Теория спиноров, особенно многомерных, слабо представлена в нашей математической литературе. Предлагаемая статья имеет целью в некоторой мере заполнить этот пробел. С нашей точки зрения теория спиноров есть в первую очередь теория линейного представления клиффордовой алгебры и лишь в частности – линейного представления группы вращений. Изложение построено сообразно этому принципу. Сначала подробно рассматривается геометризированная клиффордова алгебра в многомерном комплексном евклидовом пространстве Rn+ (§§ 1–8), в частности, вращения в Rn+ с точки зрения клиффордовой алгебры (§ 6). Далее доказывается основная теорема о линейном представлении клиффордовой алгебры, в связи с чем возникает понятие о спинорном пространстве (§§ 9–12). Рассматриваются фундаментальные спинтензоры, возникающие в спинорном пространстве в связи с фундаментальными автоморфизмами в клиффордовой алгебре (§§ 13–16), а также спинорное представление вращений в Rn+ (§§ 17–19). Затем в Rn+ выделяется вещественное евклидово или псевдоевклидово пространство Rn(s) той или иной сигнатуры и предыдущие построения специализируются и дополняются для него (§§ 20–26). Устанавливается связь со спинорным аппаратом физики (§ 25). Наконец, в § 27 выводятся в n-мерном случае некоторые более тонкие свойства фундаментальных спинтензоров, ранее доказанные лишь для случаев n = 2,4, а в § 28 показано, как теория спиноров в нечетномерном случае сводится в известном смысле к четномерному случаю (которым мы занимаемся до этого момента). Изложение носит геометризированный характер с упором на инвариантные свойства спинорного пространства. С этой точки зрения предлагаемая статья, возможно, будет полезна и для физиков-теоретиков, желающих углубленно изучить спинорный аппарат физики. Действительно, в руководствах по квантовой механике, в том числе и весьма квалифицированных, мы постоянно сталкиваемся с тем, что усиленно подчеркиваются неинвариантные, а значит, и не имеющие физического смысла свойства рассматриваемых "матриц", в то время как их инвариантные свойства выявляются недостаточно. Причина лежит в том, что в изложении физиков под безличным псевдонимом "матриц" скрываются весьма различные по своей природе спинтензоры, свойства которых почти полностью остаются в тени. Еще более нежелательно то, что соотношения между спинорными величинами нередко записываются в неинвариантном виде, что, конечно, не способствует выявлению их физического смысла. Мы пытались в нашем изложении установить прямую связь со спинорным аппаратом физики и раскрыть инвариантный смысл обычно используемых в нем величин. В связи с этим пространству специальной теории относительности уделено большое внимание, и все полученные общие результаты особо рассматриваются для этого случая. Впрочем, и помимо этого мы всегда старались иллюстрировать общие результаты на простых частных случаях. Предполагается, что читатель знаком с линейной алгеброй, умеет производить выкладки с матрицами, а также владеет основами тензорной алгебры. В тексте даны соответствующие литературные указания. Других специальных знаний не требуется. ![]() Выдающийся советский математик-геометр. Заслуженный деятель науки РСФСР. Доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Окончил МГУ. Воспитанник школы В. Ф. Кагана. Преподавал в Московском энергетическом институте и в Московском педагогическом институте. До конца жизни заведовал кафедрой дифференциальной геометрии механико-математического факультета МГУ.
П. К. Рашевский — автор многих фундаментальных работ по различным разделам геометрии: римановой, аффинной, дифференциальной, по созданной им полиметрической геометрии, аксиоматике проективной геометрии однородных пространств, связанной с группами Ли, и другим. Им были написаны учебники и монографии в области геометрии и математической физики: "Риманова геометрия и тензорный анализ" (URSS), "Курс дифференциальной геометрии" (URSS), "Геометрическая теория уравнений с частными производными" (URSS), "Теория спиноров" (URSS). Первые две книги переведены на испанский язык. Ученики П. К. Рашевского, входившие в созданную им школу, развивали также теорию однородных пространств, методы вариационного исчисления. |