Вопрос об устойчивости положения равновесия динамической системы, как известно, сводится (при весьма общих предположениях) к вопросу, расположены ли слева от мнимой оси корни характеристического уравнения линеаризованной системы. Это объясняет живой и непрекращающийся интерес, проявляемый математиками и инженерами к задаче о характеризации многочленов, корни которых расположены слева от мнимой оси (мы будем называть такие многочлены устойчивыми). Цель этой книги – изложить решение задачи о характеризации устойчивых многочленов в максимально простом виде, доступном каждому любителю математики, владеющему алгеброй в объеме, лишь незначительно превышающем объем курса средней школы (требуется знать формулировку основной теоремы алгебры, уметь строить графики простейших рациональных функций, владеть определением предела, уметь обращаться с комплексными числами и т.п.). Кроме того, желательно (но для основного текста необязательно) владеть понятием производной и знать, как производная применяется в задаче об отыскании точек локального экстремума. Исключением являются последние три пункта главы 3, где волей-неволей необходимо предполагать владение теорией определителей (поскольку определители входят в формулировку доказываемых в этих пунктах теорем). Основной текст книги содержит три главы, разбитые на пункты. В п.1 первой, вводной, главы обсуждается проблема локализации корней многочлена, дается определение устойчивого многочлена и объясняется роль таких многочленов в задаче об устойчивости положений равновесия динамических систем. В п.2 доказывается простейший необходимый признак устойчивости многочлена (положительность всех коэффициентов) и приводится пример, показывающий его недостаточность. В п.3 вкратце излагается история задачи об устойчивых многочленах. Глава 2 посвящена критериям устойчивости "теоретического " плана, имеющим дело с числом полуоборотов или индексом. В п.1 этой главы эксплуатируется принцип аргумента теории функций комплексного переменного, в п.2 доказывается теорема Эрмита – Билера о перемежаемости корней, в п.3 излагаются определение и свойства индекса Коши рациональной функции, который в заключительном п.4 применяется к установлению двух критериев устойчивости (одного классического, идущего, по существу, от Штурма и Эрмита, и другого более нового, принадлежащего Льенару и Шипару). В главе 3 рассматриваются критерии "вычислительного " характера, позволяющие в конечное число арифметических действий установить по коэффициентам многочлена, устойчив он или нет. В вводном п.1 излагается классический метод Штурма вычисления индекса рациональной функции (ряд Штурма). Здесь же, в порядке некоторого отступления от темы, доказывается теорема Штурма о числе вещественных корней многочлена на данном интервале. В п.2 на основе результатов п.1 строится алгорифм Рауса, а в п.3 выводятся детерминантные условия Гурвица и Льенара – Шипара. В п.4 результаты п.3 передоказываются с помощью квадратичных форм, а в п.5 – на основе метода Шура. Книга содержит также дополнительную главу 4, в которой обсуждается вопрос о перенесении результатов предыдущих глав на целые функции. В первых трех пунктах этой главы доказывается теорема Чеботарева, являющаяся обобщением на целые функции теоремы Эрмита – Билера. Оказывается, что эту теорему можно доказать на сравнительно элементарном уровне, не предполагающем почти никаких предварительных сведений из теории функций комплексного переменного, кроме принципа максимума модуля. Для читателя, совершенно незнакомого с теорией функций, в п.2 гл.4 вкратце напоминается весь необходимый материал. Последние четыре пункта гл.4, по существу не зависящие от первых трех, посвящены изложению результатов Л.С.Понтрягина об устойчивых квазимногочленах. Хотя гл.4 и труднее предыдущих глав, но все же она вполне посильна внимательному и трудолюбивому читателю, знания которого лишь незначительно выходят за пределы курса средней школы (и который готов принять на веру теоремы из п.2 гл.4). М.М.Постников
![]() Доктор физико-математических наук, профессор, лауреат Ленинской премии СССР. В 1945 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1945–1947 гг. обучался в аспирантуре отделения математики мехмата МГУ, а в 1947–1949 гг. — в аспирантуре Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После защиты кандидатской диссертации работал в отделе геометрии и топологии МИРАН. В 1953 г. защитил докторскую диссертацию. В 1957 г. М. М. Постников был удостоен премии Московского математического общества за работы в области алгебраической топологии, а в 1967 г. стал лауреатом Ленинской премии за разработку гомотопной теории непрерывных отображений. С 1965 г. и до последних дней работал профессором кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ. Подготовил 16 кандидатов физико-математических наук, из которых 9 стали впоследствии докторами наук. Автор фундаментальных работ в области алгебраической топологии и теории гомотопий; опубликовал более 15 учебников и монографий по различным областям математики.
|