| Введение | 7
|
| Глава 1 Матрицы и определители | 9
|
| 1.1. Основные сведения о матрицах. Равенство матриц. Транспонирование матриц | 9
|
| 1.1.1. Определения | 9
|
| 1.1.2. Равенство матриц | 11
|
| 1.1.3. Транспонирование матриц | 11
|
| 1.1.4. Частные виды матриц | 12
|
| 1.2. Линейные операции над матрицами | 15
|
| 1.2.1. Сложение матриц | 15
|
| 1.2.2. Вычитание матриц | 15
|
| 1.2.3. Умножение матрицы на число | 16
|
| 1.2.4. Свойства линейных операций над матрицами | 17
|
| 1.2.5. Линейная комбинация матриц | 17
|
| 1.3. Умножение матриц | 19
|
| 1.3.1. Определение операции умножения матриц | 19
|
| 1.3.2. Особенности операции умножения матриц | 20
|
| 1.3.3. Свойства операции умножения матриц | 21
|
| 1.3.4. Перестановочные (коммутирующие) матрицы | 22
|
| 1.4. Определители и их свойства. Вычисление определителей | 23
|
| 1.4.1. Определители второго порядка | 23
|
| 1.4.2. Определители третьего порядка | 24
|
| 1.4.3. Перестановки и подстановки | 25
|
| 1.4.4. Определители n-го порядка | 29
|
| 1.4.5. Миноры и алгебраичеcкие дополнения элементов определителя | 32
|
| 1.4.6. Основные свойства определителей | 34
|
| 1.4.7. Вычисление определителей | 43
|
| 1.5. Ранг матрицы | 53
|
| 1.5.1. Определение ранга матрицы | 53
|
| 1.5.2. Элементарные преобразования матрицы | 56
|
| 1.5.3. Основные свойства ранга матрицы | 57
|
| 1.5.4. Линейная зависимость строк матрицы | 58
|
| 1.5.5. Теорема о базисном миноре | 60
|
| 1.5.6. Условие равенства нулю определителя | 61
|
| 1.5.7. Нахождение ранга матрицы | 62
|
| 1.6. Обратная матрица | 68
|
| 1.6.1. Определение обратной матрицы | 68
|
| 1.6.2. Условие существования обратной матрицы и ее единственность | 69
|
| 1.6.3. Нахождение обратной матрицы | 73
|
| 1.6.4. Матричные уравнения | 79
|
| 1.7. Контрольные задания | 81
|
| Глава 2 Системы линейных уравнений | 86
|
| 2.1. Основные понятия и определения | 86
|
| 2.1.1. Основные понятия. Матрицы системы | 86
|
| 2.1.2. Запись системы линейных уравнений в матричной форме | 88
|
| 2.1.3. Решения системы | 88
|
| 2.1.4. Эквивалентность систем | 91
|
| 2.1.5. Элементарные преобразования системы линейных уравнений | 91
|
| 2.2. Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными с помощью обратной матрицы | 92
|
| 2.3. Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера | 95
|
| 2.4. Исследование систем линейных уравнений | 99
|
| 2.4.1. Критерий совместности системы m линейных уравнений с n неизвестными (Теорема Кронекера–Капелли) | 99
|
| 2.4.2. Совместные системы линейных уравнений | 102
|
| 2.4.3. Число решений совместной системы линейных уравнений | 104
|
| 2.5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса | 108
|
| 2.6. Системы однородных линейных уравнений | 117
|
| 2.6.1. Основные понятия и определения | 117
|
| 2.6.2. Совместные системы однородных линейных уравнений | 118
|
| 2.6.3. Условие существования нетривиального решения системы однородных линейных уравнений | 118
|
| 2.6.4. Фундаментальная система решений системы линейных однородных линейных уравнений | 122
|
| 2.7. Контрольные задания | 127
|
| Глава 3 n-мерные векторы. Арифметические векторные пространства | 130
|
| 3.1. Арифметические векторные пространства | 130
|
| 3.1.1. Арифметические векторные пространства 1 R , 2 R , 3 R | 130
|
| 3.1.2. n-мерные векторы | 132
|
| 3.1.3. Равенство n -мерных векторов | 133
|
| 3.1.4. Линейные операции над n -мерными векторами | 133
|
| 3.1.5. Свойства линейных операций над n-мерными векторами | 134
|
| 3.1.6. Арифметическое векторное пространство Rn | 135
|
| 3.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы n -мерных векторов | 136
|
| 3.2.1. Линейная комбинация n -мерных векторов | 136
|
| 3.2.2. Основные понятия и теоремы | 137
|
| 3.3. Базис и координаты векторов в пространстве Rn | 145
|
| 3.4. Контрольные задания | 150
|
| Глава 4 Некоторые приложения линейной алгебры в других разделах математики и при решении прикладных задач | 152
|
| 4.1. Приложения матриц и определителей | 152
|
| 4.1.1. Действия над матрицами | 152
|
| 4.1.2. Вычисление определителей | 163
|
| 4.2. Приложения систем линейных уравнений и неравенств | 167
|
| 4.2.1. Системы n линейных уравнений с n неизвестными | 167
|
| 4.2.2. Геометрический смысл линейных уравнений и систем линейных уравнений с двумя переменными | 169
|
| 4.2.3. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств с двумя переменными. Задание плоской фигуры с помощью системы линейных неравенств с двумя переменными | 174
|
| 4.2.4. Точка пересечения двух прямых | 178
|
| 4.2.5. Точка пересечения трех плоскостей | 178
|
| 4.2.6. Линейная балансовая модель | 180
|
| 4.3. Контрольные задания | 191
|
| Заключение | 203
|
| Ответы | 206
|
| Литература | 211
|
Золотаревская Дина Исааковна Доктор технических наук, профессор. Преподавала на кафедре высшей математики Российского государственного аграрного университета — МСХА им. К. А. Тимирязева (1966–2018 гг.).
Научные достижения Д. И. Золотаревской получили международное признание. Её биография включена в авторитетные мировые энциклопедии: «Кто есть кто в мире» и «Кто есть кто в науке и технике» (издательство «Маркус», США), а также в издания «2000 выдающихся интеллектуалов XXI века» и «2000 выдающихся ученых XXI века» (Международный биографический центр — МБЦ/IBC, Кембридж, Великобритания). Международный биографический центр неоднократно отмечал вклад Д. И. Золотаревской в образование и науку, включая её в списки ста выдающихся педагогов (2008, 2010, 2012, 2016 гг.) и ста выдающихся ученых (2008, 2010, 2012 гг.).
Область научных интересов автора: теория вязкоупругости, математическое моделирование реологических свойств почв и эластичных колес мобильных машин, теория и методы расчета уплотнения и напряженно-деформированного состояния вязкоупругих сред при качении круглых цилиндров и других видах нагрузок, теория и методы расчета показателей взаимодействия с почвой колесных движителей мобильных машин, оптимизация конструкционных параметров и режимов работы колесных машин и машинно-тракторных агрегатов, колебания колесных тракторов при их работе на почве и влияние колебаний тракторов на уплотнение почвы. Д. И. Золотаревской опубликовано 182 научных и научно-методических работ, среди которых 5 монографий, 32 учебные пособия по курсам высшей математики, теории вероятностей, линейной алгебры, аналитической геометрии. Некоторые учебные пособия неоднократно переиздавались. В числе ее работ: «Сборник задач по линейной алгебре», «Теория вероятностей. Задачи с решениями», «Аналитическая геометрия», «Закономерности деформирования почв: Математическое моделирование», «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» (все — М.: URSS).
