Предлагаемая книжка является второй из серии четырех небольших сравнительно популярных книг, издаваемых мною под общим заглавием "Знакомство с высшей математикой". Первая книжка "Метод координат" уже вышла в 1977 году. Эта вторая книжка посвящена изложению основных фактов математического анализа. Изложение ведется так, чтобы всюду, где это возможно, одновременно рассматривать как действительный, так и комплексный случай. В первую очередь это относится к определению сходимости последовательностей и рядов, в частности степенных рядов. Точно так же определение производной дается одновременно для функций действительного и комплексного переменного, так как формально оно одинаково для обоих случаев. Понятие первообразной функции определяется одинаково как для функции действительного переменного, так и для функции комплексного переменного. Одновременно доказывается единственность первообразной с точностью до постоянного слагаемого. Такой способ изложения дает возможность сравнительно легко включить в книгу основные результаты теории функций комплексного переменного, что составляет ее четвертую главу. Эта глава является важнейшей завершающей частью книги и доведена до таких сравнительно сложных результатов, как ряд Лорана и поведение функции вблизи изолированной особой точки. Те вопросы анализа, которые составляют так называемую теорию функций действительного переменного, я стараюсь отодвинуть на задний план, считая их наименее интересными. Я не свел их вместе, а разбросал по всей книжке, излагая там, где в них возникает необходимость. Центральное место в первой главе занимает изучение
функции exp(z) комплексного переменного 2,
которая задается степенным рядом
Нужно обратить внимание на следующее обстоятельство. Когда мы доказываем, что некоторая как-либо заданная функция разлагается в степенной ряд, то для этого достаточно доказать, что ряд сходится к некоторому определенному числу – значению функции. Если же мы хотим определить саму функцию при помощи ряда (см. (1)), то для этого нужно доказать, что ряд сходится, для чего необходимо использовать признак сходимости Коши и дать точное определение числа. Весь этот аппарат излагается в первой главе. Глава II посвящена изложению основных результатов дифференциального исчисления. Прежде всего определяется производная одновременно как для функции действительного переменного, так и для функции комплексного переменного и вводится понятие интегрирования как операции, обратной к операции дифференцирования. Завершением главы является доказательство формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Глава III посвящена интегральному исчислению. В ней интеграл определяется сперва интуитивно, как величина площади, ограниченной графиком, и доказывается, что так определенный интеграл является первообразной для функции, задающей график. Далее весьма четко и тщательно интеграл определяется как предел последовательности конечных сумм. Таково в основном содержание книги. Введение распадается на две части, В первой части напоминаются некоторые простейшие понятия, которые можно почерпнуть из книжки "Метод координат". Во второй части "Историческая справка" дается очень краткое и неполное описание истории развития математического анализа. Для чтения предлагаемой книги нет необходимости иметь законченное среднее математическое образование. Некоторые употребляемые здесь важнейшие формулы элементарной математики – сумма геометрической прогрессии, бином Ньютона – в книге доказаны, так что она может быть доступна и старшим школьникам, но книга не является легким чтением и требует значительной математической культуры. Надеюсь, что она может послужить также противоядием при "отравлении" теорией множеств. В последнее время теоретико-множественная идеология усердно внедряется в программу и учебники средней школы. Авторы этого внедрения утверждают, что теория множеств важна для научно-технического прогресса и является новейшим достижением математики. В действительности теория множеств не имеет ничего общего с научно-техническим прогрессом и не является новейшим достижением математики. Теоретико-множественная идеология приводит, например, к таким уродствам, как замена термина "равенство" геометрических фигур термином "конгруэнтность" и определение вектора как "параллельный сдвиг пространства". В заключение я выражаю благодарность В.Р.Телеснину за помощь, оказанную при написании и редактировании книги, а также официальному рецензенту издательства Е.М.Никишину за его многочисленные замечания, значительную часть которых я использовал. ![]() Выдающийся советский математик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской премии, Сталинской премии и Государственной премии СССР. Родился в Москве. В возрасте 13 лет потерял зрение в результате несчастного случая. В 1929 г. окончил математическое отделение физико-математического факультета Московского университета и поступил в двухгодичную аспирантуру к известному математику П. С. Александрову. В 1930 г. зачислен доцентом кафедры алгебры Московского университета. С 1934 г. начал работать в Математическом институте им. В. А. Стеклова (МИАН), с 1939 г. — заведующий отделом МИАН. В 1935 г. ему была присуждена степень доктора физико-математических наук; в том же году он стал профессором МГУ. В 1971 г., в момент создания факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, организовал кафедру оптимального управления в составе факультета, заведующим которой являлся до 1988 г. В числе его наград — четыре ордена Ленина, орден Октябрьской Революции, орден Трудового Красного Знамени.
Основные работы Л. С. Понтрягина относятся к теории дифференциальных уравнений, топологии, теории колебаний, теории управления, вариационному исчислению, алгебре. В топологии он открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты работ Л. С. Понтрягина относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории управления он выступил как создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит так называемый принцип максимума Понтрягина. Ему принадлежат также существенные результаты в области вариационного исчисления, дифференциальных игр, теории размерности, теории регулирования. Работы школы Л. С. Понтрягина оказали большое влияние на развитие теории управления и вариационного исчисления во всем мире. |