Магницкий Н.А. Теория динамического хаоса Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

В монографии представлена в основном законченная бифуркационная теория динамического хаоса в нелинейных системах дифференциальных уравнений, включая автономные и неавтономные, диссипативные и консервативные нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и с запаздывающим аргументом. Следствием теории является существование единого универсального механизма самоорганизации в широком круге математических моделей, имеющих приложения во многих областях науки и техники и описывающих многочисленные физические, химические, биологические, экономические и социальные природные и общественные явления и процессы. Таким образом, речь идет об открытии и описании единого универсального механизма устройства окружающего нас бесконечно сложного и разнообразного нелинейного мира. Все теоретические положения и результаты получены в течение последних нескольких лет исключительно автором, его сотрудниками и учениками и подтверждены многочисленными примерами, иллюстрациями и численными расчетами.

Книга состоит из четырех глав. В первой вводной главе излагаются основные понятия, определения и теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, необходимые для понимания материала, представленного в последующих главах. Даны описания и примеры основных бифуркаций особых точек, предельных циклов, торов и нерегулярных (сингулярных) аттракторов нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено малоизученным нелокальным бифуркациям гомоклинических и гетероклинических контуров, а также различным каскадам бифуркаций как регулярных так и сингулярных аттракторов.

Во второй главе монографии представлена бифуркационная теория динамического хаоса в нелинейных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. На многочисленных примерах как модельных, так и широко известных двумерных неавтономных систем с периодическими коэффициентами, трехмерных, многомерных и бесконечномерных автономных систем показано, что во всех этих системах существует один универсальный бифуркационный сценарий перехода к хаосу через каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода устойчивых циклов или торов, затем через субгармонический каскад бифуркаций Шарковского устойчивых циклов или торов любого периода вплоть до цикла (тора) периода три, и затем через гомоклинический или гетероклинический каскад бифуркаций Магницкого устойчивых циклов (торов), сходящихся к гомоклиническим или гетероклиническим контурам особых точек и циклов и к другим сепаратрисным многообразиям. Объяснены механизмы формирования сингулярных аттракторов и решена основная теоретическая проблема хаотической динамики нелинейных систем дифференциальных уравнений, состоящая в выяснении топологической структуры многообразия, на котором располагаются без самопересечений все регулярные и сингулярные аттракторы нелинейной системы в соответствии с порядком Шарковского и гомоклиническим порядком.

В третьей главе монографии изложен разработанный автором новый бифуркационный подход к анализу хаотической динамики не только гамильтоновых, но и любых консервативных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Подход состоит в рассмотрении расширенной диссипативной системы уравнений и анализе бифуркаций ее решений при стремлении параметра диссипации к нулю. Разработанным методом проведен анализ нескольких типичных возмущенных гамильтоновых систем с полутора, двумя, двумя с половиной и тремя степенями свободы, а также просто консервативных, но не гамильтоновых, систем. На основе полученных результатов сделан вывод о том, что большинство положений классической гамильтоновой механики не выполняется для рассмотренных типичных гамильтоновых систем и что существующие в этих системах торы не являются торами невозмущенных систем ни при какой величине возмущения. А переход к хаосу в любой гамильтоновой и любой просто консервативной системе происходит не через разрушение некоторых торов невозмущенной системы, а наоборот, через каскады бифуркаций рождения новых торов и сингулярных сепаратрисных многообразий в соответствии с универсальной теорией ФШМ (Фейгенбаума–Шарковского–Магницкого), развитой во второй главе монографии изначально для диссипативных систем.

Четвертая глава монографии посвящена анализу сценариев перехода к пространственно-временному хаосу в нелинейных системах уравнений с частными производными. Рассмотрены системы уравнений типа "реакция-диффузия" и системы, описывающие автоколебательные и возбудимые среды. Проанализирован также переход от ламинарного режима к турбулентному в задачах движения вязкой несжимаемой жидкости. Показано, что во всех этих сложных нелинейных системах уравнений с частными производными переход к пространственно-временному хаосу также происходит в соответствии с одним универсальным сценарием ФШМ через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов и двумерных или многомерных торов.

Автор выражает признательность С.В.Емельянову, С.К.Коровину и Ю.С.Попкову за полезные обсуждения затрагиваемых в книге вопросов, а также своим сотрудникам и ученикам А.В.Дернову, А.Д.Дубровскому, Н.М.Евстигнееву, Д.А.Калошину, Т.В.Карамышевой, О.И.Рябкову, С.В.Сидорову, А.А.Треблеру, отдельные результаты которых вошли в настоящую монографию.

Введение

Одним из основных научных достижений конца XX – начала ХХI века безусловно можно назвать стремительное развитие нелинейной науки - нелинейной и хаотической динамики. Оказалось, что нелинейность существует повсюду, она вездесуща, многолика и неисчерпаемо разнообразна. За такими, как казалось на первый взгляд, разными по своей природе научными, техническими и социально-экономическими процессами и явлениями, как спонтанное появление упорядоченности в колебательных физических и радиотехнических системах, химических реакциях и открытых гидродинамических системах, в задачах физики плазмы и игре на валютных рынках, в нелинейной оптике и динамике популяций, в работе кровеносной системы человека и динамике макроэкономических показателей, в распространении импульсов по нервному волокну и формировании общественного мнения, удалось увидеть общие черты и механизмы. Их описание было дано с помощью близких моделей и одних и тех же математических структур – нелинейных дифференциальных уравнений. Возникли понятия простых притягивающих множеств в фазовом пространстве – регулярных аттракторов, простейшим из которых – особым точкам – соответствуют стационарные, не меняющиеся со временем структуры, более сложным – предельным циклам и инвариантным торам – различные периодические, квазипериодические и волновые режимы. Принципиальным оказалось наличие диссипативных процессов (вязкости, диффузии, теплопроводности). Они позволяли изучаемым системам независимо от начальных условий формировать со временем одни и те же распределения переменных, которые стали называть диссипативными структурами. Математическим аппаратом нелинейной динамики на этом этапе ее развития были качественная теория и теория бифуркаций нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Однако вскоре выяснилось, что многие нелинейные природные и социальные процессы и явления не описываются регулярными аттракторами или простыми диссипативными структурами, а их математические модели допускают значительно более сложные нерегулярные решения, названные динамическим хаосом, и значительно более сложные притягивающие множества в фазовом пространстве, названные нерегулярными аттракторами. Нерегулярные во времени и неоднородные по пространственным переменным решения нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными стали называть пространственно-временным и, в частности, диффузионным хаосом.

Современная теория хаоса состоит из трех практически не связанных между собой разделов науки, обладающих своими собственными приемами и методами исследования: динамический хаос в диссипативных системах, близкие траектории которых вне зависимости от начальных условий стремятся со временем к некоторому одному регулярному или нерегулярному аттрактору; динамический хаос в консервативных и гамильтоновых системах, близкие траектории которых не стремятся к одному аттрактору, а решения существенно зависят от конкретных начальных условий; и квантовый хаос в квантовомеханических системах, в которых в силу принципа неопределенности понятие близких траекторий вообще отсутствует. Первые два вида динамического хаоса относятся к процессам, происходящим в макромире, последний – квантовый хаос – к явлениям микромира.

Ключевым свойством динамического хаоса в диссипативных системах с нерегулярными аттракторами оказалась чувствительность к начальным данным – притяжение двух бесконечно близких траекторий к некоторой ограниченной области фазового пространства и затем их быстрое разбегание за конечное время на конечное расстояние внутри этой области. Тем же свойством быстрого разбегания двух бесконечно близких траекторий за конечное время на конечное расстояние внутри некоторой ограниченной области фазового пространства или во всем фазовом пространстве обладают и консервативные (гамильтоновы) системы. Будущее для таких систем является принципиально непрогнозируемым, а прошлое - невоспроизводимым. Наличие буквально всюду диссипативных и консервативных систем с такими областями поставило вопрос об адекватности применения траекторного подхода и вообще дифференциальных уравнений к описанию сложных природных явлений и общественных процессов. По мнению выдающегося ученого современности, лауреата Нобелевской премии И.Р.Пригожина, высказанному автору настоящей книги несколько лет назад в личной беседе, объяснение тому, что из себя представляют нерегулярные аттракторы диссипативных систем, не может быть дано в рамках траекторного подхода; это может быть сделано только в рамках новой математики, которая будет создана новым гением уровня Ньютона или Лейбница.

Кажущаяся невозможность описания нерегулярных аттракторов нелинейных диссипативных систем методами качественной теории дифференциальных уравнений и теории бифуркаций привела к тому, что в современной литературе появилось более двадцати различных определений нерегулярных аттракторов: странный, хаотический, стохастический, квазиаттрактор, аттрактор типа Лоренца и т.д. Для их описания и для описания динамического хаоса в консервативных и гамильтоновых системах стали применяться методы теории возмущений, а также геометрические и вероятностные методы. Однако, эти подходы не привели к пониманию существа хаотических процессов, происходящих в нелинейных диссипативных и консервативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Тем более это относится к нелинейным системам уравнений с частными производными, один из видов пространственно-временного хаоса в которых – турбулентность – не удалось описать никакими методами современной математики на протяжении всего двадцатого столетия, несмотря на многочисленные усилия. В связи с этим проблема турбулентности была включена в число семи математических проблем тысячелетия [127]. Еще печальнее обстоит дело с описанием и пониманием квантовомеханических хаотических процессов в микромире, к которым, как считает современная физика, не применимы законы динамики, действующие в макромире. Современное описание микромира состоит из набора не связанных друг с другом геометрических, алгебраических и стохастических линейных теорий, подогнанных под данные натурных экспериментов. Такой подход, господствующий в современной науке на протяжении последних ста лет не привел ни к появлению единой фундаментальной теории объединительного характера, ни к пониманию существа происходящих в микромире процессов.

Целью настоящей монографии является доказать и показать читателю, что существует один единственный вид динамического хаоса во всех нелинейных системах дифференциальных уравнений: диссипативных и консервативных, автономных и неавтономных, обыкновенных, с частными производными и с запаздывающим аргументом. И этот единственный вид динамического хаоса может быть успешно описан в рамках траекторного подхода методами качественной теории дифференциальных уравнений и теории бифуркаций в нелинейных системах дифференциальных уравнений, а именно, универсальной бифуркационной теорией ФШМ (Фейгенбаума–Шарковского–Магницкого). Для этого в монографии строго обосновано и на многочисленных примерах моделей различных физических, химических, биологических, экономических и социальных систем и процессов убедительно продемонстрировано, что в любой нелинейной диссипативной системе макромира усложнение динамики решений идет в соответствии с одним единственным универсальным сценарием через каскады бифуркаций регулярных аттракторов: каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода исходного регулярного аттрактора (цикла, тора), затем через субгармонический каскад бифуркаций Шарковского рождения регулярных аттракторов (циклов, торов) любого периода вплоть до периода три, затем через гомоклинический (гетероклинический) каскад бифуркаций Магницкого рождения регулярных аттракторов (циклов, торов) в соответствии с гомоклиническим или гетероклиническим порядком.

Доказано, что нерегулярными аттракторами нелинейных диссипативных систем являются исключительно сингулярные аттракторы, существующие в точках накопления значений бифуркационного параметра и являющиеся пределами каскадов бифуркаций регулярных аттракторов. Решена исключительно важная и наисложнейшая проблема топологической структуры сингулярных аттракторов. Показано также, что все названные выше каскады бифуркаций существуют и в консервативных и, в частности, гамильтоновых системах, так как любая консервативная система является пределом последовательности расширенных диссипативных систем при стремлении параметра диссипации к нулю, который в данном случае может рассматриваться как бифуркационный параметр. На этой основе разработана новая бифуркационная теория динамического хаоса в консервативных и, в частности, гамильтоновых системах.

Установлено также, что переход к пространственно-временному хаосу в различных автоколебательных и возбудимых средах, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений с частными производными, также происходит в соответствии с бифуркационными сценариями теории ФШМ. И, наконец, найдено несколько возможных сценариев перехода от ламинарного режима к турбулентному в пространственно трехмерных задачах движения вязкой несжимаемой жидкости с уступа и в конвекции Рэлея-Бенара. Показано, что все найденные сценарии также не выходят за рамки единой универсальной бифуркационной теории ФШМ. Таким образом, результатом настоящей книги является вывод о том, что весь окружающий нас бесконечно сложный и бесконечно разнообразный нелинейный макромир устроен по единым законам, и это законы нелинейной динамики, качественной теории нелинейных систем дифференциальных уравнений и теории бифуркаций в этих системах.

Что касается процессов, происходящих в микромире, то и они, по мнению автора, могут быть успешно описаны нелинейными системами дифференциальных уравнений и их бифуркациями. Первые результаты в этом направлении получены автором в [73, 163], где из нелинейных уравнений динамики физического вакуума (эфира) выведены все основные уравнения и формулы классической электродинамики, квантовой теории поля и теории гравитации, причем сняты основные противоречия квантовой механики, такие, например, как бесконечная энергия и масса точечного заряда. Но эти вопросы требуют написания отдельной монографии и в данной книге не рассматриваются.

Об авторе

Магницкий Николай Александрович

Доктор физико-математических наук (1989), главный научный сотрудник Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» РАН. Профессор кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова, кафедры системных исследований факультета управления и прикладной математики МФТИ. В 1974 г. окончил с отличием факультет ВМК МГУ, в 1977 г. — аспирантуру факультета ВМК МГУ под руководством академика А. Н. Тихонова.

Н. А. Магницкий — автор более 250 научных работ, в том числе 7 монографий, 5 глав в монографиях и 3 учебных пособий в области дифференциальных и интегральных уравнений, нелинейных динамических систем, теории управления, искусственных нейронных сетей, экономико-математического моделирования, теории хаоса, теории эфира. Им создана аналитическая теория интегральных уравнений Вольтерра, решена проблема множителей Стокса в аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, разработан метод характеристических функций в теории устойчивости, предложены новые классы искусственных нейронных и иммунных сетей, разработана теория динамического хаоса в любых нелинейных системах дифференциальных уравнений, дано решение проблемы турбулентности методами хаотической динамики, разработана теория сжимаемого осциллирующего эфира.