Колесниченко А.В. Континуальные модели природных и космических сред:
Проблемы термодинамического конструирования. №79

Оглавление

Вечные проблемы и новые решения

Удивительные вещи часто случаются внезапно. В полной мере это относится к той важной, интересной и долгожданной книге, которую вы держите в руках. Бегло пролистав еñ страницы, читатель рискует не увидеть за деревьями леса и не осознать, что это его книга. Чтобы этого не произошло, стоит дать несколько коротких комментариев.

Книга природы и язык математики

На одной из лекций студент задал мне странный вопрос: "Математика – огромная страна, в которой очень много всего. Что вы считаете еñ самой высокой вершиной, главным достижением?" На первый взгляд, кандидатов очень много – это и сам аксиоматический метод, введñнный Евклидом, и поразительные результаты теории чисел с еñ теоремой Ферма, и удивительная работа Тьюринга, в которой "на кончике пера" был открыт принцип создания современных компьютеров.

Но по некотором размышлении понимаешь, что в течение последних 25 веков исследователей, занимавшихся математикой, вело вперед не только стремление к красоте и внутренней гармонии. Это не только интеллектуальная свобода, на которую обратил внимание Г.В.Лейбниц, назвавший математику "наукой о возможных мирах". Было и нечто иное, не менее важное.

Отойдñм чуть дальше. Большое видится на расстоянии. Цель всей науки – понимание и прогноз. Эйнштейну принадлежит парадоксальная мысль о том, что мы не хотим ничего знать, но хотим всñ понимать. Но что такое "понимать"? Как правило, "понимание" сводится к построению материальной, мысленной или формальной конструкции, которая отражает наиболее важные причинно-следственные связи того процесса или объекта, в котором мы хотим разобраться, и поведение которой нам понятно. Такую конструкцию принято называть моделью.

Математику, даже в еñ самых абстрактных разделах, почти невозможно отделить от моделирования. Она оказалась прекрасным инструментом для моделирования, способным помочь понять нашу реальность или внести в неñ нечто новое. Этот аспект математики, который и предопределил еñ взлñт, очень точно выразил один из создателей квантовой механики Евгений Вигнер в статье с красноречивым названием "Непостижимая эффективность математики в естественных науках". "Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остаñтся лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы".

Интересно, что многие "чистые математики" думают точно так же. Выдающийся специалист по теории динамических систем, академик В.И.Арнольд рассматривал всю математику как часть физики. Он связывал главные успехи математических наук в XX веке в целом с задачами, возникшими в наиболее важных приложениях – расчñтах траекторий ракет и космических аппаратов, проектировании самолñтов и кораблей, в криптографии. С этой точки зрения, самой высокой вершиной математики на сегодняшний день является удивительно точный лаконичный ясный язык. Благодаря этому языку известные нам законы природы можно выписать на нескольких страницах из школьной тетради. Вершина нашей культуры – уравнения механики сплошных сред, законы электродинамики, уравнение Шрñдингера – записываются в несколько строк.

В основе этого языка лежит основополагающая идея Исаака Ньютона о введении в рассмотрение бесконечно малых величин, представления о мгновенной скорости и дифференциальных уравнений, в которых эти сущности фигурируют. Единственное открытие, которое Ньютон счñл необходимым зашифровать в виде анаграммы, звучало так: "Полезно изучать дифференциальные уравнения". Великий учñный был прав – выдающиеся успехи естествознания в последующие три века оказались связаны с развитием и использованием этого языка.

На мой взгляд, следующий принципиальный шаг после Ньютона, предложившего общую схему описания природы и, по сути, создавшего математическую физику, был сделан Эйлером, Лапласом, Фурье. Этот шаг – изобретение или, точнее сказать, открытие уравнений в частных производных, которые позволили описывать процессы развивающиеся во времени и пространстве, и строить модели сплошных сред. В таких средах можно говорить о температуре, давлении или скорости бесконечно малого объñма жидкости или газа.

Любая модель – это схематизация, упрощение, инструмент для того, чтобы понять и посчитать. Конечно, мир состоит из атомов, которые движутся хаотическим образом, сталкиваются, рассеиваются. Но сама возможность приписать данной точке среды набор нескольких чисел, совершенно неочевидная, привела к удивительно плодотворному упрощению и огромному семейству замечательных моделей. Не стоит спорить о приоритетах. Видимо, ещñ Ньютон размышлял в подобном стиле, вычисляя скорость распространения звука в воздухе. И эту ньютоновскую формулу, дающую заниженное значение, уточнял Лаплас, работавший в наполеоновскую эпоху.

Законы природы, за небольшим исключением, мы сегодня записываем на языке теории уравнений в частных производных, которые сами по себе являются одним из выдающихся достижений нашего разума.

Это кажется настолько ясным, очевидным и привычным, что иные точки зрения, которые, безусловно, имеют право на существование, воспринимаются как несбыточные и парадоксальные. Например, одна из них представлена в интересной и очень красивой книге К.Пиковера "Великая математика". В ней уравнения в частных производных и модели сплошных сред вообще не упоминаются. Исключением, имеющем отношение к уравнениям в частных производных, являются функции Бесселя (аналог синуса в цилиндрических координатах), введñнные в 1817 году и возникающие во множестве задач математической физики.

Тем не менее, вероятно, большинство сотрудников Института прикладной математики им. М.В.Келдыша, в котором прошла большая часть творческой жизни автора этой книги, согласятся с тем, что именно теория дифференциальных уравнений и практика их использования и представляет вершину современного математического знания. Этот институт, пользующийся мировой известностью, сыграл принципиальную роль в двух самых важных научно-технических проектах XXI века – ядерном и космическом. И в обоих проектах основным типом математических моделей были динамические системы, определяющие движение изучаемых и проектируемых объектов в поле сил, а также различные модели сплошных сред. Поэтому построение таких моделей, ещñ не вошедших в учебники и находящихся на переднем крае науки, имеет особую важность.

В словесности можно выделить сообщество филологов, глубоко изучающих язык, и цех литераторов, представители которого пользуются языком и развивают его. Автор книги в одном лице совмещает лучшие черты обоих сословий. С одной стороны, им введñн целый "зоопарк" различных моделей сплошных сред, позволяющих описывать новые физические эффекты и дающие общий взгляд на то, что уже построено. С другой стороны, значительная часть книги посвящена тому, как и в каких случаях пользоваться появившимися благодаря усилиям автора новым возможностям математического языка.

Другими словами, в этой книге автор предлагает связку ключей и у читателя может быть дверь, к которой один из них подойдñт.

Синергетика и модели сплошных сред

Теория самоорганизации или синергетика (от греческого "совместное действие") во многом возникла как попытка понять процессы возникновения упорядоченности, а также хаотические, турбулентные режимы в сплошных средах.

Биографы выдающегося физика, создателя квантовой электродинамики, нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана часто обращают внимание на примечательный эпизод – его разговор с журналистом. Последний поинтересовался, что такое электромагнитное поле.

– Это просто шесть чисел в каждой точке пространства. Вам это ясно?

– Да, вполне.

– А я так и не могу это себе представить, – посетовал выдающийся физик.

Беда не только в том, что мы не мыслим и не представляем бесконечного множества чисел (почти каждый математик с удовольствием расскажет об удивительных парадоксах бесконечного). Их не понимает и компьютер, для которого с языка непрерывных функций, дифференциальных уравнений, приходится "переводить" используемые модели на более простой дискретный язык, позволяющий вычислительным машинам, проводя расчñты, оперировать с конечным множеством чисел, тем не менее, дающим представление о том, что происходит в непрерывном мире.

Сам процесс возникновения упорядоченности, появления структур, формирование турбулентных течений можно рассматривать как некоторое упрощение изучаемой системы, происходящее в природе, а не только в нашем сознании. В результате этого упрощения из множества возможностей сложная система "выбирает" одну. Из бесконечного числа степеней свободы в процессе эволюции выделяется их конечное множество, которое "подчиняет" себе все остальные.

Ведущие переменные, которые со временем начинают определять динамику всех остальных, следуя физической традиции, часто называют "параметрами порядка".

Переход от бесконечного количества чисел к конечному набору параметров порядка – уже огромное упрощение и важный шаг к пониманию процессов в сплошных средах.

В каждой новой теории собственно новым поначалу оказывается сама идея, взгляд на предмет, расстановка акцентов, иногда новые понятия. Сам математический аппарат, модели, которые изучаются, методы анализа поначалу остаются прежними. Именно так и произошло с синергетикой.

В 1952 году выдающийся математик, криптограф, один из основоположников компьютерных исследований Алан Тьюринг опубликовал удивительную, не понятую коллегами работу. В ней он высказал и обосновал гипотезу о том, что важнейший биологический процесс – клеточная дифференцировка, в ходе которой клетки приобретают специализацию – может быть связан с появлением структур в некоторой сплошной среде. Однако при этом он писал простейшие уравнения, описывающие химические реакции в некоторой гипотетической системе и процессы диффузии в одномерном приближении. Для их изучения он использовал стандартные методы линейного анализа, показывающие при каких условиях в изучаемой системе возникает неустойчивость. Сами нелинейные уравнения, не имея доступа к компьютеру, Тьюринг численно решал с помощью логарифмической линейки. Однако скромность использованных средств совершенно не помешала ему получить основополагающий результат. В настоящее время библиография работ, в которых изучаются структуры в различных системах типа реакция-диффузия, исчисляются десятками тысяч.

Точно так же, с помощью известных уравнений гидродинамики сжимаемой жидкости, осуществлялось моделирование ячеек Бенара – упорядоченности возникающей в результате конвекции в подогреваемом снизу слое жидкости, которые экспериментально были открыты в 1904 году.

По такому же пути шли учñные Института прикладной математики (ИПМ), открывая с помощью вычислительного эксперимента двери в мир нелинейных явлений и пользуясь при этом классическими математическими моделями. Научные интересы моих коллег во многом были связаны с задачами теории горения и взрыва, с проблемами физики плазмы, с вопросами эволюции галактик и формирования планетных систем, с моделированием атмосфер планет. Огромный вклад в "космическую тематику" института был внесñн автором этой книги и его соавтором и учителем, академиком М.Я.Маровым.

И построение новых моделей, и выбор из существующего арсенала – дело отнюдь не простое. В процессе исследования нужно установить, что следует учесть, а чем можно пренебречь. В историю вошñл проект выдающегося математика и механика, одного из первых академиков Санкт-Петербургской академии наук и искусств, основанной Петром I в 1724 году, Леонарда Эйлера. Король Фридрих обратился к учñному с просьбой рассчитать фонтаны в его дворце. Эйлер взялся за эту работу и в ходе еñ вывел замечательную модель гидродинамики – уравнения Эйлера. Однако фонтаны не заработали – в построенной модели не была учтена вязкость. Это явление учñные начнут всерьñз изучать и научатся описывать математически почти через столетия после основополагающих работ Леонарда Эйлера. Можно сказать, что поставленная королñм Фридрихом задача опередила своñ время, и такая ситуация – не редкость.

Я застал время в 1970–1980-х годах, когда на научных семинарах в ИПМ вновь и вновь звучали слова докладчиков о том, что плазма с возникшими в ней структурами радикально отличается по своим свойствам от привычной, слабо возмущñнной сплошной среды, и что нужны новые модели.

Примерно такие же упрñки адресовались и к синергетике в целом, – "у неñ нет новых моделей, а сама она похожа на лоскутное одеяло, собранное из известных фрагментов, взятых из математики, физики и химии". И вначале эти упрñки действительно были оправданы. Достаточно пролистать книги основоположников синергетики – И.Р.Пригожина (Нобелевская премия по химии 1977 года), Г.Хакена (который и ввñл сам термин "синергетика"), многих отечественных исследователей, чтобы убедиться – использовавшиеся ими математические модели сплошных сред были вполне традиционны.

На упрñки в традиционности моделей мой учитель, выдающийся специалист в области прикладной математики, член-корр. РАН С.П.Курдюмов обычно отвечал: "Смотрите не на форму, а на содержание. Новые математические методы и в старых задачах дают поразительные результаты. Мы "подтаскиваем" математический аппарат для будущих нелинейных теорий. А новые модели со временем появятся!"

Эта книга является прекрасным доказательством того, что оптимизм моего учителя и многих тысяч учñных, занимавшихся междисциплинарными исследованиями, оказался оправдан!

В данной книге представлен целый "зоопарк" новых математических моделей нелинейных сплошных сред, которые являются "синергетическими" не только по существу (по тем вопросам, которые с их помощью можно разрешить), но и по форме.

На заре развития синергетики в 1980-х годах был поставлен принципиальный вопрос – на каком пути будут строиться новые модели для этого междисциплинарного подхода.

Первый путь можно назвать редукционистским. Вначале строится большая сложная модель, включающая описание процессов на микроуровне. Например, в нашем случае это уравнение Больцмана, которое опирается на знание потенциала взаимодействия между молекулами изучаемого газа или жидкости. И затем шаг за шагом, принимая различные упрощающие ситуацию гипотезы, мы приходим к модели той минимальной сложности, с помощью которой мы можем изучать исследуемые процессы.

Этот путь, мыслившийся как магистральный, выдающийся математик, философ, мыслитель академик Н.Н.Моисеев назвал построением иерархии упрощñнных моделей. По счастью, физика является наукой, во многих разделах которой построение такой иерархии возможно и уже осуществлено. Это отличает еñ от многих других областей знания.

Этот взгляд особенно близок математикам, которые надеются с помощью предельных переходов или в предположении, что одни параметры малы, а другие велики, либо с помощью других формальных переходов получать новые содержательные модели и таким образом развивать или дополнять уже построенную иерархию. Иногда на этом пути удаñтся получать содержательные модели, но отнюдь не всегда. Успех не гарантирован.

Многие замечательные модели не были выведены, а были угаданы. Наверно, самый яркий пример – уравнение Шрñдингера – главная математическая модель квантовой механики. Автор сделал несколько попыток предложить модель и схему описания процессов в микромире. И одна из них превзошла самые смелые ожидания и в конце концов вошла в учебники. Однако попытки действовать подобным образом в других областях не привели к успеху ни Гейзенберга, ни Эйнштейна, которые двигались подобным путñм в течение нескольких десятилетий.

Наконец, иногда случается так, что в задаче не удаñтся выделить ни малый, ни большой параметр. С этим, например, связаны трудные проблемы, возникающие при моделировании процессов самоорганизации на наномасштабах. Для макроскопических теорий кластеры, состоящие из нескольких десятков или сотен атомов, слишком малы. А для квантовомеханического описания слишком велики. И разумного, наглядного, ясного компромисса пока найти не удаñтся и поэтому эксперимент здесь намного опережает теорию.

Автор этой книги идñт путñм, который наметили Онзагер, Пригожин, другие исследователи, которые шли не по пути редукционизма и развития иерархии упрощñнных моделей. Профессор А.В.Колесниченко идñт по пути построения нелинейной неравновесной термодинамики и еñ различных обобщений. Если первый путь можно было бы назвать формальным, то второй конструктивным или романтическим. Автор книги надеется, что общие термодинамические соображения позволяют строить глубокие, содержательные модели и в тех областях, где их до этого не применяли, либо настолько упрощали физические ситуации, что "ребñнок оказывался вылит вместе с водой". А.В.Колесниченко удалось очень далеко продвинуться по "термодинамическому пути". И, на мой взгляд, это очень сильная сторона книги. Глубокие оригинальные модели, рассмотренные в книге, показывают, что нелинейная неравновесная термодинамика, на создание которой надеялись основоположники синергетики, является не иллюзией, а реальностью, данной нам в наборе построенных математических моделей сплошных сред.

Единое во многом

Пожалуй, все научные (да и не только научные) книги можно разделить на два больших класса. Первые написаны для самого автора. Иногда их пишут, чтобы привести в порядок свои мысли, иногда, чтобы помочь другим (да и себе) осознать важность и значимость своих трудов и размышлений, иногда просто потому, что в самом процессе письма есть своя прелесть и удовольствие. Один из таких авторов, внимание которого я обратил на то, что вместо нескольких страниц сложных и очевидных выкладок время от времени употребляет изящный оборот "легко видеть что", что может быть не вполне удобно для читателя, ответил замечательной фразой: "Умный и так поймñт, а на других читателей я не рассчитываю".

Другой класс книг "ориентирован на читателя". В них автор полагает, что читатель шаг за шагом будет взбираться на предложенную автором вершину и не грех ему в этом помочь. Он готов встать на позицию тех, кто будет читать его труд, и всерьñз отнестись к мнению людей, которые обращают внимание на пропасти, через которые проходит путь и которые не удаñтся преодолеть ни в один ни в два прыжка.

Автор настоящей книги постарался написать еñ "для читателей", и во многих главах справился с этой нелñгкой задачей, терпеливо выслушивая и учитывая замечания, пожелания и предложения коллег.

Очень удачно написана первая глава. Выкладки, порой весьма громоздкие, проведены подробно (хотя в ряде случаев стоило бы сделать их ещñ подробнее), вводимые обозначения пояснены и требования, предъявляемые к догадливости читателя, к его физической и математической интуиции, вполне разумны. За три века (без малого) развития механики сплошных сред (историки говорят, что начало этой области знания с использованием аппарата уравнений в частных производных положил ещñ Леонард Эйлер) уравнения этой теории писали в самых разных видах и выводили множеством различных способов. В своей книге А.В.Колесниченко имеет в виду их обличье, наиболее удобное для обобщения.

В своñ время выдающийся физик и блестящий педагог Ричард Фейнман сетовал на то, что в течение нескольких столетий усилия учñных были сосредоточены на описании "сухой" воды, простейших установившихся, упорядоченных, ламинарных течениях. Свойства "мокрой воды" и описание хаотических, турбулентных движений гораздо сложнее и интереснее, и работы по их анализу до сих пор находятся на переднем крае науки. Здесь, как правило, использование суперкомпьютеров, сверхмощных кластеров приводит к весьма скромным успехам и не может заменить понимания явления, неразрывно связанного с построением новых математических моделей.

Сейчас, вероятно, имеет место схожая ситуация – огромные усилия уже были вложены в описание и исследование сплошных сред, состоящих из частиц одного сорта, в которых нет химических превращений. Однако сплошь и рядом мы имеем дело с многокомпонентными системами: от атмосферы и стакана молока до газопылевого облака и той воды, что течñт из крана. Здесь есть и множество частиц разных типов (многокомпонентность) и разнообразны превращения и, конечно, своя турбулентность. Модели для описания таких сущностей строятся во второй и третьей главах.

Очень удачным представляется методический приñм использованный автором – введение и заключение для каждой главы и конкретный пример модели, которая конструируется на основе проведñнного анализа, помещñнная в конце главы.

Основная идея, реализованная в этих главах, является классической – разделение течения в смеси на более медленное, регулярное, и быстрое, хаотическое, турбулентное. Вечная проблема состоит в том, как связать эти части, замкнуть системы возникающих уравнений. Реализация новых идей для случая смесей, в которых могут идти химические реакции, и является одним из главных достижений автора книги.

Четвертая глава книги посвящена излюбленному объекту исследования автора и всего Института прикладной математики – плазме. И с этим четвертым состоянием вещества мы встречаемся повсюду от пламени свечи и газоразрядных ламп до Солнца и далñких звñзд. Магнитная гидродинамика намного сложней обычной и интуиция здесь может подсказать немного. Обычно начинающих удивляет наличие трñх скоростей звука в сплошных проводящих средах. И, конечно, тут тоже есть турбулентность. А.В.Колесниченко развивает классический подход к моделированию сжимаемой плазмы в магнитогидродинамическом одножидкостном приближении, опираясь на классический подход Рейнольдса, основанный на осреднении изучаемых уравнений по ансамблю тождественных систем (возможных реализаций турбулентного течения).

На мой взгляд, предложенные в этой главе модели ещñ ждут своих исследователей.

Вероятно, самые важные и интересные результаты работы представлены в 5-й и 6-й главах книги и связаны с новыми подходами к "вечной проблеме" – описанию турбулентности.

В частности, здесь строятся модели "двухжидкостной турбулентности", исходящие из предположения, что течение определяется взаимодействием двух открытых подсистем. Первая связана с осреднñнным движением для мгновенных движений одножидкостной среды и подсистемы турбулентного хаоса. Этот взгляд позволяет решить вечную проблему описания турбулентности – осуществить физически обоснование и математически конкретное замыкание системы получаемых уравнений.

Всех, кому довелось в натурном или вычислительном эксперименте изучать турбулентность, удивляет, насколько упорядоченным является этот процесс, несмотря на его кажущуюся хаотичность. По мнению И.Р.Пригожина, переход от ламинарного течения к турбулентному является результатом самоорганизации. Более того, замечательный учñный, профессор МГУ им.М.В.Ломоносова Ю.Л.Климонтович, многие годы руководивший семинаром по синергетике на физическом факультете, полагал, что турбулентное движение в определñнном смысле по ряду критериев более упорядочено, чем ламинарное.

Всñ чаще в литературе обсуждаются когерентные вихревые структуры, определяемые как связные жидкие массы с завихрñнностью, скоррелированной по фазе (т.е. когерентной) во всей области фазового пространства, занимаемой структурой. К таковым относят "вихревые нити", "вихри Тейлора", "турбулентные пятна". Мне довелось изучать так называемую "жñсткую турбулентность" – режим, при котором иногда на турбулентном хаотическом фоне стремительно возникают гигантские пики и затем распадаются, возвращая систему к турбулентному фону.

Удивительно, что близкие мысли и проблемы появляются у разных учñных, занимающихся различными проблемами, и более того – они формулируют их сходным образом. Мой учитель С.П.Курдюмов любил рассказывать о шоке, который испытал он и коллеги после того как на русском языке вышла книга П.Гленсдорфа и И.Пригожина. "Невольно возникла мысль, что или они у нас списали, или мы у них. И дело даже не только, что идеи были близки, но и многие постановки задач и формулировки почти совпадали".

Турбулентность играет очень важную роль в физике плазмы и ещñ на заре вычислительного эксперимента сотрудник ИПМ, профессор Л.М.Дегтярев выполнил пионерские работы посвящñнные коллапсу ленгмюровских волн и ленгмюровской турбулентности – важным типам неустойчивостей, изучение которых требует и глубокого понимания физических процессов, и масштабных компьютерных расчетов.

В научной школе сотрудника ИПМ, профессора Ю.С.Сигова, было осознано, что самоорганизация может происходить не только в обычном физическом пространстве, но и в пространстве скоростей. Изучение таких неустойчивостей и связанных с их развитием турбулентных движений потребовало исследования кинетических уравнений – очень сложных моделей, эффективных алгоритмов, использования суперкомпьютеров. И эта работа продолжается.

Исследование турбулентности и с точки зрения фундаментальной науки, и в контексте многих очень важных приложений активно ведñтся в тысячах научных центров мира.

И, тем не менее, среди этого потока идей, результатов, моделей, расчñтов А.В.Колесниченко предложил глубокий, оригинальный, блестящий подход. Традиционный подход связан с разделением описываемых движений жидкости на медленную, регулярную часть и быструю хаотическую. Вопрос состоит обычно в том, как связать эти две разные составные части содержательно с физической точки зрения и корректно с математической.

А.В.Колесниченко пошñл дальше, – он, следуя идее И.Р.Пригожина и подходу синергетики, разделил движение не на две, а на три части. Он добавил третью часть, которая описывает турбулентные структуры, которые мы вспоминали выше. Удивительно красивая идея! Полученная в результате еñ реализации модель, на мой взгляд, заслуживает самого внимательного анализа и активного использования.

Кто-то из создателей квантовой механики заметил, что в начале своего развития научное направление гораздо богаче идеями, чем после того, как оно состоится, "отредактирует" лишнее и возьмет самое главное, простое и логичное. Поэтому судьба исследователя – "творить, выдумывать, пробовать", "придумывать впрок".

В седьмой главе строятся новые модели фильтрации многофазных сред. Очевидный пример таковых – нефть в пласте, вытесняемая водой. На мой взгляд, эта проблема настолько важна и обширна, что она заслуживает отдельной книги.

В восьмой главе развивается популярная сейчас идея – строить модели с дробными производными. В одном случае их интерпретируют как способ учесть фрактальную структуру области, в которой происходят физические процессы (например, система пор), в другой, как автор этой книги, таким образом учитывают "память" рассматриваемой нелинейной среды.

Уравнение с дробными производными – очень сложный объект. Вместо привычных частных производных мы имеем интегро-дифференциальный оператор. В работе с такими сущностями во-первых не хватает интуиции, а во-вторых их очень трудно считать численно. Наконец, в-третьих, "математический фрактал" (в котором есть все масштабы, вплоть до самых малых) и "физический фрактал" (в котором диапазон масштабов ограничен, как сверху, так и снизу) очень существенно отличаются. И неизбежно встаñт вопрос, как и насколько адекватно второй может аппроксимировать с помощью первого.

Автор предлагает рассматривать обобщение классического уравнения Колмогорова–Фокера–Планка с дробной производной по времени, чтобы описывать память среды.

На мой взгляд, в этом анализе математики гораздо больше, чем физики. Эта глава, как и многие другие труды последних лет, посвящñнные уравнениям математической физики с нецелыми производными, не дают ответа на главный вопрос – стоит ли овчинка выделки. Оправдан ли такой сложный путь описания физических процессов? Возможно, это дело будущего.

Заключительная глава посвящена "информационному управлению" процессами в сплошных средах. Кто-то из великих советовал исследователям придумывать новые слова. И действительно, такие термины как "фрактал", "аттрактор", "турбулентность", "динамический хаос" аккумулируют идеи, представления, модели, образы, эксперименты, играют конструктивную роль.

Но в таких обобщениях есть и риск. Его продемонстрировал ещñ основоположник философии Фалес, заявивший: "Всñ есть вода..." Но если всñ вода, то о чем же ещñ говорить? Один из создателей кибернетики Клод Шеннон, имея в виду этот риск, настойчиво и систематически возражал против слишком широкой трактовки термина "информация".

В настоящее время термином, который начинает трактоваться предельно широко, является "информационное управление". Последняя глава книги А.В.Колесниченко также посвящена "информационному управлению". Мне довелось застать время, когда копья ломались вокруг этого термина, введñнного заведующим лабораторией Института проблем управления им.В.А.Трапезникова профессором В.В.Кульбой, и поучаствовать в этих бурных дискуссиях. В их основе лежало стремление чñтко разделить принципы и алгоритмы управления техническими системами и социально-экономическими и социально-технологическими объектами. Например, можно обратить внимание на следующее принципиальное отличие. Для первого класса систем и цели управления, и критерии оценки его качества остаются неизменными, и это очень многое упрощает, позволяя пользоваться аппаратом вариационного исчисления, развитого в контексте анализа математических моделей естествознания. Здесь для объекта управления какая-либо информация о его состоянии избыточна и бесполезна – еñ некому использовать. С информацией здесь имеет дело субъект, фиксирующий цели и критерии.

В социально-экономических системах ситуация совершенно иная. Информация о состоянии объекта может и должна менять критерии и цели управления (которые обычно не остаются неизменными, а меняются в ходе эволюции системы). С другой стороны, информация, сообщаемая объекту, может изменить его состояние, и тем самым его положение в фазовом пространстве. На этом уровне сложности сама информация становится инструментом (и иногда очень важным) управления. Именно с таких позиций и отстаивалась концепция информационного управления в острых дискуссиях, как с гуманитариями, так и с представителями классического подхода к управлению.

В 9-ой главе настоящей книги с новых оригинальных позиций рассматривается взаимодействие двух систем. Параметры внешней системы при этом существенно влияют на состояние внутренней. Но обе системы при этом – газы – излюбленный объект термодинамики и статистической физики. Они не могут ни "запомнить" воздействие, ни отреагировать на него альтернативными способами.

Наверно, здесь коллег уже много лет вводит в заблуждение аналогия формулы для энтропии, введñнной Людвигом Больцманом, и формулы для информации, предложенной Клодом Шенноном для анализа передачи данных по каналам связи вне смысла того, что же передаñтся.

Но в информационном управлении, как его сейчас после многочисленных споров понимают, именно смысл и является центральным моментом для сложных систем, способных к рефлексии. Более того, этот смысл может быть различным, в зависимости от того, кто передаñт, и кто принимает данные.

В наибольшей степени эту грань проблемы отражает динамическая теория информации, основы которой были заложены сотрудниками Физического института им.П.Н.Лебедева и профессором биологического факультета МГУ им.М.В.Ломоносова Д.С.Чернавским. В центре этой теории находится представление о ценной информации, получение которой повышает вероятность объекта выжить в ходе конкурентной борьбы и при изменении внешних условий.

Вполне возможно, что в следующих изданиях книги, которую вы держите в руках, терминология, используемая в последней главе, будет существенно изменена. (Впрочем, как писал Шекспир: "Ведь роза пахнет розой, хоть розой назови еñ, хоть нет").

В том же, что будут следующие издания сомневаться не приходится. Книга и представленные в ней теории того стоят.

Об авторе

Колесниченко Александр Владимирович

Доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации. Заведующий отделом Института прикладной математики имени М. В. Келдыша РАН. Специалист в области механики сплошных сред, теории турбулентности, термодинамики необратимых процессов, планетных исследований и космогонии. Автор свыше 200 научных работ и 7 монографий.