Предисловие к серии |
Предисловие к третьему изданию |
Предисловие ко второму изданию |
Предисловие к первому изданию |
Глава 1. | Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве |
| § 1. Одновалентные тензоры |
| § 2. Понятие о двухвалентном тензоре |
| § 3. Двухвалентный тензор как аффинор |
| § 4. Многовалентные тензоры. Тензорная алгебра |
| § 5. Кососимметрические тензоры |
| § 6. Получение инвариантов с помощью кососимметрических тензоров |
| § 7. Симметрический аффинор |
| § 8. Разложение аффинора на симметрическую и кососимметрическую части |
| § 9. Тензорные поля |
| § 10. Дифференцирование тензора поля |
| § 11. Дифференцирование одновалентного тензора |
| § 12. Кинематическое истолкование векторного поля и его производного аффинора |
| § 13. Малая деформация твердого тела |
| § 14. Тензор напряжений |
| § 15. Зависимость тензора напряжений от тензора деформаций |
| § 16. Поток векторного поля через поверхность |
| § 17. Поток аффинорного поля через поверхность |
| § 18. Теорема Остроградского |
| § 19. Основные уравнения гидродинамики |
| § 20. Дифференциальные уравнения теории упругости в перемещениях |
Глава 2. | Аффинное пространство n измерений |
| § 21. Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства |
| § 22. Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства (окончание) |
| § 23. Аффинная координатная система |
| § 24. Преобразование аффинного репера |
| § 25. Задача тензорного исчисления |
| § 26. Понятие о ковариантном тензоре |
| § 27. Общее понятие о тензоре |
| § 28. Сложение тензоров |
| § 29. Умножение тензоров |
| § 30. Свертывание тензора |
| § 31. Операция подстановки индексов |
| § 32. Степень произвола в выборе тензора данного строения |
| § 33. Об m-мерных плоскостях в n-мерном аффинном пространстве |
| § 34. Бивектор и задание двумерной плоскости |
| § 35. Основные свойства m-векторов |
| § 36. Ориентация в n-мерном аффинном пространстве |
| § 37. Измерение объемов |
| § 38. Тензорные поля |
Глава 3. | Евклидово пространство n измерений |
| § 39. Понятие о евклидовом пространстве |
| § 40. Тензорная алгебра в евклидовом пространстве |
| § 41. Плоскости в n-мерном евклидовом пространстве |
| § 42. Ортонормированный репер |
| § 43. Собственно евклидовы пространства |
| § 44. Двумерное псевдоевклидово пространство |
| § 45. Вращение ортонормированного репера в псевдоевклидовой плоскости |
| § 46. Измерение площадей и углов на псевдоевклидовой плоскости |
| § 47. Трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1 |
| § 48. n-мерное псевдоевклидово пространство индекса 1 |
| § 49. Ортогональные преобразования |
| § 50. Псевдоортогональные преобразования |
| § 51*. Квазиаффинная и аффинная группы преобразований |
| § 52*. Группа квазидвижений и группа движений в евклидовом пространстве |
| § 53*. Вложение вещественных евклидовых пространств в комплексное евклидово пространство |
| § 54. Измерение объемов в вещественном евклидовом пространстве |
| § 55*. Понятие о геометрическом объекте |
| § 56*. Линейные геометрические объекты в аффинном и евклидовом пространствах |
| § 57*. Спинорное пространство |
| § 58*.Спиноры в четырехмерном комплексном евклидовом пространстве R+4 |
| § 59*. Спиноры в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1 |
| § 60*.Спинорное поле и инвариантная дифференциальная операция Dlambda mu |
Глава 4. | Математические основы специальной теории относительности |
| § 61. Постановка задачи |
| § 62. Пространство событий |
| § 63. Формулы Лоренца |
| § 64. Исследование формул Лоренца |
| § 65. Кривые в вещественном евклидовом пространстве |
| § 66. Кинематика теории относительности в геометрическом истолковании |
| § 67. Динамика точки |
| § 68. Плотность масс, плотность заряда, вектор плотности тока |
| § 69. Электромагнитное поле |
| § 70. Уравнения Максвелла |
| § 71. Тензор энергии-импульса |
| § 72. Закон сохранения энергии и импульса |
| § 73. Дивергенция тензора энергии-импульса электромагнитного поля |
| § 74*. Волновое уравнение Дирака для свободного электрона |
Указатель обозначений |
Предметный указатель |
Предисловие к серии |
Предисловие к третьему изданию |
Предисловие ко второму изданию |
Предисловие к первому изданию |
Глава 1. | Криволинейные координаты в аффинном и евклидовом пространствах |
| § 1. Криволинейные координаты в аффинном пространстве |
| § 2. Тензоры в криволинейных координатах |
| § 3. Параллельное перенесение |
| § 4. Объект связности |
| § 5. Криволинейные координаты в евклидовом пространстве |
Глава 2. | Многообразия |
| § 6. Элементарное многообразие |
| § 7. Тензоры в многообразии |
| § 8. Касательное аффинное пространство |
| § 9. Поверхности в многообразии |
| § 10. Понятие о многообразии |
Глава 3. | Римановы пространства и пространства аффинной связности |
| § 11. Риманово пространство |
| § 12. Евклидово пространство Rn как частный случай риманова |
| § 13. Неевклидовы пространства |
| § 14. Измерение объемов в римановом пространстве Vn |
| § 15. Пространство аффинной связности |
| § 16. Геодезические линии в Ln |
| § 17.Геодезические координаты в пространствах аффинной связности без кручения Ln |
| § 18 Изображение кривой в Ln в виде кривой в An |
| § 19. Пространства Ln с абсолютным параллелизмом |
| § 20. Аффинная связность в римановом пространстве |
Глава 4. | Аппарат абсолютного дифференцирования |
| § 21. Параллельное перенесение тензоров в Ln |
| § 22. Абсолютный дифференциал и абсолютная производная |
| § 23. Техника абсолютного дифференцирования |
| § 24. Абсолютное дифференцирование в римановом пространстве Vn |
| § 25. Кривые в римановом пространстве Vn |
| § 26. Кривые в римановом пространстве (окончание) |
| § 27. Геодезические линии в римановом пространстве |
| § 28. Геодезически параллельные гиперповерхности |
| § 29. Полугеодезические координатные системы |
| § 30. Динамика системы в обычном пространстве как динамика точки в римановом пространстве |
Глава 5. | Тензор кривизны |
| § 31. Тензор кривизны в Ln |
| § 32. Геометрический смысл тензора кривизны |
| § 33. Геометрический смысл тензора кривизны (окончание) |
| § 34.Тензор кривизны в Ln |
| § 35. Проективно евклидовы пространства |
| § 36. Тензор кривизны в римановом пространстве Vn |
| § 37. Кривизна риманова пространства в данной точке и данном двумерном направлении |
| § 38. Тензор кривизны в случае двумерного риманова пространства V2 |
| § 39. Римановы координаты |
| § 40. Кривизна риманова пространства в данной точке и данном двумерном направлении как кривизна геодезической поверхности |
| § 41. Смешанные тензоры на гиперповерхности Vn-1 в Vn |
| § 42. Теория гиперповерхностей Vn-1 в Vn |
| § 43. Теория гиперповерхностей Vn-1 в Rn |
| § 44. Пространство постоянной кривизны |
| § 45.Пространство постоянной кривизны Vn-1 как гиперсфера в Rn |
| § 46. Проективно евклидовы пространства в метрическом случае |
| § 47. Конформное соответствие римановых пространств |
| § 48. Конформно евклидовы пространства |
Глава 6. | Математические основы общей теории относительности |
| § 49. Пространство событий в общей теории относительности |
| § 50. Локально галилеевы координаты |
| § 51. Тензор энергии-импульса в общей теории относительности |
| § 52. Движение частицы в поле тяготения |
| § 53. Основная идея общей теории относительности |
| § 54. Приближенная теория |
| § 55. Центрально симметрическое поле тяготения |
| § 56. Центрально симметрическое поле тяготения (окончание) |
| § 57. Геодезические линии в случае центрального симметрического поля тяготения |
| § 58. Вращение планетных орбит |
| § 59. Искривление световых лучей в поле тяготения |
| § 60. Красное смещение спектральных линий. Заключение |
Указатель обозначений |
Предметный указатель |
По своему характеру эта книга гораздо ближе к учебнику, чем к монографии,
предназначенной для специалистов. Это сказывается прежде всего в выборе
материала: автор стремился дать лишь действительно основное и важнейшее
в рассматриваемой области, но зато в развернутом изложении со всесторонним
освещением предмета.
По характеру изложения книга должна быть вполне доступна студенту III курса
университета.
Другой характерной чертой книги являются выходы из области тензорного анализа
и римановой геометрии в механику и физику; эти выходы автор старался указывать
везде, где это было возможно. Как известно, наиболее замечательные приложения
тензорный анализ и риманова геометрия имеют в области теории относительности;
ей посвящены глава 4 данной книги и глава 6 второй книги.
Особую роль играет глава 1; она носит как бы пропедевтический
характер и развивает тензорные методы с их приложениями к механике и физике
в простейшем (даже тривиальном) случае обычного пространства в прямоугольных
декартовых координатах. Эта глава по уровню изложения должна быть доступна
инженеру и студенту втуза, которые пожелали бы познакомиться с элементами
тензорного анализа в минимальном объеме, необходимом для технических
приложений.
Для читателя, знакомого с моей прежней книгой "Введение в риманову геометрию
и тензорный анализ", замечу, что по сравнению с ней излагаемый материал сильно
увеличился. В настоящее время нельзя пройти мимо псевдоевклидовых
и псевдоримановых пространств (кстати, необходимых для теории относительности)
и пространств аффинной связности. Эти вопросы нашли место в книге. На ряде
примеров даны также основные идеи теории геометрических объектов, в том числе
теория спиноров в четырехмерном пространстве. Изложение дополнено также рядом
частных вопросов, но зато фундаментального значения (как, например, теория
кривых и гиперповерхностей в римановом пространстве и др.).
Имея в виду значительный объем книги, автор отметил ряд параграфов звездочками,
что означает возможность пропустить их без ущерба для понимания дальнейшего.
Некоторые указания в этом направлении сделаны и в тексте. При всем том чисто
факультативного материала книга не содержит, и почти все в ней изложенное в том
или ином отношении имеет в рассматриваемой области важное значение.
В заключение мне хотелось бы выразить благодарность редактору книги
А.Ф.Лапко за его внимательное отношение к тексту и сделанные им замечания.
Выдающийся советский математик-геометр. Доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Окончил МГУ. Воспитанник школы В. Ф. Кагана. Преподавал в Московском энергетическом институте
и в Московском педагогическом институте. До конца жизни заведовал кафедрой дифференциальной геометрии механико-математического факультета МГУ.
П. К. Рашевский - автор многих фундаментальных работ по различным разделам геометрии: римановой, аффинной, дифференциальной, по созданной им полиметрической геометрии, аксиоматике проективной геометрии однородных пространств, связанной с группами Ли, и другим. Им были написаны учебники
и монографии в области геометрии и математической физики: "Риманова геометрия и тензорный анализ" (М.: URSS), "Курс дифференциальной геометрии" (М.: URSS), "Геометрическая теория уравнений с частными производными" (М.: URSS), "Теория спиноров" (М.: URSS). Первые две книги переведены на испанский язык. Ученики П. К. Рашевского, входившие
в созданную им школу, развивали также теорию однородных пространств, методы вариационного исчисления.