Постников М.М. Лекции по геометрии:
Гладкие многообразия. Семестр III. Изд. 2

Топологическая инвариантность размерности многообразий.— Раз­мерность по покрытиям.— Компактные пространства.— Лемма Ле­бега.— Оценка сверху размерности компактных подмножеств прост­ранства Rⁿ.— Свойство монотонности размерности.— Замкнутые множества.—Монотонность размерности по замкнутым множествам,— Прямое произведение топологических пространств.— Компактность прямого произведения компактных пространств.

ЛЕКЦИЯ 9

Теорема о барабане.— Теорема Брауэра о неподвижной точке.— Тео­рема о перегородках в кубе.— Нормальные и вполне нормальные пространства.— Продолжение перегородок.— Теорема Лебега о пок­рытиях куба.—Оценка размерности куба снизу.

ЛЕКЦИЯ Ю

Порядковые числа.— Интервальная топология в множествах поряд­ковых чисел.— Нульмерные пространства.— Пример Тихонова.— Тихоновское произведение топслогических пространств.— Фильт­ры,— Центрированные множества множеств.— Ультрафильтры.— Критерий компактности.— Теорема Тихонова.

ЛЕКЦИЯ П

Гладкость на аффинном пространстве.—Многообразие матриц дан­ного ранга — Многообразия Штифеля,— Ряды матриц.—Экспонен­циал матрицы,—Логарифм матрицы.—Ортогональные и ./-ортого­нальные матрицы.—Матричные группы Ли.— Группы У-ортогональ* ных матриц.— Унитарные и ./-унитарные матрицы.— Комплексные матричные группы Ли.— Комплексно аналитические многообразия.— Линейно связные пространства.—Связные пространства.—Совпа­дение связности и линейной связности для многообразий.— Гладкие и кусочно гладкие пути.—Связные многообразия, не удовлетворяю­щие второй аксиоме счетности.

ЛЕКЦИЯ 12

Векторы, касательные к гладкому многообразию.—Производныеголоморфных функций.— Касательные векторы комплексно анали­тических многообразий.—Дифференциал гладкого отображения.— Цепное правило.— Градиент гладкой функции.— Теорема об эталь-ных отображениях.— Теорема о замене локальных координат.— Локально плоские отображения.

ЛЕКЦИЯ 13 ...............................................................................................................................................................

Доказательство теоремы о локально плоских отображениях.— По­гружения и субмерсии.— Подмногообразия гладкого многообра­зия.— Подпространство, касательное к подмногообразию.— Локаль­ное задание подмногообразия.— Единственность структуры подмно­гообразия.— Случай вложенных подмногообразий.— Теорема о про­образе регулярного значения.— Решения систем уравнений.— Груп­па SL(n) как подмногообразие.

ЛЕКЦИЯ 14 ...............................................................................................................................................................

Теорема вложения,— Еще о компактных множествах.— Функции Урысона.—Доказательство теоремы вложения.—Многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме счетности.— Разреженные и то­щие множества.— Нуль-множества.

ЛЕКЦИЯ 15................................................................................................................................................................

Теорема Сарда.— Аналитическая часть доказательства теоремы Сарда.— Прямое произведение многообразий,—Многообразие каса­тельных векторов.— Доказательство теоремы вложения Уитни.

ЛЕКЦИЯ 16................................................................................................................................................................

Тензоры.— Тензорные поля.— Векторные поля и дифференцирова­ния,— Алгебра Ли векторных полей.

Топологическая инвариантность размерности многообразий.— Раз­мерность по покрытиям.— Компактные пространства.— Лемма Ле­бега.— Оценка сверху размерности компактных подмножеств прост­ранства Rⁿ.— Свойство монотонности размерности.— Замкнутые множества.—Монотонность размерности по замкнутым множествам,— Прямое произведение топологических пространств.— Компактность прямого произведения компактных пространств.

ЛЕКЦИЯ 9

Теорема о барабане.— Теорема Брауэра о неподвижной точке.— Тео­рема о перегородках в кубе.— Нормальные и вполне нормальные пространства.— Продолжение перегородок.— Теорема Лебега о пок­рытиях куба.—Оценка размерности куба снизу.

ЛЕКЦИЯ Ю

Порядковые числа.— Интервальная топология в множествах поряд­ковых чисел.— Нульмерные пространства.— Пример Тихонова.— Тихоновское произведение топслогических пространств.— Фильт­ры,— Центрированные множества множеств.— Ультрафильтры.— Критерий компактности.— Теорема Тихонова.

ЛЕКЦИЯ П

Гладкость на аффинном пространстве.—Многообразие матриц дан­ного ранга — Многообразия Штифеля,— Ряды матриц.—Экспонен­циал матрицы,—Логарифм матрицы.—Ортогональные и ./-ортого­нальные матрицы.—Матричные группы Ли.— Группы У-ортогональ* ных матриц.— Унитарные и ./-унитарные матрицы.— Комплексные матричные группы Ли.— Комплексно аналитические многообразия.— Линейно связные пространства.—Связные пространства.—Совпа­дение связности и линейной связности для многообразий.— Гладкие и кусочно гладкие пути.—Связные многообразия, не удовлетворяю­щие второй аксиоме счетности.

ЛЕКЦИЯ 12

Векторы, касательные к гладкому многообразию.—Производныеголоморфных функций.— Касательные векторы комплексно анали­тических многообразий.—Дифференциал гладкого отображения.— Цепное правило.— Градиент гладкой функции.— Теорема об эталь-ных отображениях.— Теорема о замене локальных координат.— Локально плоские отображения.

ЛЕКЦИЯ 13 ...............................................................................................................................................................

Доказательство теоремы о локально плоских отображениях.— По­гружения и субмерсии.— Подмногообразия гладкого многообра­зия.— Подпространство, касательное к подмногообразию.— Локаль­ное задание подмногообразия.— Единственность структуры подмно­гообразия.— Случай вложенных подмногообразий.— Теорема о про­образе регулярного значения.— Решения систем уравнений.— Груп­па SL(n) как подмногообразие.

ЛЕКЦИЯ 14 ...............................................................................................................................................................

Теорема вложения,— Еще о компактных множествах.— Функции Урысона.—Доказательство теоремы вложения.—Многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме счетности.— Разреженные и то­щие множества.— Нуль-множества.

ЛЕКЦИЯ 15................................................................................................................................................................

Теорема Сарда.— Аналитическая часть доказательства теоремы Сарда.— Прямое произведение многообразий,—Многообразие каса­тельных векторов.— Доказательство теоремы вложения Уитни.

ЛЕКЦИЯ 16................................................................................................................................................................

Тензоры.— Тензорные поля.— Векторные поля и дифференцирова­ния,— Алгебра Ли векторных полей.