| Предисловие | 7
|
| Глава 1. Полиэдры. Симплициальные комплексы. Гомологии | 11
|
| 1. Полиэдры | 11
|
| 1.1. Вводные замечания | 11
|
| 1.2. Понятие n-мерного симплекса. Барицентрические координаты | 15
|
| 1.3. Полиэдры. Симплициальные подразделения полиэдров. Симплициальные комплексы | 18
|
| 1.4. Примеры полиэдров | 20
|
| 1.5. Барицентрическое подразделение | 25
|
| 1.6. Комментарий к наглядному материалу | 27
|
| 2. Группы симплициальных гомологий симплициальных комплексов (полиэдров) | 32
|
| 2.1. Симплициальные цепи | 32
|
| 2.2. Граница цепи | 34
|
| 2.3. Простейшие свойства оператора границы. Циклы. Границы | 36
|
| 2.4. Примеры вычисления оператора границы | 37
|
| 2.5. Группы симплициальных гомологий | 39
|
| 2.6. Примеры вычисления групп гомологий. Гомологии двумерных поверхностей | 41
|
| 2.7. Комментарий к наглядному материалу | 54
|
| 3. Общие свойства групп симплициальных гомологий. Некоторые методы вычисления групп гомологий | 58
|
| 3.1. Матрицы инциденций | 58
|
| 3.2. Метод вычисления групп гомологий при помощи матриц инциденций | 59
|
| 3.3. "Следы" клеточных гомологий внутри симплициальных | 64
|
| 3.4. Цепная гомотопия. Независимость симплициальных гомологий полиэдра от выбора триангуляции | 67
|
| 3.5. Комментарий к наглядному материалу | 73
|
| Глава 2. Многообразия малой размерности | 75
|
| 1. Некоторые основные понятия дифференциальной геометрии | 75
|
| 1.1. Координаты в области. Преобразования криволинейных координат | 75
|
| 1.2. Понятие многообразия. Гладкие многообразия и способы их задания. Многообразия с краем. Касательное пространство и касательное расслоение | 80
|
| 1.3. Ориентируемость и неориентируемость. Дифференциал отображения. Регулярные и правильные точки. Вложения и погружения многообразий. Критические точки гладких функций на многообразиях. Индекс невырожденных критических точек и функции Морса | 86
|
| 1.4. Векторные и ковекторные поля. Интегральные траектории. Коммутатор векторных полей. Алгебра Ли векторных полей на многообразии | 92
|
| 1.5. Комментарий к наглядному материалу | 94
|
| 2. Наглядные свойства одномерных многообразий | 100
|
| 2.1. Изотопии, оснащения | 100
|
| 2.2. Комментарий к наглядному материалу | 104
|
| 3. Наглядные свойства двумерных многообразий | 106
|
| 3.1. Двумерные многообразия с краем | 106
|
| 3.2. Примеры двумерных многообразий | 108
|
| 3.3. Моделирование проективной плоскости в трехмерном пространстве | 112
|
| 3.4. Две серии двумерных замкнутых многообразий | 119
|
| 3.5. Классификация замкнутых 2-многообразий | 126
|
| 3.6. Выворачивание двумерной сферы наизнанку | 130
|
| 3.7. Комментарий к наглядному материалу | 131
|
| 4. Чем отличаются друг от друга разные двумерные многообразия? Группы когомологий и дифференциальные формы | 136
|
| 4.1. Дифференциальные 1-формы на гладком многообразии | 136
|
| 4.2. Замкнутые и точные формы на двумерном многообразии | 137
|
| 4.3. Важное свойство групп когомологий | 138
|
| 4.4. Прямое вычисление групп одномерных когомологий одномерных многообразий | 140
|
| 4.5. Прямое вычисление групп одномерных когомологий плоскости, двумерной сферы и тора | 142
|
| 4.6. Прямое вычисление групп одномерных когомологий ориентированных поверхностей, т.е. сфер с ручками | 149
|
| 4.7. Алгоритм распознавания двумерных многообразий. Элементы компьютерной двумерной геометрии | 152
|
| 4.8. Вычисление эйлеровой характеристики поверхности при помощи триангуляции | 154
|
| 4.9. Комментарий к наглядному материалу | 155
|
| 5. Наглядные свойства трехмерных многообразий | 159
|
| 5.1. Разбиение (или диаграмма) Хегора | 159
|
| 5.2. Примеры трехмерных многообразий | 162
|
| 5.3. Эквивалентность разбиений Хегора | 164
|
| 5.4. Спайны | 165
|
| 5.5. Специальные спайны | 169
|
| 5.6. Фильтрация 3-многообразий по сложности | 172
|
| 5.7. Упрощение специальных спайнов | 176
|
| 5.8. Применение ЭВМ в трехмерной топологии. Перечисление многообразий в порядке возрастания сложности | 180
|
| 5.9. Сложность 3-многообразий и склеивание симплексов | 191
|
| 5.10. Комментарий к наглядному материалу | 194
|
| Глава 3. Наглядная симплектическая топология и механика | 197
|
| 1. Некоторые понятия гамильтоновой геометрии | 197
|
| 1.1. Гамильтоновы системы на симплектических многообразиях | 197
|
| 1.2. Инволютивные интегралы и торы Лиувилля | 200
|
| 1.3. Отображение момента интегрируемой системы | 203
|
| 1.4. Перестройка торов Лиувилля при критических значениях интеграла | 204
|
| 1.5. Комментарий к наглядному материалу | 208
|
| 2. Качественные вопросы геометрического интегрирования некоторых дифференциальных уравнений. Классификация простых перестроек торов Лиувилля интегрируемых систем с морс-боттовскими интегралами | 211
|
| 2.1. Морс-боттовские интегралы | 211
|
| 2.2. Классификация простых, невырожденных перестроек торов Лиувилля | 213
|
| 2.3. Топологическая структура критических уровней | 219
|
| 2.4. Примеры из механики. Уравнения движения твердого тела. Сфера Пуассона. Геометрическое истолкование механических систем | 221
|
| 2.5. Пример исследования механической системы. Система Лиувилля на плоскости | 222
|
| 2.6. Комментарий к наглядному материалу | 224
|
| 3. Трехмерные многообразия и наглядная геометрия изоэнергетических поверхностей интегрируемых систем | 226
|
| 3.1. Одномерный граф как диаграмма изоэнергетической поверхности | 226
|
| 3.2. Какие известные многообразия встречаются среди изоэнергетических поверхностей? | 229
|
| 3.3. Простейшие изоэнергетические поверхности (с краем) | 237
|
| 3.4. Любая изоэнергетическая поверхность интегрируемой морс-боттовской системы распадается в сумму элементарных кирпичей пяти (или двух) типов | 240
|
| 3.5. Новые топологические свойства класса изоэнергетических поверхностей | 241
|
| 3.6. Об одном применении компьютеров в симплектической топологии | 244
|
| 3.7. Комментарий к наглядному материалу | 246
|
| Глава 4. Наглядные образы в некоторых других областях геометрии и ее приложений | 249
|
| 1. Наглядная геометрия мыльных пленок. Минимальные поверхности | 249
|
| 1.1. Границы раздела физических сред и минимальные поверхности | 249
|
| 1.2. Некоторые примеры минимальных поверхностей | 252
|
| 1.3. Комментарий к наглядному материалу | 255
|
| 2. Фрактальная геометрия и размерность | 258
|
| 2.1. Различные понятия размерности | 258
|
| 2.2. Фракталы | 261
|
| 2.3. Комментарий к наглядному материалу | 262
|
| 3. Наглядная компьютерная геометрия в теории чисел | 267
|
| Список литературы | 276
|
| Наглядный материал | 281
|
| Глава 1 1 | 283
|
| Глава 1 2 | 306
|
| Глава 1 3 | 320
|
| Глава 2 1 | 331
|
| Глава 2 2 | 351
|
| Глава 2 3 | 358
|
| Глава 2 4 | 373
|
| Глава 2 5 | 388
|
| Глава 3 1 | 402
|
| Глава 3 2 | 415
|
| Глава 3 3 | 427
|
| Глава 4 1 | 438
|
| Глава 4 2 | 450
|
Фоменко Анатолий Тимофеевич Академик РАН, действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.
