Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика:
Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики. Изд. 5, испр.

Оглавление

Предисловие к третьему изданию

Проблемы методики и методологии приложений математики становятся все более востребованными. Появляются новые и новые книги и статьи, в которых рассматриваются проблемы математического моделирования – особенно, в приложении к конкретным наукам и практике. Тем не менее, нам кажется, что наша книга, в которой изучается то, какой вид приобретает сама математика в процессе ее приложений, не потеряла своей актуальности. Поэтому мы с благодарностью согласились на предложение издательства о новом издании нашей книги.

В основной текст книги внесено только несколько исправлений. Несколько добавлений отнесено в конец книги; отсылка к ним помечена знаком &). Добавлена также статья А.Я.Финдлина, написанная для этого издания книги.

Наш авторский коллектив понес невосполнимую потерю: в 2002 году скончался наш друг и старший товарищ, выдающийся механик Яков Гилелевич Пановко. Он был крупным специалистом в теории устойчивости и колебаний упругих систем, его монографии в этой области многократно переиздавались и широко известны. Его обширная эрудиция, интеллигентность и неизменное чувство юмора постоянно сопровождали нас в работе над этой книгой. Это издание мы посвящаем его памяти.

Санкт-Петербург–Москва, август 2004 г.

Предисловие ко второму изданию

При подготовке настоящего издания нами было добавлено значительное количество нового материала, в известной мере уточняющего или расширяющего материал предыдущего издания. В ряде случаев такие добавления оказались необходимыми также и потому, что взгляды авторов на существо изложенных проблем в свою очередь подверглись некоторой эволюции. Значительно расширен список цитированной литературы.

Ленинград–Москва, июнь 1988 г.

Из предисловия к первому изданию

В настоящей книге речь пойдет об основных чертах прикладной математики и о типичных для нее способах рассуждений и методах исследования. Эти вопросы особенно важны в наше время, когда роль приложений математики резко усилилась и заметно возрос интерес к общей методике и методологии этих приложений.

Во многих статьях и книгах, а также в материалах дискуссий опубликовано немало содержательных соображений, относящихся к названной теме; к этому нужно добавить многие интересные и острые устные высказывания, которые, оставаясь незафиксированными на бумаге, образуют некий "фольклорный" фонд. Однако вся совокупность этих мыслей и соображений в целом до сих пор не была должным образом суммирована и упорядочена.

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой попытку систематического обсуждения проблем общей методики и методологии приложений математики, главным образом – к механике. Конечно, опытный специалист, регулярно применяющий математику в своей области, неизбежно вырабатывает соответствующие концепции. Однако молодые специалисты, сталкиваясь с приложениями математики, вынуждены самостоятельно улавливать традиции и заново определять для себя общие принципы, опираясь лишь на отрывочные частные советы и на свой, как правило, небогатый опыт. Заметив разительное несоответствие глубины разработки самой математики и вопросов общей методики ее приложений, начинающий специалист может даже заключить, что эта методика вообще находится на донаучном уровне.

В значительной мере книга адресована именно таким начинающим специалистам – студентам старших курсов и аспирантам технических и естественно-научных факультетов с усиленной математической подготовкой, особенно специализирующимся по механике и прикладной математике, а также молодым инженерам-исследователям, применяющим математику в своей работе. Думается, что она может оказаться полезной и молодым математикам – как сталкивающимся с приложениями, так и тем, которые, занимаясь абстрактными проблемами, считают себя изолированными от прикладных задач.

Может быть, в еще большей степени книга заинтересует "товарищей по оружию"; надеемся, что опытным исследователям, а также преподавателям математики и механики она даст повод еще раз обдумать свои взгляды на прикладной аспект математики и сопоставить их с представлениями других специалистов.

Одновременный расчет на различные категории читателей естественно привел к некоторой неоднородности изложения, и пусть не посетуют на нас те из опытных специалистов, которым отдельные места изложения покажутся слишком элементарными или банальными; лучше недооценить компетенцию читателя, чем переоценить ее – в конце концов, это в его же интересах.

Возможно, что некоторые читатели не согласятся с отдельными частностями, но надеемся, что и эти читатели сочтут приемлемыми основное содержание и основную направленность книги. Разумеется, мы далеки от мысли, что по каждому из затронутых вопросов нами сказано последнее слово, и поэтому не только предвидим продолжение дискуссий, но и искренне рассчитываем на него. Нам близка позиция, сформулированная в заключительном абзаце книги Р.Хемминга [332]: "...большинство предыдущих рекомендаций и замечаний представляют личное мнение, выработанное автором..." и "...они не всегда применимы. В их защиту можно сказать, что они опираются столько же на здравый смысл, сколько на опыт. Если они читателю не понравятся, то пусть он... изложит свои собственные соображения". Мы тоже говорим "пусть", дать новый стимул для дискуссий – это одна из задач, которую ставили перед собой авторы.

В 1967 г. была опубликована наша статья [43], посвященная тому же кругу вопросов. Она послужила основой для содержательной дискуссии о математической строгости в исследованиях по механике, проведенной на III Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике [83]. Статья [43] была переведена и обсуждалась в ГДР; см. [498, 499, 541].

Основные положения статьи [43] были значительно развиты, уточнены и проиллюстрированы примерами в нашей книге [44]. Эти примеры относились почти исключительно к механике – наиболее близкой нам области приложений математики.

Тяготением авторов к механике (говоря точнее – ограниченностью области их компетентности) объясняется и то, что в книге [44] задачи описания процессов и явлений обсуждались гораздо больше, чем задачи принятия решений, а относительно скромное место, уделенное роли случайных факторов и вопросам применения ЭВМ, оказалось непропорциональным их подлинному значению в современной прикладной математике.

Быстрота, с которой разошлась книга [44], подтвердила актуальность рассмотренных в ней проблем, и, как мы склонны думать, правильность основной позиции авторов. Отдельные положения книги обсуждались в ряде научных коллективов; мы также получили много частных откликов от специалистов, работающих в областях математики, механики, технических наук и философии. Нам приятно отметить, что критические замечания касались неосновных концепций книги, а лишь трактовки некоторых специальных вопросов либо деталей или стиля изложения. Несколько переработанное издание книги [44] недавно вышло в ГДР на немецком языке.

К настоящему изданию весь текст был вновь пересмотрен и уточнен (включая название книги), ряд мест написан заново, кое-что опущено, значительно пополнена библиография. В итоге можно говорить о превращении [44] в новую книгу, хотя основные идеи книги [44], а также ее отдельные места остались неизменными. Последовав советам коллег, мы опустили имевшиеся в книге [44] эмоциональные (и, конечно, субъективные) оценки некоторых из упомянутых в ней книг и статей; это, однако, не означает, что наше положительное и даже восторженное отношение к этим публикациям в чем-либо поколебалось.

Характерные черты прикладной математики легко выявить, сравнивая ее с чистой. Поэтому глава 1 начинается с очень краткого обзора истории и современного состояния математики и с обсуждения точек зрения на математику вообще и на прикладную в особенности. Подробно разбирается различие подходов к ряду основных математических понятий, таких, например, как существование или бесконечность в чистой и прикладной математике. Эти различия, возникшие под прямым воздействием практических нужд, утвердили своеобразную логику прикладной математики – логику рациональных рассуждений, обсуждением которой заканчивается глава 1.

Два основных тезиса, сформулированных в этой главе, – наличие отчетливых особенностей математики в процессе ее приложений и правомерность сосуществования логик различного характера – являются центральными в книге; этим тезисам в значительной мере подчинено изложение всех других вопросов.

В главе 2 рассмотрены элементы прикладного математического исследования, связанные в основном с математическим формулированием задачи и с выбором метода ее решения.

Наконец, в главе 3 обсуждены некоторые вопросы, связанные с источниками ошибок в исследованиях и с обучением прикладной математике.

Итак, основная цель книги – обсуждение существа и принципиальных особенностей прикладной математики. Это обсуждение должно призвать одних читателей к сознательному выбору математической модели, метода ее исследования и уровня математической строгости, а других, наиболее зрелых, – к продолжению коллективных усилий по выделению и формулировке общих концепций прикладной математики, выработке "кодекса" прикладной математики. Мы постараемся показать, что такие концепции достаточно ясно вырисовываются уже теперь, но, как упоминалось выше, пока еще должным образом не были систематизированы.

Во избежание недоразумений подчеркнем, что книга не претендует на указание каких-то "царских путей" в приложениях математики, позволяющих избежать кропотливого освоения, развития и применения современных математических методов, необходимых для того или иного исследования. Таких путей нет и не может быть. Более того, можно указать много прикладных проблем, существенный прогресс в которых был достигнут только в результате трудного развития идей и методов, относящихся в равной степени как к прикладной, так и к чистой математике, причем порой к весьма абстрактным ее разделам; еще большее количество проблем ожидает такого развития. Эффективно применять математику можно только обладая достаточной математической культурой и кругозором.

Отстаивая наличие специфики прикладного математического мышления и по необходимости заостряя дискуссионные вопросы, мы отдаем себе отчет в опасности извращения нашей позиции, которое может привести к замене "террора дедукции" "разгулом правдоподобия". Ни одна строка этой книги не должна быть истолкована как оправдание математической безграмотности, приводящей к грубым ошибкам. Пользуясь выражением поэтессы М.Борисовой ("Литературная газета" от 19 мая 1976 г.), скажем, что в исследовательской деятельности лучше проявить робость незнания, чем наглость невежества. Призывы к гибкости при выборе методов исследования, к их адекватности изучаемым реальным явлениям направлены на установление подлинной гармонии между средствами и объектами изучения и не имеют ничего общего с призывами к вульгаризации.

Многие коллеги предупреждали нас, что только вполне зрелые специалисты правильно поймут общую установку книги, а часть читателей (в особенности молодежь) может воспринять книгу как некую декларацию математической распущенности и вседозволенности. И все же мы рассчитываем, что риск такого грубо ошибочного истолкования относительно невелик и книгу можно адресовать самому широкому кругу читателей, не сопровождая ее ограничительной надписью "детям до 16 лет читать запрещено".

Мы отчетливо понимали, что написание такой книги сопряжено с рядом опасностей. Во-первых, при обсуждении столь общих вопросов особенно велик риск оказаться банальными или впасть в малосодержательные спекуляции; возможно, что в некоторых местах (надеемся, немногих) этой опасности мы действительно не избежали. С другой стороны, тема книги вынуждала нас затрагивать вопросы, относящиеся не только к далеким от нас областям математики, но даже к истории и философии (в особенности логики) и т.д.; не исключено, что специалисты в этих областях сочтут некоторые наши высказывания неточными или наивными. Наконец, в книге, которая касается во многом дискуссионных вопросов и ни в коем случае не может служить безапелляционной инструкцией, были бы особенно неприятны догматически-императивные ноты; если они где-нибудь прозвучали, то вопреки намерениям авторов.

В книге довольно много цитат. Мы считали полезным познакомить читателей с подлинными высказываниями крупных специалистов, хотя отбор цитат, конечно, не мог быть вполне беспристрастным. Кроме того, как известно, в любом споре соблазнительно привести подтверждающие соображения других лиц, особенно если эти соображения высказаны в яркой форме и (или) принадлежат авторитетному автору. Мы надеемся, что включенная в книгу коллекция таких высказываний покажется читателю интересной независимо от остального текста и сама по себе оправдает материальные затраты и интеллектуальные усилия, связанные с приобретением и чтением этой книги. Впрочем, мы всячески стремились следовать словам замечательного режиссера и художника Н.П.Акимова [2, с.268]: "Подбирая умные цитаты для выступления, следи за тем, чтобы твои собственные мысли не звучали слишком большим контрастом к ним"; возможно, это не всюду нам удалось.

Во многих местах мы указывали книги и статьи, в которых обсуждаются затрагиваемые нами вопросы; мы надеемся, что такие ссылки, даже далеко не полные, представят интерес для читателя.

Стремясь сделать книгу доступной для всех, имеющих математическую подготовку в объеме хотя бы обычного втузовского курса, мы поместили в конце книги примечания, содержащие объяснения отдельных терминов, выходящих за рамки этого курса.

Настоящей редакции текста во многом помогли критические замечания, сделанные по книге [44] А.С.Карминым, П.С.Ландой, Д.Р.Меркиным, Ю.П.Петровым, Г.Ю.Степановым, В.И.Феодосьевым и Я.И.Хургиным. Идею настоящего издания поддержал Л.И.Седов; он поделился с авторами рядом соображений по существу проблемы. Н.Н.Моисеев принес большую пользу авторам своим обстоятельным, конкретным и, мы бы сказали, вдохновенным обсуждением рукописи. На всех этапах создания этой книги авторы имели исключительную возможность пользоваться мудрыми советами Е.С.Вентцель. Не обошла нас своим вниманием и И.Грекова. Всем этим лицам авторы приносят свою искреннюю благодарность.

Ленинград–Москва, май 1982 г.

Об авторах

Блехман Илья Израилевич

Известный специалист в области прикладной математики и механики, теории нелинейных колебаний, динамики машин и вибрационной техники. Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий совместной лабораторией вибрационной механики Института проблем машиноведения РАН и НПК "Механобр-техника" (Санкт-Петербург). Автор более 300 научных работ, в том числе 12 монографий, трех научных открытий, более 60 изобретений. Выдвинул и развил ряд новых научных направлений — теорию вибрационного перемещения, теорию синхронизации динамических систем, вибрационную механику и виброреологию. Руководитель ведущей научной школы, включающей 11 докторов и 42 кандидата наук. Лауреат премий Правительства РФ (1999), имени А. фон Гумбольдта (Германия, 1999), имени Аль-Хорезми (Иран, 2000), имени П. Л. Чебышева (2009).

Мышкис Анатолий Дмитриевич

Известный отечественный математик. Окон­чил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный ра­ботник высшей школы. Заслуженный соросовский профессор. Дей­ствительный член Академии нелинейных наук. Область научных интересов: дифференциальные уравнения (обыкновенные и с част­ными производными), функционально-дифференциальные уравнения, методология приложений математики, математические проблемы механики. А. Д. Мышкис был официальным руководителем 36 защи­щенных кандидатских диссертаций; семеро из их авторов стали в дальнейшем докторами наук. Был официальным оппонентом 50 докторских и около 100 кандидатских диссертаций. Является автором и соавтором 17 книг, выдержавших более 40 изданий на 10 языках, 332 научных статей, 2 авторских свидетельств, 6 официально зарегистрированных рукописей, 67 методических публикаций, 304 информационных заметок, 13 статей в газетах и журнале; был редактором и переводчиком 16 книг.

Пановко Яков Гилелевич

Выдающийся отечественный ученый-механик, член Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике. Доктор технических наук, профессор. Родился в 1913 г. в Белоруссии. Окончил Московский автодорожный институт (1935). В 1943–1950 гг. — профессор Военно-воздушной инженерной академии в Ленинграде, в 1950–1964 гг. — профессор Латвийского университета и Рижского политехнического института. С 1964 г. работал в Ленинградском кораблестроительном институте, где 20 лет возглавлял кафедру теоретической механики. В 1958 г. был избран членом-корреспондентом Академии наук Латвийской ССР, а в 1992 г. — иностранным членом Латвийской академии наук.

Я. Г. Пановко принадлежат значительные достижения в области строительной механики, прикладной теории упругости и пластичности, теории колебаний и удара. Им опубликовано более ста работ, среди которых 15 монографий, в их числе «Устойчивость и колебания упругих систем» (в соавт. с И. И. Губановой; многократно переизд. в URSS). Подготовил более 50 кандидатов и докторов наук.