Понтрягин Л.С.

Анализ бесконечно малых. Изд. стереотип.

---

Предисловие
Введение
Глава I.	Ряды
	§ 1.	Сходящиеся последовательности чисел
	§ 2.	Бесконечно малые величины
	§ 3.	Условия сходимости Коши
	§ 4.	Применение признака сходимости Коши
	§ 5.	Сходящиеся ряды
	§ 6.	Абсолютно сходящиеся ряды
	§ 7.	Функция ехр(z)
	§ 8.	Основные трансцендентные функции
	§ 9.	Степенные ряды
Глава II.	Дифференциальное исчисление
	§ 10.	Производная
	§ 11.	Вычисление производных
	§ 12.	Неопределенный интеграл
	§ 13.	Вычисление некоторых неопределенных интегралов
	§ 14.	Определенный интеграл
	§ 15.	Ряд Тейлора
Глава III.	Интегральное исчисление
	§ 16.	Определенный интеграл как площадь
	§ 17.	Определенный интеграл как предел последовательности конечных сумм
	§ 18.	Площадь и длина графика
	§ 19.	Длина параметрически заданной линии
Глава IV.	Аналитические функции
	§ 20.	Интегрирование функций комплексного переменного
	§ 21.	Теорема Коши
	§ 22.	Ряды Тейлора и Лорана
	§ 23.	Вычеты
	§ 24.	Нахождение обратной функции
	§ 25.	Целые функции и особые точки

---

Предлагаемая книжка является второй из серии четырех небольших сравнительно популярных книг, издаваемых мною под общим заглавием "Знакомство с высшей математикой". Первая книжка "Метод координат" уже вышла в 1977 году. Эта вторая книжка посвящена изложению основных фактов математического анализа.

Изложение ведется так, чтобы всюду, где это возможно, одновременно рассматривать как действительный, так и комплексный случай. В первую очередь это относится к определению сходимости последовательностей и рядов, в частности степенных рядов. Точно так же определение производной дается одновременно для функций действительного и комплексного переменного, так как формально оно одинаково для обоих случаев. Понятие первообразной функции определяется одинаково как для функции действительного переменного, так и для функции комплексного переменного. Одновременно доказывается единственность первообразной с точностью до постоянного слагаемого. Такой способ изложения дает возможность сравнительно легко включить в книгу основные результаты теории функций комплексного переменного, что составляет ее четвертую главу. Эта глава является важнейшей завершающей частью книги и доведена до таких сравнительно сложных результатов, как ряд Лорана и поведение функции вблизи изолированной особой точки.

Те вопросы анализа, которые составляют так называемую теорию функций действительного переменного, я стараюсь отодвинуть на задний план, считая их наименее интересными. Я не свел их вместе, а разбросал по всей книжке, излагая там, где в них возникает необходимость.

Центральное место в первой главе занимает изучение функции exp(z) комплексного переменного 2, которая задается степенным рядом

exp(z)=l+ z/1+z²/1x2 +... +zⁿ/n+... (1)

Доказывается, что при действительном значении z = х мы имеем равенство

exp(x) = е^x,

а для чисто мнимого значения r = iy имеется формула

exp (iy) = cos у + i sin у.

Таким образом, не пользуясь дифференциальным исчислением, мы сразу получаем разложение основных трансцендентных функций е^х, cos у, sin у в степенные ряды.

Нужно обратить внимание на следующее обстоятельство. Когда мы доказываем, что некоторая как-либо заданная функция разлагается в степенной ряд, то для этого достаточно доказать, что ряд сходится к некоторому определенному числу -- значению функции. Если же мы хотим определить саму функцию при помощи ряда (см. (1)), то для этого нужно доказать, что ряд сходится, для чего необходимо использовать признак сходимости Коши и дать точное определение числа. Весь этот аппарат излагается в первой главе.

Глава II посвящена изложению основных результатов дифференциального исчисления. Прежде всего определяется производная одновременно как для функции действительного переменного, так и для функции комплексного переменного и вводится понятие интегрирования как операции, обратной к операции дифференцирования. Завершением главы является доказательство формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Глава III посвящена интегральному исчислению. В ней интеграл определяется сперва интуитивно, как величина площади, ограниченной графиком, и доказывается, что так определенный интеграл является первообразной для функции, задающей график.

Далее весьма четко и тщательно интеграл определяется как предел последовательности конечных сумм.

Таково в основном содержание книги.

Введение распадается на две части, В первой части напоминаются некоторые простейшие понятия, которые можно почерпнуть из книжки "Метод координат". Во второй части "Историческая справка" дается очень краткое и неполное описание истории развития математического анализа. Для чтения предлагаемой книги нет необходимости иметь законченное среднее математическое образование. Некоторые употребляемые здесь важнейшие формулы элементарной математики -- сумма геометрической прогрессии, бином Ньютона -- в книге доказаны, так что она может быть доступна и старшим школьникам, но книга не является легким чтением и требует значительной математической культуры. Надеюсь, что она может послужить также противоядием при "отравлении" теорией множеств. В последнее время теоретико-множественная идеология усердно внедряется в программу и учебники средней школы. Авторы этого внедрения утверждают, что теория множеств важна для научно-технического прогресса и является новейшим достижением математики. В действительности теория множеств не имеет ничего общего с научно-техническим прогрессом и не является новейшим достижением математики. Теоретико-множественная идеология приводит, например, к таким уродствам, как замена термина "равенство" геометрических фигур термином "конгруэнтность" и определение вектора как "параллельный сдвиг пространства".

В заключение я выражаю благодарность В.Р.Телеснину за помощь, оказанную при написании и редактировании книги, а также официальному рецензенту издательства Е.М.Никишину за его многочисленные замечания, значительную часть которых я использовал.

---

Лев Семенович Понтрягин (1908--1988)

Выдающийся российский математик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда (1969). Родился 3 сентября 1908 г. в Москве. В 14 лет потерял зрение в результате несчастного случая. Окончил Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова (1929). С 1930 г. работал в Московском университете, где в 1935 г. получил ученое звание профессора, и одновременно с 1939 г. занимал должность заведующего отделом Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР.

Основные работы Л.С.Понтрягина относятся к теории дифференциальных уравнений, топологии, теории колебаний, теории управления, вариационному исчислению, алгебре. В топологии он открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты работ Л.С.Понтрягина относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории управления он выступил как создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит так называемый принцип максимума Понтрягина. Ему принадлежат также существенные результаты в области вариационного исчисления, дифференциальных игр, теории размерности, теории регулирования. Работы школы Л.С.Понтрягина оказали большое влияние на развитие теории управления и вариационного исчисления во всем мире.