URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Осташков В.Н. Диалоги о фракталах: От Кантора до Мандельброта Обложка Осташков В.Н. Диалоги о фракталах: От Кантора до Мандельброта
Id: 224236
799 р.

Диалоги о фракталах:
От Кантора до Мандельброта. Изд. 3, испр.

URSS. 2024. 312 с. ISBN 978-5-9710-4293-8.
Типографская бумага

Аннотация

Настоящую книгу в какой-то мере можно отнести к блестящему, хотя и своеобразному, образцу жанра «фэнтези». Три персонажа — вдумчивый Макс, креативный Ник и зеленоглазая Эсмеральда — не без иронии обсуждают глубокие идеи фрактальной геометрии, знакомя читателя с математическими джунглями, состоящими из самоподобных растений чарующей красоты. Изложение материала в форме беседы позволяет автору сказать просто о сложном, популярно... (Подробнее)


Фракталы (фрагменты из книги)
top
dopdopdop
Оглавление
top
От редакции5
Предисловие8
Глава 9 (сентябрь). Знакомство с фракталами10
А. Подобие10
Б. Итерации13
В. Принцип вариативности16
Г. Резюме — кладь в уме28
Д. Задачи28
Глава 10 (октябрь). Множество Кантора50
А. Система итерированных функций50
Б. Метрика Хаусдорфа58
В. Дисконтинуум61
Г. Размерность70
Д. Обсуждение78
Е. Примеры степенных законов80
Ж. Задачи81
Глава 11 (ноябрь). Чистое касание87
А. Алгоритмы построения аттракторов87
Б. Идея «Шахматы»94
В. Фракталы чистого касания98
Г. Задачи119
Глава 12 (декабрь). Вложенные подобные множества140
А. Идея «Удаление»140
Б. Квадратный генератор147
В. Шахматная доска154
Г. Задачи173
Глава 1 (январь). Толстые фракталы182
А. Драконы182
Б. Граница толстого фрактала184
В. Задачи187
Глава 2 (февраль). Аффинные фракталы193
А. Аффинные преобразования193
Б. Построение аффинных фракталов199
В. Функция Ван дер Вардена202
Г. Задачи206
Глава 3 (март). Проективные фракталы209
А. Коллинеации209
Б. Построение проективных фракталов219
В. Гексакоралл223
Г. Задачи225
Глава 4 (апрель). Квадратичные отображения236
А. Озеро Мандельброта236
Б. Квадратичные кремоновы преобразования242
В. Свойства квадратичных преобразований255
Г. Три совпавшие фундаментальные точки259
Д. Задачи267
Глава 5 (май). Мультифракталы290
А. Геометрия морозобойного растрескивания290
Б. Размерности Реньи297
В. Преобразование Лежандра299
Г. Задачи300
Эпилог303
Список литературы306

Предисловие
top

Фракталы неприложимы ко всему

подряд, но они вездесущи, поскольку

неровности присутствуют всюду.

Б. Мандельброт

Я научился вычислять пустоты…

Пустоты есть везде… Я знаю, как

управлять Вселенной. И скажите,

зачем же мне бежать за миллионом?!

Г. Перельман

В этих диалогах изучаются модельные фракталы, которые обыкновенно используются инженерами при исследовании природных и технических систем. Книга основана на материалах научного семинара, который проводился еженедельно с 2000 года в Тюменском государственном нефтегазовом университете. Я благодарен участникам семинара за горячие обсуждения идей и методов фрактальной геометрии, и, прежде всего, доктору физико-математических наук Ю. В. Пахарукову, вдохновившему меня на изучение фрактальной геометрии и особенно ее приложений, а также доктору геолого-минералогических наук Р. М. Бембелю, кандидату геолого-минералогических наук А. В. Мальшакову.

Книга обладает рядом особенностей. Во-первых, изложение ведется в форме беседы трех персонажей, что, по мнению автора, позволяет сказать просто о сложном, популярно о научном, ясно о туманном. Во-вторых, весь материал разбит на девять глав: с главы 9 (сентябрь) по главу 5 (май) (поскольку учебный год начинается с сентября). В-третьих, текст сопровождается изображением многочисленных (и, как правило, оригинальных) фракталов.

Бесчисленные приложения фракталов обсуждаются в фундаментальной книге [23], а также в [2–5, 10, 15, 17, 25–27, 34, 35] и др. Широкий класс модельных фракталов порождает система итерированных функций, сущность которой заключается в бесконечном повторении преобразований определенного класса. В большинстве изданий, включая интернет-ресурсы, разнообразие видов этих преобразований ограничивается линейными преобразованиями соответствующих пространств: подобиями, аффинными преобразованиями, изредка коллинеациями. В данной книге подробно рассматриваются фракталы, являющиеся аттракторами системы итерированных коллинеаций, а главное, аттракторы квадратичных кремоновых преобразований проективной плоскости с изложением теории.

В [11] рассмотрены фигуры, инвариантные относительно инверсий. Диковинное квадратичное преобразование (с тремя совпавшими фундаментальными точками) используется в [30] для построения аттрактора Хенона. Изучение квадратичных преобразований плоскости сопряжено с трудностями, которые обусловлены наличием шести проективных инвариантов (модулей); слабым утешением здесь является понимание того, что шестимерное многообразие модулей рационально [16].

Как сказал Г. Вейль, мир не есть хаос, он есть космос, гармонически упорядоченный посредством нерушимых законов математики. Трудно не согласиться с мнением В. С. Секованова [24, с. 89] о том, что красота фракталов не позволяет нам остаться равнодушными к исследуемой теме. В предисловии к книге Джона Милнора [14] говорится: «Наглядность получаемых изображений ни в коей мере не заменит красоту и строгость соответствующей им математической теории, имеющей богатую и драматическую историю».

Выражаю благодарность д-ру техн. наук В. С. Ивановой, д-ру физ.-мат. наук Г. В. Встовскому, д-ру физ.-мат. наук А. А. Потапову, д-ру пед. наук В. С. Секованову, д-ру пед. наук Е. И. Смирнову, д-ру техн. наук А. А. Шанявскому за обсуждения проблем фрактальной геометрии, а также д-ру пед. наук В. В. Афа-насьеву, д-ру физ.-мат. наук А. С. Тихомирову, д-ру пед. наук А. В. Ястребову, многолетнее общение с которыми сказалось самым благотворным образом на написании этой книги.

Огромное влияние на формирование моей геометрической интуиции оказал мой учитель д-р физ.-мат. наук Залман Алтерович Скопец, исключительно тонко понимавший и глубоко чтивший квадратичные преобразования плоскости. Особую признательность выражаю д-ру физ.-мат. наук Максу Айзиковичу Акивису, существенно повлиявшему на мое геометрическое будущее. Большое спасибо канд. физ.-мат. наук А. Г. Липчинскому, некогда рискнувшему выписать мне, тогда еще студенту, путевку в науку. Спасибо моему брату Николаю за экскурсии по аллеям теории механизмов и машин, а также Ирине Леонтьевой за сюжетные идеи для книги.


Об авторе
top
photoОсташков Владимир Николаевич
Кандидат физико-математических наук, автор 95 научных и научно-методических работ по математике, фрактальной геометрии, дидактике математики, в том числе 12 монографий и учебных пособий. Представитель ярославской школы многомерной проективной геометрии (научный руководитель — профессор З. А. Скопец); в кандидатской диссертации «Геометрия многообразия корреляций проективной плоскости» решил проблему классификации квадратичных кремоновых преобразований проективной плоскости (в терминах восьмимерной геометрии).