Предисловие |
Введение |
Глава I. | Ряды |
| § 1. | Сходящиеся последовательности чисел |
| § 2. | Бесконечно малые величины |
| § 3. | Условия сходимости Коши |
| § 4. | Применение признака сходимости Коши |
| § 5. | Сходящиеся ряды |
| § 6. | Абсолютно сходящиеся ряды |
| § 7. | Функция ехр(z) |
| § 8. | Основные трансцендентные функции |
| § 9. | Степенные ряды |
Глава II. | Дифференциальное исчисление |
| § 10. | Производная |
| § 11. | Вычисление производных |
| § 12. | Неопределенный интеграл |
| § 13. | Вычисление некоторых неопределенных интегралов |
| § 14. | Определенный интеграл |
| § 15. | Ряд Тейлора |
Глава III. | Интегральное исчисление |
| § 16. | Определенный интеграл как площадь |
| § 17. | Определенный интеграл как предел последовательности конечных сумм |
| § 18. | Площадь и длина графика |
| § 19. | Длина параметрически заданной линии |
Глава IV. | Аналитические функции |
| § 20. | Интегрирование функций комплексного переменного |
| § 21. | Теорема Коши |
| § 22. | Ряды Тейлора и Лорана |
| § 23. | Вычеты |
| § 24. | Нахождение обратной функции |
| § 25. | Целые функции и особые точки |
Предлагаемая книжка является второй из серии
четырех небольших сравнительно популярных книг,
издаваемых мною под общим заглавием "Знакомство
с высшей математикой". Первая книжка "Метод координат" уже вышла в 1977 году. Эта вторая книжка
посвящена изложению основных фактов математического
анализа.
Изложение ведется так, чтобы всюду, где это возможно,
одновременно рассматривать как действительный,
так и комплексный случай. В первую очередь
это относится к определению сходимости последовательностей
и рядов, в частности степенных рядов.
Точно так же определение производной дается одновременно
для функций действительного и комплексного
переменного, так как формально оно одинаково
для обоих случаев. Понятие первообразной функции
определяется одинаково как для функции действительного
переменного, так и для функции комплексного
переменного. Одновременно доказывается
единственность первообразной с точностью до постоянного
слагаемого. Такой способ изложения дает
возможность сравнительно легко включить в книгу
основные результаты теории функций комплексного
переменного, что составляет ее четвертую главу. Эта
глава является важнейшей завершающей частью книги
и доведена до таких сравнительно сложных результатов,
как ряд Лорана и поведение функции
вблизи изолированной особой точки.
Те вопросы анализа, которые составляют так называемую
теорию функций действительного переменного,
я стараюсь отодвинуть на задний план, считая
их наименее интересными. Я не свел их вместе,
а разбросал по всей книжке, излагая там, где в них
возникает необходимость.
Центральное место в первой главе занимает изучение
функции exp(z) комплексного переменного 2,
которая задается степенным рядом
exp(z)=l+ z/1+z2/1x2 +... +zn/n+... (1)
Доказывается, что при действительном значении
z = х мы имеем равенство
exp(x) = еx,
а для чисто мнимого значения r = iy имеется формула
exp (iy) = cos у + i sin у.
Таким образом, не пользуясь дифференциальным исчислением,
мы сразу получаем разложение основных
трансцендентных функций ех, cos у, sin у в степенные
ряды.
Нужно обратить внимание на следующее обстоятельство.
Когда мы доказываем, что некоторая как-либо
заданная функция разлагается в степенной ряд,
то для этого достаточно доказать, что ряд сходится
к некоторому определенному числу -- значению функции.
Если же мы хотим определить саму функцию
при помощи ряда (см. (1)), то для этого нужно доказать,
что ряд сходится, для чего необходимо использовать
признак сходимости Коши и дать точное
определение числа. Весь этот аппарат излагается
в первой главе.
Глава II посвящена изложению основных результатов
дифференциального исчисления. Прежде всего
определяется производная одновременно как для
функции действительного переменного, так и для
функции комплексного переменного и вводится понятие
интегрирования как операции, обратной к операции
дифференцирования. Завершением главы является
доказательство формулы Тейлора с остаточным
членом в интегральной форме.
Глава III посвящена интегральному исчислению.
В ней интеграл определяется сперва интуитивно, как
величина площади, ограниченной графиком, и доказывается,
что так определенный интеграл является
первообразной для функции, задающей график.
Далее весьма четко и тщательно интеграл определяется
как предел последовательности конечных сумм.
Таково в основном содержание книги.
Введение распадается на две части, В первой части
напоминаются некоторые простейшие понятия, которые
можно почерпнуть из книжки "Метод координат". Во второй части "Историческая справка"
дается очень краткое и неполное описание истории
развития математического анализа. Для чтения предлагаемой
книги нет необходимости иметь законченное
среднее математическое образование. Некоторые употребляемые
здесь важнейшие формулы элементарной
математики -- сумма геометрической прогрессии, бином
Ньютона -- в книге доказаны, так что она может
быть доступна и старшим школьникам, но книга
не является легким чтением и требует значительной математической
культуры. Надеюсь, что она может послужить
также противоядием при "отравлении" теорией
множеств. В последнее время теоретико-множественная
идеология усердно внедряется в программу
и учебники средней школы. Авторы этого внедрения
утверждают, что теория множеств важна для научно-технического
прогресса и является новейшим достижением
математики. В действительности теория множеств
не имеет ничего общего с научно-техническим
прогрессом и не является новейшим достижением математики.
Теоретико-множественная идеология приводит,
например, к таким уродствам, как замена термина
"равенство" геометрических фигур термином
"конгруэнтность" и определение вектора как "параллельный
сдвиг пространства".
В заключение я выражаю благодарность В.Р.Телеснину
за помощь, оказанную при написании и редактировании
книги, а также официальному рецензенту
издательства Е.М.Никишину за его многочисленные
замечания, значительную часть которых
я использовал.
Лев Семенович Понтрягин (1908--1988)
Выдающийся российский математик, академик АН СССР,
Герой Социалистического Труда (1969). Родился 3 сентября 1908 г.
в Москве. В 14 лет потерял зрение в результате несчастного случая. Окончил Московский
государственный университет им.М.В.Ломоносова (1929). С 1930 г.
работал в Московском университете, где в 1935 г. получил ученое звание
профессора, и одновременно с 1939 г. занимал должность заведующего отделом
Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР.
Основные работы Л.С.Понтрягина относятся к теории дифференциальных
уравнений, топологии, теории колебаний, теории управления, вариационному
исчислению, алгебре. В топологии он открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд
результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний
главные результаты работ Л.С.Понтрягина относятся к асимптотике
релаксационных колебаний. В теории управления он выступил как создатель
математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит так
называемый принцип максимума Понтрягина. Ему принадлежат также существенные
результаты в области вариационного исчисления, дифференциальных игр, теории
размерности, теории регулирования. Работы школы Л.С.Понтрягина оказали
большое влияние на развитие теории управления и вариационного исчисления
во всем мире.