Постников М.М. Лекции по геометрии:
Группы и алгебры Ли. Семестр V. Изд. 2

Гладкие к топологические группы. — Ослаблен не условий, опреде­ляющих     группы   Ли. — Примеры   групп   Ли. — Преобразование Кэли. — Дальнейшие примеры групп Ли. — Связные и ликейио связ­ные   пространства   и  группы.   Редукция  любых  гладких грусти к связным. — Примеры связи ых групп Ля.

ЛЕКЦИЯ   2   . .  . .  . . _f ...............................................................................................................................................................

Левоинвариаятные векторные поля. — Параллелизуемость групп Ли, — Интегральные кривые левоиивариантных векторных полей и однопараметрические подгруппы. — Функтор Ли, — Пример: груп­па обратимых элементов ассоциативной алгебры. — Функции со значениями в ассоциативной алгебре. — Однопараметрические под­группы группы

ЛЕКЦИЯ 3 ....................................................................................................................................................................................

Матричные группы Ли, допускающие конструкцию Кэли. — Обоб­щение конструкции Кэли. — Группы, обладающие lti-образамн. — Алгебры Ли.—Примеры алгебр Ли. — Алгебра Ли векторных по­лей. — Алгебра Ли группы Лн. — Пример: алгебра Ли группы обратимых элементов ассоциативной алгебры. — Локально изоморф­ные группы Ля, — Групускулы Ли. — Функтор Ли на категории групускул Ли.

ЛЕКЦИЯ 4....................................................................................................................................................................................

Экспонента линейного дифференциального оператора. — Формула для значений гладких функций з нормальной окрестности едини­цы труппы Ли. — Формула для значений гладких функций на произведении двух элементов. — Ряд Кемпбелла — Хаусдорфа и многочлены Дынкнна. — Сходимость ряда Кэмпбелла — Хаусдор* фа. — Восстановление групускулы Ли по ее алгебре Ли. — Опера­ции в алгебре Ли группы Ли и однопараметрические подгруп­пы, — Дифференциалы внутренних автоморфизмов. — Дифференциал экспоненциального отображения. — Канонические координаты. — Единственность структуры группы Ли. — Группы без малых под­групп и пятая проблема Гильберта.

ЛЕКЦИЯ   5 ................................................................................................................................................. ^..............................

Свободные ассоциативные алгебры. — Свободные алгебры Ли-— Основная лемма. — Универсальная обертывающая алгебра. — Вло­жение алгебры Ли в ее универсальную, обертывающую алгебру. — Доказательство того, что' алгебра 1 (X) свободна. -Теорема Пуан­каре — Биркгофа — Вігтта. — Тензорные произведении линеалов и алгебр, — Алгебры Хопфа,

ЛЕКЦИЯ 6 ....................................................................................................................................................................................

Теорема Фридрихса. — Доказательство утверждения В из лек­ции 4. — Теорема Дынкина. — Линейная часть ряда Кемпбелла — Хаусдорфа. — Сходимость ряда Квмпбелла — Хаусдорфа. — Групп-алгебры Ли.— Эквивалентность категорий групускул и групттал-гебр Ли. — Изоморфизм категорий гругшалгебр и алгебр Ли. — Третья теорема Ли.

По дгруіту скулы и подалгебры. — Инвариантные подгрупускулы и идеалы. — Факторгрупускулы и факторалгебры. — Сведение глад­ких групускул к аналитическим. — Системы Пфаффа. — Подрас-слоения касательных расслоений. — Интегрируемые подрасслое* ния. — Графики систем Пфаффа. — Инволютивные подрасслое-ния. — Полная унивалентность функтора Ли. — Ииволютнвность интегрируемых подрасслоений. — Вполне интегрируемые подрасслое-пия.

ЛЕКЦИЯ   S .................................................................................................................................................................................. 165

Накрытия. — Сечения накрытий. — Пунктированные накрытия! — Коамальгамы. — Односвязные пространства. — Морфнзмы накры­тий. — Отношение квазипорядка в категории пунктированных на­крытий.— Существование односвязных накрытий. — Вопросы обо­снования. — Функтор иальиость универсального накрытия.

ЛЕКЦИЯ   9.................................................................................................................................................................................. 190

Гладкие накрытия. — Изоморфизм категорий гладких и топологи­ческих иакрытий. — Существование универсальных гладких накры­тий. — Накрытия гладких и топологических групп. — Универсаль­ные накрытия групп Ли.— Леммы о топологических группах.— Локальные изоморфизмы н накрытия. — Описание локально изо­морфных групп Ли.

ЛЕКЦИЯ   10......................................................................................................................................................................... 204

Локальные изоморфизмы и изоморфизмы локализаций. — Теорема Картана. — Окончательная диаграмма категорий и функторов. — Редукция теоремы Картана. — Глобализуемость вложнмых групу­скул. — Сведение теоремы Картана к теореме Адо.

ЛЕКЦИЯ  11................................................................................................................................................................................. 216

Подмногообразия гладких многообразий. — Подгруппы групп Ли. — Интегральные многообразия интегрируемых подрасслоений. — Мак­симальные интегральные многообразия. — Идея доказательства теоремы 1. — Локальное строение подмногообразий. — Единствен­ность структуры локально выпрямляемого подмногообразия со счетной базой. — Подмногообразия многообразий со счетной ба* зой. — Связные группы Ли имеют счетную базу. — Локальная вы-прямляемость максимальных интегральных многообразий. — Дока­зательство теоремы 1.

ЛЕКЦИЯ  12.................................................................................................................................................................................. 238

Альтернативные определения понятия подгруппы группы Ли! — Топологические подгруппы групп Ли. — Замкнутые подгруппы групп Ли. — Алгебраические группы. — Группы автоморфизмов алгебр. — Группы автоморфизмов групп Ли. — Идеалы и инва­риантные подгруппы. — Фактор многообразия групп Лн, — Фактор­группы групп Ли. — Вычисление фундаментальных групп. — Одно­связность групп SU(n) и Sp(n). — Фундаментальная группа груп­пы U (л).

ЛЕКЦИЯ  13.................................................................................................................................................................................. ²⁵³

Алгебра Клиффорда квадратичного функционала.— Z2-rpaflyHpoB-ка алгебры Клиффорда. — Еще о тензорном умножении линеалов и алгебр. — Разложение алгебр Клиффорда в косое тензорное про­изведение. — Базис алгебры Клиффорда. — Сопряжение а алгебре Клиффорда. — Центр алгебры Клиффорда, — Группа Ли Spui(«). — Фундаментальная группа группы SO(n). — Группы Spin(n) при < 4. — Гомоморфизм %. — Группа Spin(6). — Группа Spin (5)- — Матричные представления алгебр Клиффорда. — Матричные представления групп Spin(n). — Матричные группы, в кото­рых представлены группы Spin(rc). — Редуцированные пред­ставления групп Spin(«). — Дополнительные сведения из линейной алгебры.

Удвоение алгебр. — Метрические алгебры. — Нормированные алгеб­ры. — Автоморфизмы и дифференцирования метрических алгебр. — Дифференцирования   удвоенной  алгебры. — Дифференцирования и автоморфизмы алгебры    Н < — Алгебра октав. — Алгебра Ли — Структурные константы алгебры Ли gj. Задание алгебры Ли образующими и соотношениями,

ЛЕКЦИЯ   15................................................................................................................................................................................ 322

Тождества в алгебре октав Са. — Подалгебры алгебры октав Са. — Группа Ли Сг. — Принцип тройственности для группы Spin(8). — Аиалог принципа тройственности для группы Spin(9).— Алгебра Алберта А1. — Октавная проективная плоскость.

ЛЕКЦИЯ  16.................................................................................................................................. ,............................................... 344

Скалярные произведения в алгебре АІ. — Автоморфизмы и диф­ференцирования алгебры'А 1. — Присоединенные дифференцирова­ния алгебры А1,— Теорема Фрейденталя. — Следствия теоремы Фрейденталя. — Группа Ли F₄. — Алгебра Ли f₄. — Структура ал­гебры Ли

ЛЕКЦИЯ   17................................................................................................................................ _t............................................... 3S4

Разрешимые алгебры Ли. — Радикал алгебры Ли. — А бе левы ал­гебры Ли. — Центр алгебры Ли. — Нильпотентные . алгебры Ли. — Нильрадикал алгебры Ли. — Линейные нильалгебры Ли.— Теоре­ма Экгеля. — Критерии нильпотентности. — Линейные неприводи­мые алгебры Ли. — Редуктивные алгебры Лн. — Линейные разре­шимые алгебры Ли. — Нильпотентный радикал алгебры Ли.

ЛЕКЦИЯ   18  . . . ¦...................................................................................................................... <............................................. 380

Следный функционал. — Функционал Киллинга. — Следный функ­ционал представления,—Жорданово разложение линейного опера­тора. — Жорданово разложение присоединенного оператора. — Тео­рема Картана о линейных алгебрах Ли. — Доказательство критерия Картана разрешимости алгебры Ли. — Линейные алгебры Лн с не­вырожденным следиым функционалом. — Полупростые алгебры Лн. — Критерий Картана полупростоты. — Операторы Казимира.

ЛЕКЦИЯ  19................................................................................................................................. <............................................. 397

Когомологии алгебр Ли. — Теорема Уайтхеда. — Разложение Фит-тннга. — Обобщенная теорема Уайтхеда. — Леммы Уайтхеда. — Теорема Зейля о полной приводимости. — Расширения абелевых алгебр Ли.

ЛЕКЦИЯ  20................................................................................................................................. « - .......................................... 412

Теорема Леви. — Простые алгебры н группы Лн. — Каиновы и ?нимодулярные группы. — Лемма Шура. — Центр простой матрич­ной гр?ппы Ли — Пример нематричиой группы Ли. — Когомологии де Рама. — Когомологии алгебр Лн векторных полей. — Сравнение когомологии группы Ли и ее алгебры Лн.

ЛЕКЦИЯ  21.................................................................................................................................................................................. 427

Функционал Киллинга идеала. — Некоторые свойства дифференци­рований. — Радикал и нильрадикал идеала. — Продолжение диф­ференцирований на универсальную обертывающую алгебру. — Идеалы конечной коразмерности обертывающей алгебры. — Ради­кал ассоциативной алгебры. — Обоснование индуктивного шага по­строения. — Доказательство теоремы Адо. — Заключение.