Зеликин М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление Изд. 4, испр.

2017. 160 с.

Типографская бумага

Аннотация

В книге изложены основы теории экстремальных задач и вариационного исчисления с точки зрения канонического формализма и принципа максимума Понтрягина.

Работа соединяет строгость изложения с прояснением интуитивного и геометрического смысла доказываемых результатов. Изложение сопровождается подробным исследованием конкретных модельных задач из механики и геометрии.

Книга может служить учебным пособием для студентов вузов и университетов,... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие
Список обозначений
1	Принцип максимума Понтрягина
	§ 1.	Постановка задачи
	§ 2.	Формулировка принципа максимума Понтрягина
	§ 3.	Принцип максимума для задачи быстродействия
	§ 4.	Оптимальный синтез
2	Метод динамического программирования. Уравнение Беллмана
	§ 5.	Производная в силу системы обыкновенных дифференциальных уравнений
	§ 6.	Уравнение Беллмана для задачи быстродействия
	§ 7.	Достаточные условия оптимальности
	§ 8.	Уравнение Беллмана для задачи с фиксированным временем
3	Геометрический смысл принципа максимума Понтрягина
	§ 9.	Связь уравнения Беллмана с принципом максимума Понтрягина
	§ 10.	Уравнения в вариациях
	§ 11.	Геометрическая интерпретация принципа максимума
4	Существование решений задачи оптимального быстродействия
	§ 12.	Пример отсутствия оптимального управления. (Скользящие режимы)
	§ 13.	Продолжимость решений обыкновенных дифференциальных уравнений
	§ 14.	Пример отсутствия оптимального управления. (Уход на бесконечность за конечное время)
	§ 15.	Формулировка теоремы существования
	§ 16.	Доказательство теоремы существования
5	Простейшая задача классического вариационного исчисления
	§ 17.	Постановка задачи
	§ 18.	Уравнение Эйлера
	§ 19.	Геодезические на римановом многообразии
6	Канонический формализм
	§ 20.	Преобразование Лежандра
	§ 21.	Канонические переменные
	§ 22.	Механический смысл канонических переменных
	§ 23.	Формула вариации функционала с подвижными концами
	§ 24.	Условия трансверсальности в задаче с подвижными концами
	§ 25.	Условия Вейерштрасса–Эрдмана
	§ 26.	Уравнение Гамильтона–Якоби
	§ 27.	Первое возвращение к принципу максимума Понтрягина
7	Теория второй вариации
	§ 28.	Постановка задачи
	§ 29.	Необходимое условие Лежандра
	§ 30.	Присоединенная задача и определение сопряженной точки
	§ 31.	Необходимые условия неотрицательной определенности δ²J
	§ 32.	Достаточные условия положительной определенности δ²J
	§ 33.	Продолжение доказательства теоремы 5
	§ 34.	Примеры
	§ 35.	Теорема Якоби об огибающей
8	Достаточные условия оптимальности
	§ 36.	Необходимое условие Вейерштрасса
	§ 37.	Достаточные условия слабого минимума
	§ 38.	Внешние дифференциальные формы
	§ 39.	Интегральный инвариант Пуанкаре–Картана
	§ 40.	Лагранжевы многообразия
	§ 41.	Поле экстремалей. Инвариантный интеграл Гильберта
	§ 42.	Погружение экстремали в поле и фокальные точки
	§ 43.	Индекс Морса
	§ 44.	Второе возвращение к принципу максимума
	§ 45.	Задача оптимального управления с разделенными условиями для концов
	§ 46.	Критерий оптимальности в терминах двух решений уравнения Риккати
Литература

Предисловие

Посвящается светлой памяти Людмилы Филипповны Зеликиной

Данное пособие примыкает к серии учебников, задачников и учебных пособий, выпущенных сотрудниками кафедры Общих проблем управления механико-математического факультета МГУ. Оно написано на основе лекций, читавшихся автором в течение ряда лет для слушателей факультета повышения квалификации и для студентов механико-математического факультета. Основные факты теории экстремальных задач излагаются в пособии с точки зрения канонического формализма и принципа максимума Понтрягина. Для облегчения понимания в процессе изложения приводятся эвристические мотивировки и объясняется геометрический смысл рассматриваемых конструкций. Автор руководствовался девизом: "Ясность и точность".

Книга, по существу, состоит из двух разделов. В первом разделе (главы 1–4) рассматривается принцип максимума Понтрягина, метод динамического программирования и теория существования решения для задач оптимального быстродействия. Второй раздел (главы 5–8) посвящен изложению вариационного исчисления. Ключевым пунктом для понимания этого раздела служит формула вариации функционала с подвижными концами (§ 23), из которой выводится большая часть последующих теорем о необходимых и достаточных условиях оптимальности. Оба раздела можно читать независимо; связь между ними устанавливается в два приема: в § 27 и в § 44.

За время, прошедшее с момента первого издания пособия (1985 г.), автором была написана книга [7], которая частично пересекается с настоящим изданием, но содержит много дополнительного материала, касающегося уравнений Риккати и многомерного вариационного исчисления (в частности, связь с геометрией многообразий Лагранжа–Грассмана и классическими областями однородности Картана–Зигеля в пространстве многих комплексных переменных).

В настоящем издании добавлены: новое, более простое (по сравнению с традиционными) доказательство теоремы Морса, а также последние, ранее не публиковавшиеся, результаты автора, касающиеся связи гессиана функции Беллмана с решением уравнения Риккати. С помощью этих результатов в §46 даются новые необходимые и достаточные условия оптимальности в терминах двух полей экстремалей.

В пособии принята сквозная нумерация параграфов. Нумерация формул внутри каждой главы независима. Так, например, ссылка (5.4) означает: формула (5) главы 4.

Я считаю своим долгом выразить глубокую признательность Ю.А.Белову, Л.Ф.Зеликиной, Э.Л.Пресману, А.О.Ремизову и В.М.Тихомирову за обсуждения и критические замечания, способствовавшие значительному улучшению рукописи.

М.И.Зеликин

Об авторе

Зеликин Михаил Ильич

Член-корреспондент РАН. Доктор физико-математических наук, профессор механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Область научных интересов: дифференциальные уравнения, оптимальное управление, теория игр.