Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия:
Методы и приложения. Изд. 2, перераб. и доп.

Предисловие ............... 7 Краткая историческая справка.........• 9 Глава 1. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ............... 17 § 1. Некоторые необходимые сведения из теории матричных групп 17 1.1. Группы и алгебры Ли. — 1.2. Полные линейные группы GL(n, R), GL(n, С) и их алгебры Ли. — 1.3. Специальные линейные группы SL{n, R) и SL(n, С). — 1.4. Ортогональная группа О(п) и специальная ортогональная группа SO (п). — 1.5. Унитарная группа U(n) и специальная унитарная группа SU(n). — 1.6. Компоненты связности матричных групп. — 1.7. Операция овеществления и комплексные структуры. § 2. Группы симплектических преобразований линейного пространства 31 2.1. Симплектические линейные преобразования. — 2.2. Некомпактные группы Sp(nt R) и Spin, С). — 2.3. Компактная группа Sp(n).— 2А. Связь симплектических групп с другими матричными группами. § 3. Лагранжева геометрия и лагранжевы многообразия .... 47 3.1. Вещественные лагранжевы многообразия в симплектическом линейном пространстве. — 3.2. Лагранжевы комплексные грассмановы многообразия. — 3.3. Лагранжевы вещественные грассмановы многообразия. Глава 2. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГА-МИЛЬТОНОВЫ УРАВНЕНИЯ..........63 § 1. Симплектические многообразия.........63 1.1. Симплектическая структура на гладком многообразии. — 1.2. Гамильтоновы, локально гамильтоновы векторные поля и скобка Пуассона. — 1.3. Интегралы гамильтоновых полей. — 1.4. Теорема Лиувилля. § 2. Геометрические свойства скобки Пуассона......81 2.1. Первичность понятия скобки Пуассона. —* 2.2. Теорема Дарбу. § 3. Вложения симплектических многообразий. Примеры симплектических многообразий.............86 Глава 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ И ИХ ГАМИЛЬТОНОВОСТЬ...........97 § 1. Классические уравнения движения трехмерного твердого тела . 97 1.1. Уравнения Эйлера—Пуассона, описывающие движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. — 1.2. Интегрируемые случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. — 1.3. Общие уравнения движения трехмерного твердого тела. § 2. Гамильтоновость уравнений движения трехмерного твердого тела 108 § 3. Некоторые сведения о группах и алгебрах Ли, необходимые для гамильтоновой геометрии...........Ш 3.1. Присоединенное и коприсоединенное представления, полупростота, система корней и простых корней, орбиты, каноническая симплектическая структура. — 3.2. Модельный пример: SL(n, С) и sl(n, С).— 3.3. Вещественные, компактные и нормальные подалгебры. Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ. КАЧЕСТВЕННАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ..............129 § 1. Классификация трехмерных поверхностей постоянной энергии интегрируемых уравнений. Препятствия к гладкой гладкой интегрируемости уравнений на симплектических многообразиях 129 1.1. Случай четырехмерных симплектических многообразий. — 1.2. Краткая сводка необходимых сведений из классической теории Морса гладких функций. — 1.3. Топологические -перестройки'торов Лиувилля интегрируемой системы при изменении значения второго интеграла. — 1.4. Сепаратрисные диаграммы высекают нетривиальные циклы на неособых торах Лиувилля.— 1.5. Изоэнергетические поверхности задаются одномерными графами, вершины которых разбиваются на пять канонических типов. — 1.6. Любая поверхность постоянной энергии интегрируемой системы представляется в виде склейки простейших трехмерных многообразий трех типов. — 1.7. Двулистные накрытия над изоэнергетическими интегрируемыми поверхностями всегда обладают ориентированным интегралом.— 1.8. Нижние оценки на число устойчивых периодических, решений системы. — 1.9. Топологические препятствия к гладкой интегрируемости. Далеко не каждое трехмерное многообразие может реализовываться как изоэнергетическая поверхность интегрируемой системы. — 1.10. «Достаточно большие» трехмерные изоэнергетические поверхности полностью определяются своими фундаментальными группами. § 2. Описание перестроек торов Лиувилля на многомерных симплектических многообразиях в окрестности бифуркационной диаграммы отображения момента............169 2.1. Бифуркационная диаграмма отображения момента интегрируемой системы. Перестройки общего положения. — 2.2. Описание бифуркаций торов Лиувилля. — 2.3. Торические ручки. Сепаратрис-ная диаграмма всегда приклеивается к неособому тору Лиувилля по нетривиальному циклу. § 3. Свойства разложения изоэнергетических поверхностей интегрируемых систем в сумму простейших многообразий......181 3.1. Фундаментальное разложение Q=mI+pII+qIII+sIV-\-rV и структура особых слоев. — 3.2. Гомологические свойства изоэнергетических поверхностей. Глава 5. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ КОММУТАТИВНЫХ И НЕКОММУТАТИВНЫХ ГРУПП ЛИ НА СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ. ГАМИЛЬТОНОВЫ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТ-РИЯМИ.................197 § 1. Полные инволютивные наборы функций и максимальные линейные коммутативные подалгебры в алгебре функций на симплектиче- ском многообразии................197 § 2. Гамильтонова система уравнений интегрируема, если ее гамильтониан включается в достаточно большую алгебру Ли функций. . 203 § 3. Общие свойства инвариантных подмногообразий гамильтоновых систем дифференциальных уравнений.........210 3.1. Редукция* системы на одной изолированной поверхности уровня. — 3.2. Некоммутативное -интегрирование, в тех случаях, когда набор интегралов не образует алгебры. — 3.3. Некоторые дальнейшие обобщения метода некоммутативного интегрирования. — 3.4. Канонический вид скобки Пуассона в окрестности особой точки. Случай вырожденных скобок Пуассона. § 4. Системы уравнений, вполне интегрируемые в некоммутативном смысле, часто вполне интегрируемы по Лиувиллю в -обычном смысле. 224 4.1. Формулировка общей гипотезы эквивалентности и ее справедливость для компактных многообразий. — 4.2. Некоммутативная интегрируемость и ее связь с каноническими подмногообразиями и изотропными торами. — 4.3. Свойства отображения момента системы, интегрируемой в некоммутативном смысле. — 4 4. Теорема существования и явная конструкция максимальных линейных коммутативных алгебр функций на орбитах в полупростых и редуктивных алгебрах Ли. — 4.5. Доказательство гипотезы эквивалентности. — 4.6: Отображение момента систем, интегрируемых в некоммутативном смысле при помощи избыточного набора интегралов. — 4.7. Достаточные условия компактности алгебры Ли интегралов гамильтоновой системы. § 5. Динамические системы, и .симллектические структуры, порождаемые секционными операторами...........246 5.1. Общая схема построения секционных операторов. — 5.2. Секционные операторы на симметрических пространствах. — 5.3. Тензор римановой кривизны и порождаемые им симплектические структуры. Глава 6. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОТОКИ НА ДВУМЕРНЫХ РИМАНО- ВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ............259 § 1. Топологические препятствия к аналитической полной интегрируемости..................259 1.1. Неинтегрируемость уравнений движения натуральных механических систем с двумя степенями свободы на поверхностях большого рода. — 1.2. Неинтегрируемость геодезических потоков на римановых поверхностях большого рода с выпуклым краем. — 1.3. Неинтегрируемость задачи п гравитирующих центров при п>2. — 1.4. Неинтегрируемость некоторых гироскопических систем. § 2. Топологические препятствия к аналитической интегрируемости геодезических потоков на многомерных неодносвязных многообразиях. 265 § 3. Интегрируемость и неинтегрируемость геодезических потоков на двумерных поверхностях, на сфере и торе........267 3.1. Голоморфная 1-форма полиномиального по импульсам интеграла геодезического потока и случай рода g>l. — 3.2. Случай сферы и тора. — 3.3. Свойства геодезических интегрируемых потоков на сфере. Глава 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КОНКРЕТНЫХ ГА-МИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ В ГЕОМЕТРИИ И МЕХАНИКЕ, МЕТОДЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ- * *......279 § -1. Алгебры Ли и механика. * Вложения динамических систем в алгебры Ли на канонические симплектические многообразия . . . 279 § 2. Левоинвариантные гамильтоновы системы на группах Ли и уравнения Эйлера на алгебрах Ли...........281 2.1. Симплектическая структура и левоинвариантные гамильтонианы. — 2.2. Квадратичные гамильтонианы, порожденные методом сдвига аргумента. — 2.3. Свойства общих уравнений Эйлера. § 3. Секционные операторы в случае полупростых алгебр Ли и соответствующие им левоинвариантные твердотельные метрики . . . 291 3.1. Секционное разложение полупростой алгебры Ли совпадает с картановским разложением. — 3.2. Различные виды секционных операторов (твердотельных метрик). Комплексная серия. Нормальная нильпотентная серия. Нормальная разрешимая серия. 3.3. Компактная серия операторов (твердотельных метрик). — 3.4. Нормальная серия операторов (твердотельных метрик). § 4. Явное построение интегралов уравнений Эйлера, отвечающих комплексной, компактной и нормальной сериям операторов (лево-инвариантных твердотельных метрик).........300 4.1. Интегралы комплексной серии. — 4,2. Интегралы компактной серии. — 4.3. Интегралы нормальной серии. — 4.4. Инволютивность построенных интегралов. § 5. Случаи полной интегрируемости уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли...............307 5.1. Комплексная серия твердотельных метрик. — 5.2. Компактная серия твердотельных метрик. — 5.3. Нормальная серия твердотельных метрик. — 5.4. Интегрируемость уравнений Эйлера на сингулярных орбитах. § 6. Список обнаруженных максимальных линейных коммутативных алгебр функций на орбитах коприсоединенных представлений групп Ли.................320 Приложение 1. Геометрические свойства твердотельных инвариантных метрик на однородных пространствах........ 333 Приложение 2. Уравнения Эйлера на алгебре Ли so(4).....335 Приложение 3. Выпуклость отображения момента при пуассоновом действии тора.................347 Приложение 4. Любая композиция элементарных бифуркаций (трех типов) торов Лиувилля реализуется для некоторой интегрируемой системы на подходящем симплектическом многообразии. Классификация неориентируемых критических подмногообразий боттовских интегралов .............. ..... 348 Приложение 5. Некоторые другие методы построения интегралов дифференциальных уравнений на алгебрах Ли........356 Приложение 6. Критерий полноты набора интегралов, получаемых методом сдвига аргумента ............. 361 Приложение 7. Новый топологический инвариант гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, интегрируемых по Лиувиллю. Инвариантный портрет интегрируемых гамильтонианов....., 365 Приложение 8. Теория типа Морса для гамильтоновых систем, интегрируемых при помощи неботтовских интегралов ,.....378 Некоторые обозначения , ............. 385 Дополнение. О рисунках.............. 385 Литература , . , ............... 389 Дополнительный список литературы......... , 399