Гельфонд А.О. Вычеты и их приложения Изд. 6, стереотип.

Содержание

Введение

Математические методы становятся сильным и глубоко проникающим орудием исследования в самых различных разделах естествознания и других наук. Среди классических методов, с успехом использующихся в математике и ее приложениях, далеко не последнее место занимает метод вычетов, основанный на свойствах вычетов аналитических функций одного комплексного переменного. Вычисление интегралов, получение глубоких, функциональных тождеств, разложение функций в ряды, в том числе и интерполяционные, получение асимптотик, решение дифференциальных уравнений некоторых классов – вот неполный перечень возможных приложений теории вычетов. Для упрощения пользования предлагаемой книжкой мы даем краткие сведения об особых точках аналитических функций, о целых и мероморфных функциях, интеграле Фурье, преобразованиях Меллина и Лапласа.

Материал, содержащийся в предлагаемой читателю книжке, требует знания начал теории функций комплексного переменного, включая понятие интеграла и теорему Коши о том, что интеграл, взятый по любому замкнутому спрямляемому контуру, целиком лежащему в односвязной области регулярности аналитической функции, равен нулю. Доказательство этого классического предложения можно найти, например, в книгах [1] – [3]. Если область D регулярности f(z) не односвязна, но функция в ней однозначна, другими словами, если выходя из любой точки z области D, двигаясь по любому замкнутому контуру, принадлежащему области D, и возвращаясь в z, мы приходим к тому же значению f(z), что и начальное, то теорема Коши сохраняется. Именно, интеграл по любому замкнутому спрямляемому контуру С, лежащему в D, внутри которого f(z) регулярна, равен нулю. При этом контур С можно считать составленным из нескольких простых замкнутых кривых. Например, пусть область D трехсвязна и состоит из круга |z| < R, из внутренности которого выброшены три замкнутые области D₁, D₂, D₃. Пусть замкнутые спрямляемые контуры С₁, С₂, С₃ содержат внутри себя области D₁, D₂, D₃ не пересекаются между собой и лежат внутри спрямляемого замкнутого контура С*, содержащегося в области D.

Контуром С будем считать совокупность контуров С*, С₁, С₂, С₃, причем контур С* будет проходить против стрелки часов, а контуры С₁, С₂, С₃ по часовой стрелке, чтобы область D'' с границей С при обходе этого контура в положительном направлении лежала бы все время слева. Для этого контура С теорема Коши будет справедлива. Доказывается это утверждение весьма просто. Мы соединяем контуры С₁, С₂, С₃ не пересекающимися жордановыми перемычками с контуром С* и рассматриваем границу С уже односвязной области D''', состоящую из контуров С*, C₁, C₂, С₃ и трех перемычек. Интеграл по контуру С равен нулю по теореме Коши для односвязной области, а интегралы по перемычкам, которые берутся по два раза каждый в противоположных направлениях, взаимно уничтожаются в силу однозначности функции f(z) в области D. Последнее утверждение верно, так как с какой бы стороны и по какому бы пути мы не подходили к точке z на перемычке, мы придем к одному и тому же значению функции f(z). Естественно, что в этом рассуждении круг |z| < R может быть заменен любой областью с жордановой границей и трехсвязность может быть заменена многосвязностью. Положительное направление обхода границы области строго определяется во всех случаях как направление обхода, при котором область остается слева. Противоположное направление обхода называется отрицательным.

Прямым следствием теоремы Коши для многосвязной области является теорема.

Теорема 1. Если С – спрямляемая граница конечной области D, функция f(z) регулярна и однозначна в замкнутой области D, за исключением, может быть, точек z₁, ..., z_n, С₁, ..., С_n – окружности с центрами в этих точках, содержащие каждая только одну из точек z₁, ..., z_n, состоящие из внутренних точек D и не пересекающиеся между собой, то имеет место равенство

(1) int_C f(z)dz = SUM_k=1ⁿ int_Ck f(z)dz.

Действительно, область D с n выколотыми точками будет (n + 1)-связной областью, и интеграл по контуру С, состоящему из контуров С, С₁, ..., С_n, будет равен нулю. Так как контуры С₁, ..., С_n обходятся в направлении, противоположном обходу контура С, то мы и получаем равенство (1), где все интегралы взяты по своим контурам в положительном направлении.

В частности, из теоремы Коши также следует, что если f(z) регулярна и однозначна в какой-то окрестности точки z₀, то интеграл по любому замкнутому спрямляемому контуру, принадлежащему этой окрестности и содержащему точку z₀ внутри, не зависит от этого контура. Действительно, если мы имеем два таких контура, то внутри них обязательно находится достаточно малый круг с центром в точке z₀, откуда по теореме 1 и следует равенство соответствующих интегралов.

Как известно, требование аналитичности f(z) на контуре для справедливости теоремы Коши может быть заменено требованием аналитичности в ограниченной области D, границей которой является наш спрямляемый контур. С, и непрерывности f(z) в D = D + C. Это следует из возможности замены контура С контуром С', C' принадлежит D, настолько близким к С, что разность между интегралами по С и по С' будет сколь угодно мала в силу непрерывности интегрируемой функции в D. В качестве С' можно взять конечнозвенную ломаную линию. Возможность такой замены контуров обычно участвует в доказательстве теоремы Коши для односвязной области. См., например, [7].

Об авторе

Гельфонд Александр Осипович

Выдающийся отечественный математик, член-корреспондент АН СССР (1939). Родился в Петербурге. В 1927 г. окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, где учился у таких известных математиков, как В. В. Степанов и А. Я. Хинчин. С 1931 г. — профессор МГУ. С 1933 г. был старшим научным сотрудником Математического института имени В. А. Стеклова АН СССР, а с 1938 г. — заведующим кафедрой теории чисел механико-математического факультета МГУ.

Основные научные интересы А. О. Гельфонда лежали в области теории чисел и теории функций комплексного переменного. Им были установлены глубокие связи между аналитическими свойствами функций комплексного переменного и арифметикой, созданы аналитические методы доказательства трансцендентности чисел, установлен ряд теорем о взаимной трансцендентности чисел. Решение седьмой проблемы Гильберта принесло А. О. Гельфонду всемирную известность. В теории функций наиболее известны работы А. О. Гельфонда по интерполированию целых функций и связи между ростом целых функций и арифметическими свойствами их значений.