалист в области теории аппроксимации, функционального анализа, теории экстремальных задач и методики преподавания элементарной математики.

Автор более 200 работ, в том числе ряда монографий по теории экстремальных задач, теории аппроксимации и учебно-методических пособий по подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ и подготовке к ЕГЭ.