| Предисловие | 7 |
| Глава 1. | Полиэдры. Симплициальные комплексы. Гомологии | 11 |
| | § 1. | Полиэдры | 11 |
| | 1.1. | Вводные замечания | 11 |
| | | 1.2. | Понятие n-мерного симплекса. Барицентрические координаты | 15 |
| | | 1.3. | Полиэдры. Симплициальные подразделения полиэдров. Симплициальные комплексы | 18 |
| | | 1.4. | Примеры полиэдров | 20 |
| | | 1.5. | Барицентрическое подразделение | 25 |
| | | 1.6. | Комментарий к наглядному материалу | 27 |
| | § 2. | Группы симплициальных гомологий симплициальных комплексов (полиэдров) | 32 |
| | | 2.1. | Симплициальные цепи | 32 |
| | | 2.2. | Граница цепи | 34 |
| | | 2.3. | Простейшие свойства оператора границы. Циклы. Границы | 36 |
| | | 2.4. | Примеры вычисления оператора границы | 37 |
| | | 2.5. | Группы симплициальных гомологий | 39 |
| | | 2.6. | Примеры вычисления групп гомологий. Гомологии двумерных поверхностей | 41 |
| | | 2.7. | Комментарий к наглядному материалу | 54 |
| | § 3. | Общие свойства групп симплициальных гомологий. Некоторые методы вычисления групп гомологий | 58 |
| | | 3.1. | Матрицы инциденций | 58 |
| | | 3.2. | Метод вычисления групп гомологий при помощи матриц инциденций | 59 |
| | | 3.3. | "Следы" клеточных гомологий внутри симплициальных | 64 |
| | | 3.4. | Цепная гомотопия. Независимость симплициальных гомологий полиэдра от выбора триангуляции | 67 |
| | | 3.5. | Комментарий к наглядному материалу | 73 |
| Глава 2. | Многообразия малой размерности | 75 |
| | § 1. | Некоторые основные понятия дифференциальной геометрии | 75 |
| | | 1.1. | Координаты в области. Преобразования криволинейных координат | 75 |
| | | 1.2. | Понятие многообразия. Гладкие многообразия и способы их задания. Многообразия с краем. Касательное пространство и касательное расслоение | 80 |
| | | 1.3. | Ориентируемость и неориентируемость. Дифференциал отображения. Регулярные и правильные точки. Вложения и погружения многообразий. Критические точки гладких функций на многообразиях. Индекс невырожденных критических точек и функции Морса | 86 |
| | | 1.4. | Векторные и ковекторные поля. Интегральные траектории. Коммутатор векторных полей. Алгебра Ли векторных полей на многообразии | 92 |
| | | 1.5. | Комментарий к наглядному материалу | 94 |
| | § 2. | Наглядные свойства одномерных многообразий | 100 |
| | | 2.1. | Изотопии, оснащения | 100 |
| | | 2.2. | Комментарий к наглядному материалу | 104 |
| | § 3. | Наглядные свойства двумерных многообразий | 106 |
| | | 3.1. | Двумерные многообразия с краем | 106 |
| | | 3.2. | Примеры двумерных многообразий | 108 |
| | | 3.3. | Моделирование проективной плоскости в трехмерном пространстве | 112 |
| | | 3.4. | Две серии двумерных замкнутых многообразий | 119 |
| | | 3.5. | Классификация замкнутых 2-многообразий | 126 |
| | | 3.6. | Выворачивание двумерной сферы наизнанку | 130 |
| | | 3.7. | Комментарий к наглядному материалу | 131 |
| | § 4. | Чем отличаются друг от друга разные двумерные многообразия? Группы когомологий и дифференциальные формы | 136 |
| | | 4.1. | Дифференциальные 1-формы на гладком многообразии | 136 |
| | | 4.2. | Замкнутые и точные формы на двумерном многообразии | 137 |
| | | 4.3. | Важное свойство групп когомологий | 138 |
| | | 4.4. | Прямое вычисление групп одномерных когомологий одномерных многообразий | 140 |
| | | 4.5. | Прямое вычисление групп одномерных когомологий плоскости, двумерной сферы и тора | 142 |
| | | 4.6. | Прямое вычисление групп одномерных когомологий ориентированных поверхностей, т.е. сфер с ручками | 149 |
| | | 4.7. | Алгоритм распознавания двумерных многообразий. Элементы компьютерной двумерной геометрии | 152 |
| | | 4.8. | Вычисление эйлеровой характеристики поверхности при помощи триангуляции | 154 |
| | | 4.9. | Комментарий к наглядному материалу | 155 |
| | § 5. | Наглядные свойства трехмерных многообразий | 159 |
| | | 5.1. | Разбиение (или диаграмма) Хегора | 159 |
| | | 5.2. | Примеры трехмерных многообразий | 162 |
| | | 5.3. | Эквивалентность разбиений Хегора | 164 |
| | | 5.4. | Спайны | 165 |
| | | 5.5. | Специальные спайны | 169 |
| | | 5.6. | Фильтрация 3-многообразий по сложности | 172 |
| | | 5.7. | Упрощение специальных спайнов | 176 |
| | | 5.8. | Применение ЭВМ в трехмерной топологии. Перечисление многообразий в порядке возрастания сложности | 180 |
| | | 5.9. | Сложность 3-многообразий и склеивание симплексов | 191 |
| | | 5.10. | Комментарий к наглядному материалу | 194 |
| Глава 3. | Наглядная симплектическая топология и механика | 197 |
| | § 1. | Некоторые понятия гамильтоновой геометрии | 197 |
| | | 1.1. | Гамильтоновы системы на симплектических многообразиях | 197 |
| | | 1.2. | Инволютивные интегралы и торы Лиувилля | 200 |
| | | 1.3. | Отображение момента интегрируемой системы | 203 |
| | | 1.4. | Перестройка торов Лиувилля при критических значениях интеграла | 204 |
| | | 1.5. | Комментарий к наглядному материалу | 208 |
| | § 2. | Качественные вопросы геометрического интегрирования некоторых дифференциальных уравнений. Классификация простых перестроек торов Лиувилля интегрируемых систем с морс-боттовскими интегралами | 211 |
| | | 2.1. | Морс-боттовские интегралы | 211 |
| | | 2.2. | Классификация простых, невырожденных перестроек торов Лиувилля | 213 |
| | | 2.3. | Топологическая структура критических уровней | 219 |
| | | 2.4. | Примеры из механики. Уравнения движения твердого тела. Сфера Пуассона. Геометрическое истолкование механических систем | 221 |
| | | 2.5. | Пример исследования механической системы. Система Лиувилля на плоскости | 222 |
| | | 2.6. | Комментарий к наглядному материалу | 224 |
| | § 3. | Трехмерные многообразия и наглядная геометрия изоэнергетических поверхностей интегрируемых систем | 226 |
| | | 3.1. | Одномерный граф как диаграмма изоэнергетической поверхности | 226 |
| | | 3.2. | Какие известные многообразия встречаются среди изоэнергетических поверхностей? | 229 |
| | | 3.3. | Простейшие изоэнергетические поверхности (с краем) | 237 |
| | | 3.4. | Любая изоэнергетическая поверхность интегрируемой морс-боттовской системы распадается в сумму элементарных кирпичей пяти (или двух) типов | 240 |
| | | 3.5. | Новые топологические свойства класса изоэнергетических поверхностей | 241 |
| | | 3.6. | Об одном применении компьютеров в симплектической топологии | 244 |
| | | 3.7. | Комментарий к наглядному материалу | 246 |
| Глава 4. | Наглядные образы в некоторых других областях геометрии и ее приложений | 249 |
| | § 1. | Наглядная геометрия мыльных пленок. Минимальные поверхности | 249 |
| | | 1.1. | Границы раздела физических сред и минимальные поверхности | 249 |
| | | 1.2. | Некоторые примеры минимальных поверхностей | 252 |
| | | 1.3. | Комментарий к наглядному материалу | 255 |
| | § 2. | Фрактальная геометрия и размерность | 258 |
| | | 2.1. | Различные понятия размерности | 258 |
| | | 2.2. | Фракталы | 261 |
| | | 2.3. | Комментарий к наглядному материалу | 262 |
| | § 3. | Наглядная компьютерная геометрия в теории чисел | 267 |
| Список литературы | 276 |
| Наглядный ма териал | 281 |
| | Глава 1 § 1 | 283 |
| | Глава 1 § 2 | 306 |
| | Глава 1 § 3 | 320 |
| | Глава 2 § 1 | 331 |
| | Глава 2 § 2 | 351 |
| | Глава 2 § 3 | 358 |
| | Глава 2 § 4 | 373 |
| | Глава 2 § 5 | 388 |
| | Глава 3 § 1 | 402 |
| | Глава 3 § 2 | 415 |
| | Глава 3 § 3 | 427 |
| | Глава 4 § 1 | 438 |
| | Глава 4 § 2 | 450 |
Фоменко Анатолий Тимофеевич Академик Российской академии наук, действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.
