|
Содержание
Предисловие редактора русского издания
Очертить круг читателей, которых наша книга заинтересует и кому она принесет пользу, не легко. Поскольку это сборник задач – а задачи надо решать, – читатель, несомненно, должен быть любителем математики, притом любителем активным, которому размышление над трудной задачей доставляет удовольствие. Подобным энтузиастам эта книга даст обильную и достаточно разнообразную пищу, возможно, даже слишком разнообразную и не всегда легко усвояемую. В наш просвещенный век любителей математики гораздо больше, чем одних профессионалов, однако наверняка далеко не все из них принадлежат к числу активных. Таким образом, интересующий нас круг читателей, простираясь широко, перестает быть отчетливо очерченным и, возможно, изобилует лакунами. По сравнению с уже вышедшими в серии "Задачи и олимпиады" книгами сборник "Избранные задачи" более труден и рассчитан на весьма подготовленного читателя. Совсем элементарных задач "ни про что", не требующих никаких или почти никаких специальных познаний в математике, здесь сравнительно мало, процентов 10–15. С другой стороны, большая часть задач все же не выходит за рамки стандартных курсов высшей математики втузов и пединститутов и для студентов 1–2 курсов вполне может служить нестандартным дополнением к традиционным задачникам, а окончившим эти вузы настоящий сборник поможет вспомнить забытое и узнать кое-что новое. Этой категории читателей может также принести пользу разбор решений и небольшой теоретический комментарий, приведенный в конце книги. Поэтому я не сомневаюсь, что среди активных читателей будут не только те, кто избрал математику своей профессией или кто дружит с ней сегодня, но и те, для кого общение с ней было приятным эпизодом в прошлом и кто хотел бы освежить в памяти свое знакомство с "царицей наук". Успеху "Избранных задач", как мне кажется, благоприятствует еще одно обстоятельство. Уже состоялись две Всесоюзные студенческие олимпиады по математике и предстоит третья. Если школьные математические олимпиады разных уровней давно популярны и неплохо обеспечены литературой, то со студенческими олимпиадами дело обстоит далеко не так. С этой точки зрения "Избранные задачи" выходят весьма своевременно. Как сами задачи, так и в еще большей степени содержащиеся в них идеи могут дать богатый материал и для тренировки "олимпийцев", и для деятельности оргкомитетов, обычно испытывающих нужду в подобном материале. Как создавались "Избранные задачи" Профессор Отто Данкел (1869–1951), памяти которого посвящен сборник, в течение двадцати восьми лет, с 1919 по 1946 г., был одним из редакторов отдела задач в журнале "American Mathematical Monthly", а с 1934 г. возглавлял этот отдел. Его неутомимая энергия, добросовестность и внимание к мелочам издательской деятельности во многом определили весь стиль отдела задач, который с самого начала издания журнала и по сей день занимает там значительное место. После смерти О.Данкела руководство Американской математической ассоциации, официальным органом которой является "American Mathematical Monthly", приняло решение издать мемориальный сборник, отобрав для него 400 лучших задач из числа нескольких тысяч, опубликованных в журнале за период 1918–1950 гг. Разумеется, Понятие "лучшая задача" является очень субъективным и решить проблему выбора было нелегко. Издатели нашли следующий выход. Они предложили ряду математиков (всего их было 24) – активным сотрудникам и корреспондентам журнала, авторам многих задач и решений – представить списки задач, которые те считают лучшими. После этого окончательный отбор был произведен в соответствии с числом голосов, полученных той или иной задачей. Сборник "The Otto Dunkel Memorial Problem Book" появился в виде дополнительного выпуска журнала (American Mathematical Monthly, 64, N7, Part II, 1957). Он содержит краткую биографию О.Данкела, очерк истории отдела задач журнала за 1894–1954 гг., условия 400 лучших задач, предметный указатель к задачам, опубликованным в журнале с 1918 по 1952 г., и указатель дат публикаций решений. Настоящее издание "Избранных задач" из журнала "American Mathematical Monthly" не является переводом в буквальном смысле слова, поскольку для него не существует оригинала. Указанный выше мемориальный сборник послужил лишь прототипом, на основе которого была создана новая книга, входящая в серию "Задачи и олимпиады" и имеющая ту же композицию, что и две ее предшественницы. По традиции условия задач составляют в ней первую часть. Далее переводчик книги Ю.А.Данилов собрал из различных выпусков журнала решения большинства задач, которые составили вторую часть книги. Поскольку задачи и их решения публиковались в течение нескольких десятилетий, собрать их было делом не легким. Дополнительные трудности вызывало отсутствие единства стиля, обусловленное как пестротой содержания, так и сменой поколений математиков. Поэтому условия задач (хотя и в небольшой степени) и особенно решения являются в этой книге не столько переводом американских оригиналов, сколько достаточно свободным их переложением. В условиях задач иногда приходилось менять реалии, иногда же текст редактировался и уточнялся, если того требовало решение. Я прочитал все собранные решения задач и попытался взглянуть на них глазами современного читателя, этакого "среднего любителя" решать задачи, получившего стандартное математическое образование. Некоторые решения, оказавшиеся неудовлетворительными или мало понятными просто потому, что "хорошо известное" и "очевидное" математику 20-х годов не обязано быть таковым в 70-х, мною были переделаны или написаны заново. (В этих случаях после номера задачи стоит знак *.) При этом всюду, где можно, я старался сохранить идею и общий план оригинального рассуждения. Ряд задач оставлен без решения либо потому, что я не располагаю таковым (например, задачи 138 и 139), либо потому, что известное мне строгое решение (например, для задачи 260) не является достаточно простым для понимания и изложения, В нескольких случаях (задачи 150, 277 и все задачи на разрезание) приведено неполное решение (отсутствует доказательство минимальности), и тем самым читателю предоставляется возможность улучшить книгу. Все подобные места отмечены подстрочными примечаниями. Встречающиеся в некоторых задачах ссылки на литературу мы, как правило, оставляли и по возможности указывали издания, более доступные советскому читателю. Наконец, в тех случаях, когда мне казалось, что "средний любитель" математики может оказаться в затруднении и ему понадобится справка, относящаяся к какому-либо мало популярному ныне разделу математики, я дополнял решение сведениями из теории или небольшим комментарием. В совокупности это составило третью часть книги. Как правило, здесь изложены лишь факты, а доказательства если и приводятся, то самые краткие. Активный читатель, зная формулировки, может, попытаться найти доказательства самостоятельно, и, следовательно, он получает еще некоторое число задач сверх четырехсот. Конечно, содержание третьей части весьма субъективно, и, возможно, какие-то места книги останутся для читателя не вполне ясными, а какие-то покажутся слишком разжеванными. Не исключая подобной возможности, я все же надеюсь, что большинство читателей найдет задачи и их решения вполне удовлетворительными. Не торопитесь решать задачи, начиная с первой! История создания этого сборника объясняет пестроту его содержания. К тому же мы сохранили порядок задач оригинала, приблизительно хронологический, а не тематический. Поэтому прежде всего я рекомендую читателю просмотреть хотя бы бегло, но от начала до конца весь раздел "Условия задач". Предметный указатель также может помочь отобрать те задачи, которые вам по вкусу. Среди задач сборника есть более и менее удачные, совсем легкие и довольно трудные. Некоторые задачи (например, 167, 209, 289) мне так понравились, что я усиленно рекламировал их своим друзьям и знакомым. Значительное место в сборнике занимают задачи по математическому анализу и алгебре, которые можно от* нести также к задачам по курсу высшей математики втуза (определители, вычисление интегралов, простейшие дифференциальные уравнения, ряды). Впрочем, иногда для решения этих задач совсем неожиданно приходится прибегать к помощи других разделов математики. Например, в задаче 256 пришлось воспользоваться теорией разложения целых чисел в сумму двух квадратов. Не менее значительное место занимает теория чисел (делимость, диофантовы уравнения и пр.). Мне лично доставило большое удовольствие разобраться в задаче 209 о целочисленных точках на сфере. Богато представлена в сборнике почти вышедшая ныне из моды синтетическая проективная геометрия. Например, задача 167 о прямых, касающихся одной параболы, может быть рекомендована любителям изящных задач. Наконец, и любители развлекательных задач, несомненно, найдут для себя кое-что интересное (задача 312 о служащих банка, прекрасная задача 277 про беспосадочный перелет, неизменно вызывающая улыбку задача 303 о "черной пятнице" и др.). В оригинальном сборнике, кроме указания имени автора задачи, что мы сохранили в переводе, дается еще и ее номер в оригинале; более элементарные задачи нумеруются отдельно, и перед номером у них ставится буква Е (в нашем сборнике задачи 301–400 относятся к числу элементарных). Эти сведения мы опустили; заинтересованный читатель может обратиться к оригиналу. Пользуясь номером и указателем дат публикации решений, он при желании сможет разыскать оригиналы условий задач и решений. Некоторый интерес, впрочем, представляет суммарная хронология (приведенные ниже даты относятся к публикациям решений задач, номера – к настоящему изданию): 1918–1920: 2–5 1921–1925: 7–17, 19–23, 26–27, 29–30, 32, 33 1926–1930: 1, 6, 18, 24, 25, 28, 31, 34–35, 37–54, 56 1931–1935: 36, 55, 57–82, 84–92, 301–307 1936–1940: 93–108, 110–142, 144–146, 308–328 1941–1945: 147–159, 161–184, 186–194, 329–351 1946–1950: 83, 109, 143, 160, 185,195–260,262–265,267, 325–391 1951–1953: 261, 266, 269–300, 392–400 В решениях задач знак *, помещенный в тексте, означает рекомендацию обратиться к части III, к тому ее пункту, который снабжен указанием на номер комментируемой задачи. Ссылки на другие пункты части III даются так: см. III. 17. Мне остается выразить благодарность всем, чьи усилия способствовали появлению этой книги и ее совершенствованию. Читателям же (надеюсь, многочисленным!) я пожелаю успеха в решении задач и удовольствия от занятия математикой. В.М.Алексеев |
|||||||||||||||||||||||||