Введение |
1 | Пространства |
| § 1. Топологические векторные пространства |
| § 2. Сопряженные пространства |
| § 3. Пространства линейных отображений |
| § 4. Гильбертовы пространства |
| § 5. Операторы в гильбертовых пространствах |
| § 6. Счетно-гильбертовы и ядерные пространства |
| § 7. Дополнение. Кэлеровы многообразия |
2 | Алгебры и их представления |
| § 1. Инволютивные алгебры |
| § 2. Представления инволютивных алгебр |
| § 3. Гильбертовы интегралы представлений |
| § 4. Конструкция ГНС |
| § 5. Следы |
| § 6. Гильбертовы интегралы состояний |
| § 7. Дополнение. Функциональное представление C*-алгебр |
3 | Симметрии квантовых систем |
| § 1. Морфизмы и йордановы морфизмы |
| § 2. Дифференцирования |
| § 3. Модулярная группа |
| § 4. Инвариантные состояния |
| § 5. Группы и C*-алгебры |
| § 6. Дополнение. Группоиды и C*-алгебры |
4 | Квантовомеханические системы |
| § 1. Универсальные обертывающие алгебры |
| § 2. Конечно порожденные C*-алгебры |
| § 3. Когерентные состояния |
| § 4. Квантование по Березину |
| § 5. Геометрическое квантование |
| § 6. Канонические коммутационные соотношения |
| § 7. Протяженные системы |
| § 8. Канонические антикоммутационные соотношения |
| § 9. Квантовые группы |
| § 10. Деформационное квантование |
5 | Алгебраическая квантовая теория поля |
| § 1. Алгебры неограниченных операторов |
| § 2. Алгебры свободных полей |
| § 3. Производящие функционалы |
6 | Дополнения |
| § 1. Квантовая теория при конечной температуре |
| § 2. Системы со многими вакуумами |
Приложение А. Меры |
| | 1. | Меры на локально компактных пространствах |
| | 2. | Меры на отделимых пространствах |
| | 3. | Меры Хаара на топологических группах |
| | 4. | Меры на бесконечномерных векторных пространствах |
| | 5. | Интегралы со значениями в векторных пространствах |
| | 6. | Борелевские меры |
| | 7. | Барицентрические разложения |
Приложение Б. Преобразования Лапласа |
| | 1. | Обобщенные функции |
| | 2. | Преобразование Фурье--Лапласа |
| | 3. | Функции Уайтмана и Швингера |
| | 4. | Виковский поворот |
Литература |
Предметный указатель |
Алгебраический подход в квантовой теории основывается на предположении,
что квантовая система характеризуется некоторой топологической
инволютивной алгеброй A и непрерывной положительной линейной формы на A, значения которой
интерпретируются как средние значения наблюдаемых квантовой системы.
При этом действие алгебры A на себя левыми умножениями выглядит под знаком
формы f как ее представление в некотором гильбертовом пространстве.
Это составляет содержание так называемой конструкции
Гельфанда--Наймарка--Сигала (конструкции
ГНС). В квантовой механике алгебры, как
правило, нормированные, выполняемые ограниченными операторами в
гильбертовых пространствах. В алгебраической квантовой теории поля
алгебры квантовых полей не нормированы.
В рамках алгебраического подхода были
получены глубокие результаты, но провести, как надеялись,
аксиоматическое построение квантовой теории в целом не удалось. Одна из
причин неудачи заложена в исходном постулате алгебраического подхода.
Вышеупомянутая форма f на алгебре наблюдаемых с точностью до
постоянного множителя определяется своим ядром f--1(0). Таким образом,
задание средних значений -- это задание аннулятора на алгебре
квантовой системы.
Следовательно сама эта алгебра по средним значениям реконструируется не
полностью и остается, вообще говоря, неизвестной.
По алгебраической квантовой теории существует обширнейшая литература.
Эта теория
имеет много аспектов, которые ни по методам, ни по кругу
решаемых задач
не выстраиваются в какую-либо единую логическую схему. Суммировать их все
в рамках одной монографии невозможно. Поэтому в данной
книге затронуты
в основном те стороны алгебраической квантовой теории, которые так или
иначе имеют выход в квантовую теорию поля.
Сарданашвили Геннадий Александрович
Советский и российский физик-теоретик, доктор физико-математических наук. На протяжении многих лет работал на кафедре теоретической физики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (последняя должность — ведущий научный сотрудник). Область научных исследований: геометрические методы теории поля, классической и квантовой механики; теория калибровочных полей; теория гравитации. Автор более 350 научных работ, в том числе 25 книг.