Ландау Э. Введение в дифференциальное и интегральное исчисление.
Пер. с нем. Изд. 4

Оглавление

Предисловие к русскому изданию

Умерший в эмиграции в Голландии в годы войны крупный немецкий математик Эдмунд Ландау был одним из ярких поборников математической "строгости", как в изложении научных работ, так и в преподавании. Наглядные наводящие соображения, не облеченные в строгую логическую форму, считались им лишенными смысла. Когда молодой математик приходил к Ландау, желая рассказать ему "общую идею" своей работы, то Ландау отвечал, что он не знает, что это такое, и предлагал взять карандаш и рассказывать все доказательства без пропусков и со всеми выкладками.

Подобным же образом он считал, что университетское преподавание анализа должно начинаться с полного формального изложения теории целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Все знания, приобретенные в средней школе должны были при этом игнорироваться, так как в средней школе, они излагаются без достаточной строгости. С этой целью собственно курсу анализа приходилось предпосылать специальный курс "основ анализа", который Ландау и читал многократно, вопреки сомнениям своих коллег, для студентов первого семестра Геттингенского университета.

"Основы анализа" Ландау выходят в русском переводе одновременно с настоящей книгой, которая на них существенно опирается. Вместе они представляют замкнутый в себе курс элементов анализа, не предполагающий формально у читателя никаких предварительных знаний, кроме "способности логически мыслить".

Изложенные выше педагогические идеи Ландау являются не только спорными, но и определенно противоречат реальным условиям преподавания. Трудно было бы поэтому рекомендовать книги Ландау в качестве учебников для начинающих. Они имеют, однако большой интерес для преподавателей и для студентов, уже знакомых с элементами анализа и желающих глубже разобраться в их логических основах.

Незаменимая ценность книг Ландау состоит в том, что путем многолетних усилий ему удалось найти исключительно удобные и короткие пути логического построения анализа. Если бы до появления книг Ландау был задан вопрос, сколько страниц потребуется, чтобы, отправляясь от общих законов логики и аксиом натурального ряда чисел, добраться в совершенно строгом формальном изложении до всех основных фактов интегрального исчисления (включая даже ряды Фурье), то большинство авторитетных математиков ответило бы, что для выполнения этой программы потребуется несколько больших томов. Между тем две книги Ландау вместе даже тоньше многих менее строгих курсов, охватывающих приблизительно тот же запас фактов.

Ради того, чтобы подчеркнуть независимость своего изложения от геометрических наглядных представлений, Ландау не дает в своей книге чертежей и не пользуется геометрическим языком. Об этом можно пожалеть с той точки зрения, что из-за такого ограничения изложение многих вопросов становится чрезвычайно трудно доступным для понимания. Например, принадлежащее Ван дер Вардену построение нигде не дифференцируемой функции (теорема 100) в изложений Ландау занимает шесть страниц очень трудно читаемого текста, геометрическая же идея этого построения крайне проста. Действительное положение вещей было бы освещено с большей полнотой, если бы читателю было показано, что "геометрический язык" в изложении анализа может быть введен с полной логической строгостью. Из книги же Ландау читатель может вынести ошибочное представление, что употребление геометрических терминов неизбежно связано с потерей строгости изложения.

В заключение отметим, что "строгость" понимается Ландау лишь как сведение всей математики к общим законам логики, аксиомам натурального ряда и ряду предложений теории множеств. Сам Ландау предложения чистой теории множеств, употребляемые им без доказательств, относит, повидимому, к числу законов логики. Такая точка зрения не является общепринятой. Необходимые Ландау для построения анализа теоретико-множественные понятия не так элементарны и могут подлежать глубокому критическому анализу. Однако в указанных пределах Ландау решает поставленную перед собой задачу с большим мастерством.

Предисловие

После того, как я в течение 32 лет читал в различных университетах лекции по анализу; после того, как я в 1930 г. опубликовал терпимо, а частично даже благожелательно, встреченную критикой книжку "Основы анализа", в которой, следуя классическому пути, изложил без логических пробелов законы действий над целыми, рациональными, иррациональными и комплексными числами (т.е. "заимствуемые" еще из средней школы основы, на которых должно затем строиться дифференциальное и интегральное исчисление);

– я делаю теперь следующий шаг.

После столь продолжительной лекционной практики я чувствую себя, наконец, достаточно подготовленным к изданию моих лекций по дифференциальному и интегральному исчислению.

Этой теме посвящено много книг; тому, кто интересуется, главным образом, применениями и не желает знакомиться с построением понятий и теорем без логических пробелов, незачем брать мою книгу. Тому, кто хотел бы, чтобы ему было преподано большое число примеров, следует обратиться к сборнику задач; я даю всюду, как правило, по одному примеру на каждую подходящую для этого теорему, если только она и без этого не специализируется последующими применениями.

От геометрических применений я отказался. Не потому, что я – не геометр. С нужной здесь геометрией я знаком; однако необходимое для указанной цели изложение аксиом и элементов геометрии (хорошо известное мне и бывшее даже предметом с удовольствием читанных мною лекций) потребовало бы нового тома, который должен был бы предшествовать этому. Разумеется, в моих лекциях по дифференциальному и интегральному исчислению геометрические применения занимают большое место; но здесь я стремлюсь точно и полно предать гласности те методы, которые казались мне наиболее целесообразными в моем преподавании дифференциального и интегрального исчисления.

Вряд ли стоит особо отмечать, что из всех теорем этой книги ни одна не нова и не более чем половина одной единственной теоремы принадлежит мне. Моей (трудной) задачей было лишь выбрать из большого числа имеющихся фактов те, которые я считал бы наиболее заслуживающими сообщения учащемуся в начале его учебы, расположить их в наиболее целесообразном порядке и, прежде всего, выявить те, зачастую не высказываемые, определения и теоремы, которыми можно было бы воспользоваться, как цементом при возведении всего здания с требуемыми этажами в их требуемом расположении.

Знатоку, которому покажется чересчур оригинальным, что, например, в качестве второй теоремы после определения производной появляется теорема Вейерштрасса: "всюду непрерывная функция может быть нигде не дифференцируемой" – я возражу: существуют очень хорошие математики, не знающие и никогда не знавшие доказательства этой теоремы; но нисколько не повредит, а, наоборот, будет хорошим примером для усвоения понятия производной, если начинающий получит возможность уже по своему учебнику познакомиться с простейшим известным ныне доказательством указанной теоремы.

Я не следовал в точности какому-нибудь из читанных мною курсов лекций по дифференциальному и интегральному исчислению, а снова подверг материал этих лекций пересмотру и перестройке. Мне кажется, что я нашел целесообразный путь, на котором читатель сможет узнать все, что ему потребуется в течение дальнейшей его математической жизни из элементов дифференциального и интегрального исчисления (включая бесконечные ряды), чтобы затем изучить высшие отделы интегрального исчисления, применения дифференциального и интегрального исчисления и остальные части анализа по хорошим изложениям.

Гронинген, 9 февраля 1934 г.

Об авторе