| Предисловие |
| | 1 | Введение в теорию перколяции |
| | 1.1 | Введение |
| | 1.2 | Немного терминологии |
| | 1.3 | Перколяция как критическое явление |
| | 1.4 | Критические показатели и масштабная инвариантность |
| | 1.5 | Точно решаемые задачи теории перколяции |
| | | 1.5.1 | Перколяция на одномерной цепочке |
| | | 1.5.2 | Перколяция на дереве Кейли |
| | | 1.5.3 | Точные решения для некоторых плоских решеток |
| | 1.6 | Перколяционный кластер и его подструктуры |
| | 1.7 | Структура перколяционного кластера |
| | | 1.7.1 | Модель Скал-Шкловского-де Жена |
| | | 1.7.2 | Модель капель и связей |
| | | 1.7.3 | Модель на основе ковра Серпинского |
| | | 1.7.4 | Модель на основе фрактала Гивена-Мандельброта |
| | | 1.7.5 | Иерархическая модель |
| | 1.8 | Формулы для оценки порога перколяции |
| | | 1.8.1 | Определения и оценки |
| | | 1.8.2 | Оценки Шера и Цаллена |
| | | 1.8.3 | "Универсальная формула" Галама и Можера |
| | | 1.8.4 | Порог перколяции для архимедовых решеток |
| | 1.9 | Смешанная задача теории перколяции |
| | | 1.10 | Квантовая перколяция |
| | 1.11 | Цветная перколяция |
| | 1.12 | Диффузионный фронт |
| | 1.13 | Инвазионная перколяция |
| | 1.14 | Континуальная перколяция |
| | 1.15 | Задача "иголок" и родственные проблемы |
| | 1.16 | "Решеточные звери" и разложение в ряд |
| | 1.17 | Метод ренорм-групп |
| | | 1.17.1 | Метод ренорм-групп для малых ячеек |
| | | 1.17.2 | Метод ренорм-групп для больших ячеек |
| | | 1.17.3 | е-разложение |
| 2 | Алгоритмы |
| | 2.1 | Алгоритм Зиффа |
| | 2.2 | Алгоритм Лиса |
| | 2.3 | Алгоритм Хошена-Копельмана |
| | 2.4 | Алгоритмы поиска в глубину и ширину |
| | 2.4.1 | Алгоритм поиска в глубину |
| | | 2.4.2 | Алгоритм поиска в ширину |
| | 2.5 | Специальные алгоритмы |
| | | 3 | Некоторые приложения теории перколяции |
| | 3.1 | Процессы гелеобразования |
| | 3.2 | Применение теории перколяции для описания магнитных фазовых переходов |
| | | А Значения порогов перколяции для различных решеток |
| | | В Элементарные сведения по теории графов |
| | | С Производящие функции |
| | C. | 1 Применение метода производящих функций для определения порога перколяции на дереве Кэли |
| D Фракталы |
| | D. | 1 Фракталы в математике и физике |
| | D. | 2 Размерности |
| | | D. | 2.1 Размерность самоподобия |
| | | D. | 2.2 Размерность по Хаусдорфу-Безиковичу |
| | D. | 3 Определение фрактальной размерности кластера |
| Литература |
...следует проявлять
осторожность, объявляя, что
некоторая область науки близка
к завершению...... К моему
удивлению, теория перколяции
не мертва.
Дитрих Штауффер
Теории перколяции уже более пятидесяти лет. Ежегодно на Западе. публикуются сотни статей, посвященных как теоретическим вопросам перколяции, так и ее приложениям. Опубликована несколько монограий, посвященных как теории, так и приложениям [38,39,60,82,89] также обзоров [55, 86, 88]. К сожалению, в нашей стране о теории перколяции знают немногие. Во многом это связано с тем, что литература по теории перколяции на русском языке довольно скудна. Мне известна единственная книга отечественных авторов, вышедшая на русском языке
и целиком посвященная перколяции [99]. Даже если добавить несколько книг, в том числе и переводных, где теории перколяции посвящены
отдельные главы [24, 35,49, 130], и перевод книги [60], -- список оказывается не очень впечатляющим.
С одной стороны, ощущается потребность в книге, которая могла бы
послужить учебником на начальном этапе знакомства с перколяцией.
С другой стороны, монограсзия, которая отражала бы последние достижения
теории перколяции и состояние проблемы на сегодняшний день, тоже весьма актуальна. Эти две во многом взаимоисключающие друг друга задачи послужили толчком для написания книги. В какой мере удалось выполнить поставленную задачу, судить читателям.
Теория перколяции имеет дело с образованием связанных объектов в неупорядоченных средах. С точки зрения математика теорию, перколяции
следует отнести к теории вероятности на графах. С точки зрения физика, перколяция -- это геометрический фазовый переход. С точки зрения
программиста -- широчайшее поле для разработки новых алгоритмов. С точки зрения практика -- простой, но мощный инструмент, позволяющий в едином подходе решать самые разнообразные жизненные задачи.
Теория перколяции привлекает к себе внимание специалистов по ряду причин
* легкие и элегантные с формулировки задач теории протекания сочетаются с трудностью их решения;
* их решение требует объединения новых идей из геометрии, анализи дискретной математики;
* С физическая интуиция бывает весьма плодотворной при решении этих задач;
* техника, развитая для теории перколяции, имеет многочисленные приложения в других задачах о случайных процессах;
* теория перколяции дает ключ к пониманию иных физических процессов.
То, что перколяцией занимаются специалисты в разных областях, породило определенные проблемы: исследователи порой плохо ориентируясь
в работах по перколяции, выполненных специалистами из другой предметной области. Гриммет пишет [39, р.8: "Перколяция стала предметом
энергичных исследований математиков и оизиков, каждая группа использует свой собственный язык". Штауффер призывает [90] специалистов
в области компьютерных экспериментов читать работы специалистов в области математической физики и наоборот. Это способствовало бы, по его
мнению, большему прогрессу в теории перколяции.
Мне хочется выразить особую благодарность профессору С.А.Просандееву, который познакомил меня с основными идеями теории перколяции; доктору С. ван дер Марку, совместная работа с которым и многочисленные дискуссии серьезно повлияли на становление моего нынешнего
понимания теории перколяции; всем коллегам по перколяционному сообществу, общение с которыми -- не всегда продолжительное, но всегда
продуктивное, -- способствовало написанию этой книге.
Тарасевич Юрий Юрьевич
Доктор физико-математических наук, профессор, руководитель лаборатории «Математическое моделирование и информационные технологии в науке и образовании» Астраханского государственного университета.
Области научных интересов: вычислительная физика и компьютерное моделирование, статистическая физика, физика конденсированного состояния. Автор нескольких десятков научных публикаций в изданиях, индексируемых системами Web of Science и Scopus.
