Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе Изд. 4

---

Предисловие
Введение
Глава I.	Качественные методы в экстремальных задачах
	§ 1.	Основной метод оценки числа критических точек
	§ 2.	Оценка числа аналитически различных критических точек
	§ 3.	Оценка числа геометрически различных критических точек
	§ 4, Изменение топологических свойств поверхностей уровня
	§ 5.	Некоторые приложения
	§ 6.	Принцип минимума максимумов и его обобщение
	§ 7.	Некоторые обобщения в конечномерном пространстве
	§ 8.	Обобщения на бесконечномерный случай
Глава II.	Качественные методы в теории функций комплексных переменных
	§ 1.	Основные понятия
	§ 2.	Зависимость между нулями, критическими точками и полюсами мероморфной функции
	§ 3.	Функции нескольких комплексных переменных
Глава III.	Метод неподвижных точек
	§ 1.	Теоремы о неподвижных точках
	§ 2.	Некоторые приложения теорем о неподвижных точках
	§ 3.	Теоремы о неподвижных точках, использующие инварианты типа категории
Глава IV.	Качественные методы в теории дифференциальных уравнений
	§ 1.	Оценка числа точек покоя
	§ 2.	Зависимость решений от малого коэффициента при старшей производной
	§ 3.	Некоторые асимптотические свойства решений динамических систем
	§ 4.	Динамические системы с интегральным инвариантом
	§ 5.	Устойчивость решений дифференциальных уравнений
	§ 6.	Периодические решения
Глава V.	Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами
	§ 1.	Классификация дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами и постановка основной начальной задачи
	§ 2.	Метод последовательного интегрирования (метод шагов)
	§ 3.	Метод последэвательных приближений и теорема существования и единственности
	§ 4.	Интегрируемые типы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
	§ 5.	Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
	§ 6.	Зависимость решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом от малого коэффициента при старшей производной
	§ 7.	Теоремы о колебаниях решений
	§ 8.	Линейные уравнения
	§ 9.	Классификация точек покоя и оценка их числа
	§ 10.	Устойчивость решений дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами
	§ 11.	Квазилинейные уравнения с запаздывающим аргументом
	§ 12.	Уравнения нейтрального типа
	§ 13.	Уравнения с опережающим аргументом
	§ 14.	Дифференциально-разностные уравнения в частных производных
Глава VI.	Вариационные задачи с запаздывающим аргументом
	§ 1.	Постановка простейшей задачи
	§ 2.	Основные леммы
	§ 3.	Основное необходимое условие экстремума
	§ 4.	Дальнейшие необходимые условия
	§ 5.	Обобщение на функционалы более сложного типа
	§ 6.	Вариационные задачи с подвижными границами
	§ 7.	Условный экстремум
	§ 8.	Прямые методы
	§ 9.	Оценка числа решений вариационных задач
Библиография

---

Предлагаемая вниманию читателя книга "Качественные методы в математическом анализе" имеет целью ввести читателя в круг характерных для качественных методов идей, более подробно освещая новые, еще мало разработанные вопросы.

Желая дать представление читателю о весьма обширном и разнообразном материале, автор вынужден был сообщить многие результаты без доказательств или ограничиваться лишь схемами доказательств, указывая в этом случае литературные источники.

Главы I, II и частично III рассчитаны на читателя, знакомого с основами топологии, главы IV, V и VI, за исключением одного параграфа в каждой главе, не предполагают знакомства читателя с топологией и не требуют предварительного изучения глав I, II и III.

Некоторые вопросы излагаются в этой книге впервые, многие другие вопросы излагались до сих пор лишь в научных статьях, поэтому первое более или менее систематическое изложение этого материала неизбежно будет иметь немало недостатков, однако автор надеется, что, несмотря на недостатки, эта книга поможет широкому кругу математиков познакомиться с основными идеями и некоторыми проблемами качественных методов в анализе.

---

Качественными методами в математике называются методы, дающие возможность, не получая количественного решения математической задачи, указать те или иные качественные особенности искомого решения.

Иногда качественный анализ математической задачи является лишь первым этапом исследования, на котором доказывается существование решения, оценивается число решений, устанавливаются некоторые особенности решений, облегчающие в дальнейшем их точное или приближенное нахождение.

Однако нередко приходится иметь дело с задачами, в которых вопрос поставлен чисто качественно и нахождение точного или приближенного решения уравнений рассматриваемой задачи не дает возможности ответить на поставленный вопрос, а нередко даже не облегчает решения этого вопроса.

Приведем несколько примеров задач, решаемых качественными методами:

1) Дано дифференциальное уравнение; выяснить, устойчивы ли его решения, имеет ли оно периодические решения, колеблются ли его решения, существуют ли особые точки и, если существуют, то каковы их типы.

2) Оценить число решений некоторой задачи на экстремум функции или функционала в зависимости от свойств пространства, на котором эта функция или функционал определены.

3) Не вычисляя корней уравнения f(z) = 0, указать те или иные особенности в их расположении, например выяснить, отрицательны ли действительные части всех корней этого уравнения или нет.

4) Оценить число особых точек функции f(z), аналитик ческой во всех точках некоторой области D, за исключением конечного множества особых точек, в зависимости от свойств области D.

5) Доказать существование решений некоторого уравнения и оценить их число.

С отдельными вопросами качественного характера математики встречались очень давно, однако широкое распространение качественные методы получили лишь в XX веке и в настоящее время применяются почти во всех разделах математики.

Особенно значительное развитие качественные методы получили в теории дифференциальных уравнений, в экстремальных задачах и при доказательстве теорем существования.

---