Волобуев И.П., Кубышин Ю.А. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории поля Изд. 4, стереот.

Оглавление

Предисловие

"Чистая математика и физика становятся связанными все теснее, хотя их методы и остаются различными. Можно сказать, что математик играет в игру, в которой он сам изобретает правила, в то время как физик играет в игру, правила которой предлагает Природа, однако с течением времени становится все более очевидным, что правила, которые математик находит интересными, совпадают с теми, которые избрала Природа. Трудно предсказать, каков будет результат всего этого. Возможно, оба предмета в конце концов сольются, и каждая область чистой математики будет иметь физические приложения, причем их важность в физике станет пропорциональна их интересности в математике." Кажется, что это пророчество Дирака начинает сбываться, по крайней мере в том, что касается дифференциальной геометрии и калибровочных теорий поля.

Действительно, экспериментальное подтверждение единой теории электрослабых взаимодействий Вайнберга–Салама–Глэшоу, в особенности открытие промежуточных векторных бозонов, и успехи квантовой хромодинамики, по меньшей мере непротиворечиво описывающей сильные взаимодействия, дают серьезные основания полагать, что в основе теории взаимодействия элементарных частиц лежит фундаментальный физический принцип локальной калибровочной инвариантности. Основанная на этом принципе стандартная модель взаимодействий элементарных частиц, включающая в себя теорию электрослабых взаимодействий и квантовую хромодинамику, в настоящее время хорошо согласуется практически со всеми имеющимися экспериментальными данными, а последовательное его применение позволяет выйти за рамки этой модели и существенно продвинуться вперед в программе объединения всех видов взаимодействий в одно универсальное путем построения калибровочных теорий великого объединения.

Разработанный к настоящему времени аппарат квантовой теории поля, основанный на теории возмущений, в принципе, достаточен для расчета физических процессов, которые наблюдаются или будут наблюдаться в ближайшее время в экспериментах по физике высоких энергий. Однако хорошо известно, что калибровочные теории обладают многочисленными структурами, для изучения которых требуется выход за рамки теории возмущений. К ним относятся инстантонные и монопольные решения, сложная структура вакуума, топологические модели и модели Черна–Саймонса, – в общем, все те явления, где проявляется геометрическая и топологическая природа калибровочных теорий.

Как и следовало ожидать, изучение этой стороны калибровочных теорий потребовало применения нового аппарата, и оказалось, что необходимый математический аппарат уже был разработан или находился в стадии разработки. Основные части этого аппарата включают дифференциальную геометрию, в первую очередь теорию расслоенных пространств и теорию связностей, алгебраическую топологию, теории групп и алгебр Ли. Геометризация калибровочных теорий произошла вполне естественно и позволила, во-первых, более глубоко понять уже известные факты (как, например, неоднозначности Грибова), а во-вторых, обнаружить ряд совершенно новых свойств и явлений (структура вакуума, структура пространства модулей инстантонных решений, интерпретация теории Дональдсона–Флоера как топологической квантовой теории, инвариантные связности и т.д.).

Цель настоящей книги, во-первых, познакомить студентов, специализирующихся по теоретической физике, и специалистов, работающих в этой области, с основами математического аппарата дифференциальной геометрии и теории конечномерных алгебр Ли. По мнению многих преподавателей университетов, которое мы вполне разделяем, основные сведения из этих разделов математики уже давно должны были бы стать частью обязательных курсов по математическим методам современной теоретической физики. Так как на большинстве физических факультетов подобные курсы либо отсутствуют, либо ограничиваются, по-существу, изложением теории конечномерных групп Ли, при написании настоящей книги мы попытались частично восполнить этот пробел. Во-вторых, – и это имеет прямое отношение к основной теме книги – мы ставим целью дать введение в геометрическое описание калибровочных теорий на языке расслоений и связностей.

При отборе материала мы не стремились охватить все основные классические результаты дифференциальной геометрии. В настоящее время для этого имеются многочисленные монографии и учебные пособия, некоторые из которых написаны специально для физиков. Мы постарались очертить и ясно изложить тот минимум, который необходим для освоения геометрического подхода к описанию калибровочных теорий. Одновременно это тот минимум, который позволяет ориентироваться при чтении литературы по дифференциальной геометрии и теории алгебр Ли.

Структура книги следующая. Глава 1 носит вводный характер, в ней даются основные определения и понятия, возникающие в калибровочных моделях, а именно в электрослабой теории и в хромодинамике. Главы 2, 3 и 5 содержат математический материал. Главы 2 и 3 посвящены изложению основных сведений по дифференциальной геометрии, в главе 5 излагается корневая структура конечномерных алгебр Ли и теория диаграмм Дынкина для полупростых алгебр Ли. В остальные главах обсуждаются применения этого математического аппарата в ряде задач теории поля и гравитации. В главе 4 излагается геометрический подход к описанию калибровочных теорий. В главах 6 и 7 обсуждаются приложения такого подхода к решению задач размерной редукции калибровочных полей и спонтанной компактификации. Выбор этих приложений достаточно субъективен: авторы работали над этими проблемами в течение ряда лет. В то же время эти приложения, во-первых, позволяют продемонстрировать многочисленные преимущества и мощь геометрического подхода, а во-вторых, они, как и сама идея Калуцы и Клейна, сохраняют свою актуальность при построении моделей фундаментальных взаимодействий.

В предлагаемой книге мы попытались найти некий промежуточный, между математически строгим и принятым в физике, стиль изложения, при котором сложный материал преподносится в доступной форме и сразу же иллюстрируется примерами. При этом мы сохраняем строгость в определениях и формулировках теорем, но доказательства теорем приводятся лишь в том случае, когда они могут быть изложены в ясной и короткой форме без привлечения большого количества дополнительного материала или когда они действительно необходимы для понимания материала. В противном случае мы ограничиваемся пояснением идеи доказательства на характерных примерах или просто ссылками на книги, где приводятся соответствующие доказательства. Ряд достаточно простых промежуточных выкладок, опущенных в основном тексте книги, предлагается проделать в качестве задач и упражнений, помещенных в конце книги. Избранным стилем изложения объясняется и выбор физических приложений, о которых мы уже говорили выше. Они скорее носят характер иллюстрирующих примеров, а не являются последним словом применения математических методов в калибровочных теориях. Книга содержит также ряд приложений, делающих ее достаточно замкнутой. В них приводятся некоторые определения и краткие сведения, которые не относятся к дифференциальной геометрии и теории алгебр Ли, но используются в основном тексте.

В значительной своей части книга основана на курсе лекций для студентов IV курса, читавшегося авторами в течение двух лет на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ. Авторы благодарны всем слушателям этих лекций, вопросы которых способствовали улучшению изложения материала. Мы также благодарны Герду Рудольфу и Жузе Моурао, нашим друзьям и соавторам многих наших статей, за многочисленные деловые и приятные обсуждения вопросов, нашедших отражение в книге. Мы благодарны руководству Отдела теоретической физики высоких энергий НИИ ядерной физики МГУ за проявленное внимание и поддержку при работе над книгой и ее издании. Один из нас (Ю. К.) хотел бы выразить благодарность своей семье за то понимание, терпение и моральную поддержку, которыми сопровождалась его долгая работа над этой книгой. Наконец, мы благодарим Российский фонд фундаментальных исследований (грант 97–02–30032) за решающую финансовую поддержку при издании книги, без которой она не могла бы увидеть свет.

Об авторах

Волобуев Игорь Павлович

Доктор физико-математических наук. В 1967 г. поступил на физический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, который с отличием окончил в 1973 г. (кафедра квантовой статистики). По окончании в 1976 г. аспирантуры физического факультета МГУ был принят на работу в Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д. В. Скобельцына МГУ, где работает в настоящее время ведущим научным сотрудником Отдела теоретической физики высоких энергий. Кандидат физико-математических наук с 1977 г., доктор наук — с 1995 г.

Областью научных интересов И. П. Волобуева являются теории взаимодействий элементарных частиц в пространстве-времени с дополнительными измерениями. Он автор более 90 научных работ, в том числе двух монографий. В течение ряда лет читал спецкурсы "Теории взаимодействий элементарных частиц за рамками Стандартной модели" и "Теория групп в физике элементарных частиц и атомного ядра" для студентов 4-го и 5-го курсов физического факультета МГУ.

Koubychine Youri

Доктор физико-математических наук. Выпускник физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Там же защитил в 1983 г. кандидатскую, а в 2000 г. докторскую диссертации. Более 30 лет являлся сотрудником Научно-исследовательского института ядерной физики имени Д. В. Скобельцына МГУ, занимаясь исследованиями в области теории элементарных частиц. С 2001 г. его научная деятельность связана с Техническим университетом Каталонии: сначала как профессора математики, а затем как профессора ядерной физики и ускорителей частиц Института энергетических технологий того же университета, директором которого он является в настоящее время. В качестве приглашенного профессора работал в университете Барселоны в 1992–1995 гг., в Автономном университете Мадрида в 1995–1996 гг., в университете Алгарве (Португалия) в 1997–1999 гг. и в университете Саутгемптона (Англия) в 2000–2001 гг.

Основные области исследований Ю. А. Кубышина включают теоретическую физику элементарных частиц, а в последнее десятилетие и физику ускорителей. Он участвовал в создании и преподавании университетских курсов по дифференциальной геометрии и алгебрам Ли и квантовой теории поля в МГУ и физике ускорителей в Техническом университете Каталонии. В настоящее время является руководителем проекта по созданию компактного разрезного микротрона для медицинских приложений. Автор более 110 статей в журналах и трудах конференций по математической физике, квантовой теории поля, теоретической физике высоких энергий и космологии, физике и технологии ускорителей. Соавтор монографии "Dimensional reduction of gauge theories, spontaneous compactification and model building" (Springer-Verlag, 1989) и ряда учебных пособий.