URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Постников М.М. Устойчивые многочлены: Книга для школьников... И не только Обложка Постников М.М. Устойчивые многочлены: Книга для школьников... И не только
Id: 230693
349 р.

Устойчивые многочлены:
Книга для школьников... И не только. № 140. Изд. стереотип.

URSS. 2018. 180 с. ISBN 978-5-354-01580-1.
Газетная пухлая бумага
  • Мягкая обложка

Аннотация

Книга посвящена изложению основ теории устойчивых многочленов, играющих основную роль в проблемах устойчивости систем автоматического регулирования и других динамических систем. На простом элементарном материале книга вводит в круг важных идей классической алгебры и анализа. В последней главе, более трудной по содержанию, изложены основные результаты об устойчивости целых функций и, в частности, квазимногочленов.

Для школьников... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие
Глава 1.Вводная
 1.Постановка задачи
  Многочлены и их корни. – Задача о расположении корней. – Устойчивые многочлены.
 2.Многочлены малых степеней и теорема Стодолы
  Устойчивые многочлены первой и второй степени, – Многочлены с положительными коэффициентами.
 3.История задачи
  Максвелл. – Вышнеградский. – Эрмит. – Раус. – Стодола и Гурвнц, – Льенар и Шипар.
Глава 2.Теоретическая
 1.Амплитудно-фазовый критерий устойчивости
  Многочлены g и h. – Амплитудно-фазовая характеристика. – Многочлены без чисто мнимых корней. – Многочлены с вещественными коэффициентами. – Амплитудно-фазовая характеристика многочленов третьей степени. – Фазовая функция и фазовая характеристика. – Фазовые характеристики многочленов третьей степени.- Фазовая функция произведения.- Амплитудно-фазовый критерий устойчивости.- Критерий Вышнеградского.
 2.Теорема Эрмита – Билера
  Амплитудно-фазовая характеристика устойчивого многочлена. – Многочлены с перемежающимися корнями. – Теорема Эрмита – Билера.
 3.Индекс рациональной функции
  Полюсы рациональной функции и ее главные коэффициенты. – Индекс рациональной функции. – Простейшие свойства индекса, е> Индекс инверсной функции.
 4.Индекс и условие устойчивости
  Устойчивые многочлены и индекс функций h/g и g/h. – Многочлены с вещественными положительными коэффициентами.
Глава 3.Вычислительная
 1.Вычисление индекса
  Алгорифм вычисления индекса. – Ряд Штурма. – Число перемен знака. *^ Теорема Штурма об индексе. – Теорема Штурма о числе корней.
 2.Теорема Рауса
  Индекс на всей оси. – Регулярный случай. – Формулы деления с остатком. – Алгорифм вычисления индекса в регулярном случае. – Критерий того, что индекс рациональной функции равен степени знаменателя. – Критерий Рауса.
 3.Теоремы Гурвица и Льенара – Шипара
  Матрица Гурвица многочлена. – Критерий Гурвица устойчивости многочлена с вещественными коэффициентами. – Критерий Гурвица устойчивости многочлена с произвольными комплексными коэффициентами. – Матрица Гурвица многочленов одинаковой степени. – Критерий Льенара – Шипара.
 4.Квадратичная форма, ассоциированная с рациональной функцией
  Квадратичные формы. – Разложение рациональной функции на простейшие дроби. – Вычет рациональной функции в полюсе. – Разложение рациональной функции в ряд. – Ганкелевы формы, ассоциированные с рациональной функцией. – Рациональные функции, все полюсы которых вещественны и просты. – Рациональные функции, для которых ассоциированная ганкелева форма положительно определена.   Редукция условия Сильвестра к условию Гурвица.
 5.Теорема Шура
  Многочлен f*. – Определение и свойства преобразования Шура. – Многочлен F(z, дзета). – Многочлен fдзета. – Теорема Шура,- Вспомогательная лемма. – Доказательство теоремы Гурвица.
Глава 4.Дополнительная
 1.Теоремы Чеботарева и Понтрягина
  Целые функции. – Амплитудно-фазовая характеристика целой функции. – Условия Эрмита – Билера. – Вещественные пары целых функций. – Сильно устойчивые целые функции и формулировка теоремы Чеботарева. – Квазимногочлены. – Результаты Понтрягина.
 2.Необходимые сведения из теории функций комплексного переменного
  Регулярные функции. – Принцип максимума модуля. – Теорема о неявной функции. – Мероморфные функции. – Принцип аргумента. – Теорема Руше. – Лемма о существовании корня.
 3.Доказательство теоремы Чеботарева
  Равносильность условий (А), (Б) и (В). – Доказательство теоремы Чеботарева. – Доказательство предложений о вещественных парах функций из п. 1.
 4.Квазимногочлены без главного члена
  Две вспомогательные леммы. – Доказательство теоремы.
 5.Доказательство теоремы Понтрягина
  Квазимногочлены с постоянными коэффициентами. – Квазимногочлены с переменными коэффициентами. – Доказательство теоремы Понтрягина.
 6.Вещественные тригонометрические многочлены
  Введение. – Тригонометрические многочлены с постоянными коэффициентами. – Тригонометрические многочлены с главным членом. – Число корней тригонометрического многочлена.
 7.Теорема Эрмита – Билера для квазимногочленов
  Квазимногочлены и тригонометрические многочлены. – Теорема Эрмита – Билера для квазимногочленов.
Литература

Предисловие
top

Вопрос об устойчивости положения равновесия динамической системы, как известно, сводится (при весьма общих предположениях) к вопросу, расположены ли слева от мнимой оси корни характеристического уравнения линеаризованной системы. Это объясняет живой и непрекращающийся интерес, проявляемый математиками и инженерами к задаче о характеризации многочленов, корни которых расположены слева от мнимой оси (мы будем называть такие многочлены устойчивыми).

Цель этой книги – изложить решение задачи о характеризации устойчивых многочленов в максимально простом виде, доступном каждому любителю математики, владеющему алгеброй в объеме, лишь незначительно превышающем объем курса средней школы (требуется знать формулировку основной теоремы алгебры, уметь строить графики простейших рациональных функций, владеть определением предела, уметь обращаться с комплексными числами и т.п.). Кроме того, желательно (но для основного текста необязательно) владеть понятием производной и знать, как производная применяется в задаче об отыскании точек локального экстремума. Исключением являются последние три пункта главы 3, где волей-неволей необходимо предполагать владение теорией определителей (поскольку определители входят в формулировку доказываемых в этих пунктах теорем).

Основной текст книги содержит три главы, разбитые на пункты. В п.1 первой, вводной, главы обсуждается проблема локализации корней многочлена, дается определение устойчивого многочлена и объясняется роль таких многочленов в задаче об устойчивости положений равновесия динамических систем. В п.2 доказывается простейший необходимый признак устойчивости многочлена (положительность всех коэффициентов) и приводится пример, показывающий его недостаточность. В п.3 вкратце излагается история задачи об устойчивых многочленах.

Глава 2 посвящена критериям устойчивости "теоретического " плана, имеющим дело с числом полуоборотов или индексом. В п.1 этой главы эксплуатируется принцип аргумента теории функций комплексного переменного, в п.2 доказывается теорема Эрмита – Билера о перемежаемости корней, в п.3 излагаются определение и свойства индекса Коши рациональной функции, который в заключительном п.4 применяется к установлению двух критериев устойчивости (одного классического, идущего, по существу, от Штурма и Эрмита, и другого более нового, принадлежащего Льенару и Шипару).

В главе 3 рассматриваются критерии "вычислительного " характера, позволяющие в конечное число арифметических действий установить по коэффициентам многочлена, устойчив он или нет. В вводном п.1 излагается классический метод Штурма вычисления индекса рациональной функции (ряд Штурма). Здесь же, в порядке некоторого отступления от темы, доказывается теорема Штурма о числе вещественных корней многочлена на данном интервале. В п.2 на основе результатов п.1 строится алгорифм Рауса, а в п.3 выводятся детерминантные условия Гурвица и Льенара – Шипара. В п.4 результаты п.3 передоказываются с помощью квадратичных форм, а в п.5 – на основе метода Шура.

Книга содержит также дополнительную главу 4, в которой обсуждается вопрос о перенесении результатов предыдущих глав на целые функции. В первых трех пунктах этой главы доказывается теорема Чеботарева, являющаяся обобщением на целые функции теоремы Эрмита – Билера. Оказывается, что эту теорему можно доказать на сравнительно элементарном уровне, не предполагающем почти никаких предварительных сведений из теории функций комплексного переменного, кроме принципа максимума модуля. Для читателя, совершенно незнакомого с теорией функций, в п.2 гл.4 вкратце напоминается весь необходимый материал. Последние четыре пункта гл.4, по существу не зависящие от первых трех, посвящены изложению результатов Л.С.Понтрягина об устойчивых квазимногочленах. Хотя гл.4 и труднее предыдущих глав, но все же она вполне посильна внимательному и трудолюбивому читателю, знания которого лишь незначительно выходят за пределы курса средней школы (и который готов принять на веру теоремы из п.2 гл.4).

М.М.Постников

Об авторе
top
photoПостников Михаил Михайлович
Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Подготовил 16 кандидатов физико-математических наук, из которых 9 стали впоследствии докторами наук. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.