Диофант Александрийский. Арифметика.
О многоугольных числах. Пер. с греч. Изд. стереотип.

Содержание

Предисловие

Диофант был последним великим математиком античности. Вместе с тем он был одним из первых создателей новой алгебры, основывающейся не на геометрии (как это было у Евклида, Архимеда и Аполлония), а на арифметике. Именно Диофант ввел отрицательные числа и пользовался буквенной символикой. Можно утверждать, что его произведения оказали столь же определяющее влияние на формирование буквенной алгебры, как и творчество Архимеда на создание дифференциального и интегрального исчисления. Но не одна только алгебра восходит к Диофанту. "Арифметика" Диофанта послужила отправным пунктом для теоретико-числовых исследований Ферма и Эйлера, особенно же для развития теории неопределенных уравнений, которые получили в честь их создателя имя диофантовых. Новое развитие алгебраической геометрии и арифметики алгебраических кривых и многообразий высшего числа измерений, которое идет, нарастая, с начала нынешнего века, позволяет теперь с более общей точки зрения проанализировать и оценить методы Диофанта. То, что удалось нам сделать в этом направлении, изложено во введении и комментариях.

Предлагаемая книга представляет первый перевод на русский язык всех дошедших до нас сочинений Диофанта, т.е. шести книг его "Арифметики", состоявшей из 13 книг, и отрывка из книги "О многоугольных числах". Перевод выполнен И.Н.Веселовским с критического издания Поля Таннери Diophanti Aiexandrini Opera omnia cum graecis commentariis, Editit et latine interpretatus est Paulus Tannery, Lipsiae, 1893–1895, 1–2 vol.

В комментариях, составленных И.Г.Башмаковой, помещены переведенные ею замечания Ферма к "Арифметике" Диофанта (по изданию П.Таннери в книге "Oeuvres de Fermat", t. I, Paris, 1841). Задачи, к которым имеются примечания Ферма, отмечены звездочкой *.

В тексте "Арифметики" имеются фразы, которые были искажены при переписках, а затем восстановлены на основании критического анализа текста и вошли в таком виде в издание Таннери. Такие фразы мы заключаем в угловые скобки <>. В прямые скобки [ ] мы заключаем слова или формулы, вставленные при переводе на русский язык. В такие же скобки заключены куски текста, которые, по общепризнанному мнению, принадлежат позднейшим комментаторам, однако все такие места отмечены в специальных сносках.

Несколько слов о символике, принятой в книге. Знаки Диофанта для неизвестного и его первых шести положительных и отрицательных степеней мы передаем обычными для нас символами: х, х²,..., х⁶, х^–1,..., х^–6. Это же относится к знакам вычитания и равенства. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причем в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент, так что члены достаточно четко отделены друг от друга (см. об этом подробнее в комментариях). Отрицательные члены записываются рядом, а перед всей группой их ставится знак минус. Мы для удобства читателя вводим привычный для нас знак +, что не вносит принципиальных изменений в символику "Арифметики".

Для указания на задачу некоторой книги мы будем в дальнейшем писать номер книги римскими цифрами, а рядом внизу – номер или номера задач арабскими цифрами. Так, V_2–3 означает задачи 2 и 3 книги V.

В заключение я приношу глубокую благодарность И.Р.Шафаревичу за ту большую и многостороннюю помощь, которую он оказал мне при работе над книгой. Я благодарю также А.Н.Паршина и А.Н.Рудакова, советами и замечаниями которых я пользовалась при составлении комментариев. Мне хочется особо отметить самоотверженную работу А.Ф.Лапко, которая далеко выходит за рамки простого редактирования, и выразить ему горячую благодарность.

Из вступительной статьи. Диофант Александрийский и его "арифметика"

1. Диофант

Мы очень мало знаем о Диофанте. В одной из эпиграмм Палатинской антологии говорится:

"Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей."

Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть "мудрым искусством его". Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы еще за восемнадцать веков до н.э.

Но когда же жил Диофант? Теон Александрийский в своих комментариях к "Альмагесту" Птолемея привел отрывок из сочинений Диофанта. Поскольку деятельность Теона падает на вторую половину IV века н.э., очевидно, Диофант не мог жить позднее середины IV века.

Этим определяется верхний предел промежутка возможного времени жизни Диофанта. С другой стороны, сам Диофант в своей работе "О многоугольных числах" дважды упоминает Гипсикла, математика, жившего в Александрии в середине II века до н.э. Итак, нижним пределом является вторая половина II века до н.э. Таким образом, получаем промежуток в 500 лет!

Сузить этот промежуток попытался П.Таннери, известный историк науки, издатель критически проанализированного текста сочинений Диофанта, который теперь принят в качестве канонического. В библиотеке Эскуриала он нашел отрывок из письма Михаила Пселла, Византийского ученого XI века, текст которого был искажен при переписках. После восстановления Таннери один из отрывков письма может быть переведен так: "Что касается этого египетского метода, до Диофант рассмотрел его более точно, и ученейший Анатолий, после того как собрал наиболее важные части этой науки, посвятил их своему другу Диофанту". Известно, что Анатолий Александрийский составил "Введение в арифметику" в десяти частях, фрагменты из которого дошли до нас в передаче Ямблиха (IV век н.э.). Но Анатолий, познания которого в арифметике, геометрии и астрономии превозносит Евсевий, жил в Александрии в середине III века, причем в 270 г. он покинул ее, став епископом Лаодикийским (в Сирии). Таким образом, если Таннери правильно прочел письмо Пселла, то Диофант жил в середине III века н.э.

Это подтверждается еще и тем обстоятельством, что сама "Арифметика" посвящена "достопочтеннейшему Дионисию ", который, как это видно из введения к первой книге, интересовался наукой о числах и ее преподаванием. Между тем с 231 по 247 г. во главе Александрийского христианского училища для юношества стоял Дионисий, ставший в 247 г. епископом Александрийским. По предположению Таннери, именно ему и была посвящена "Арифметика".

Поэтому обычно теперь считают, что Диофант жил около 250 г.

Из сочинений Диофанта до нас дошло два: "Арифметика " и "О многоугольных числах", однако оба они сохранились не полностью. Из 13 книг "Арифметики", о которых говорит Диофант во введении к этой работе, до нас дошло 6, а конец второго сочинения утрачен. В "Арифметике", когда речь идет о теоретико-числовых предложениях, Диофант обычно отсылает к своим "Поризмам". Неизвестно, была ли то отдельная книга, или доказательства "поризмов" были включены в саму "Арифметику". Во всяком случае, ни одного доказательства теоретико-числового предложения от Диофанта не дошло.

Об авторе