Обложка Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений
Id: 210343
629 руб.

Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. Изд. стереотип.

URSS. 2016. 224 с. ISBN 978-5-397-05247-4.
  • Твердый переплет

Аннотация

Настоящая книга посвящена теории многозначных отображений и дифференциальных включений --- интенсивно развиваемой в последние десятилетия области математики, находящей многочисленные приложения в теории управляемых систем, теории оптимизации, негладком и выпуклом анализе, теории игр, математической экономике и других разделах современной математики. Книга содержит достаточно элементарное введение в общую теорию многозначных отображений,...(Подробнее) изложение теории неподвижных точек и топологической степени многозначных отображений, а также обзор основ теории дифференциальных включений. Особое внимание уделено подробному описанию приложений в области управляемых и обобщенных динамических систем, в теории игр и математической экономике. Работу завершают комментарии по библиографии и дополнения, обрисовывающие направления дальнейшего развития изложенных в ней вопросов.

Книга предназначена для научных работников, преподавателей, студентов, аспирантов и инженеров, интересующихся современными проблемами математики и ее приложениями.


Содержание
Из предисловия к первому изданию
Предисловие ко второму изданию
Глава 0. Предварительные сведения
Глава 1. Многозначные отображения
 1.1. Некоторые примеры
 1.2. Непрерывность многозначных отображений
  1.2.1. Малый и полный прообразы множества
  1.2.2. Полунепрерывность сверху и снизу, непрерывность, замкнутость
  1.2.3. Многозначные отображения в метрическое пространство
 1.3. Операции над многозначными отображениями
  1.3.1. Теоретико-множественные операции
  1.3.2. Алгебраические и другие операции
  1.3.3. Теорема максимума
 1.4. Непрерывные сечения и аппроксимации многозначных отображений
 1.5. Измеримые многозначные функции и мультиоператор суперпозиции
  1.5.1. Измеримые многозначные функции и многозначный интеграл
  1.5.2. Условия Каратеодори и лемма Филиппова
  1.5.3. Мультиоператор суперпозиции
Глава 2. Неподвижные точки и топологическая степень
 2.1. Неподвижные точки сжимающих мультиотображений
  2.1.1. Теорема Надлера
  2.1.2. Сжимающие мультиотображения, зависящие от параметра
  2.1.3. Уравнения с сюръективными линейными операторами
 2.2. Топологическая степень многозначных векторных полей
 2.3. Некоторые свойства множества неподвижных точек
 2.4. Теорема Браудера-Фана о неподвижной точке и вариационные неравенства
Глава 3. Дифференциальные включения и управляемые системы
 3.1. Дифференциальные включения. Некоторые примеры
 3.2. Теоремы существования и свойства множеств решений
 3.3. Периодические решения дифференциальных включений
 3.4. Управляемые системы
Глава 4. О некоторых приложениях
 4.1. Обобщенные динамические системы
  4.1.1. Общие свойства
  4.1.2. Точки покоя односторонних динамических систем
 4.2. О приложениях в теории игр и математической экономике
  4.2.1. Оптимальные стратегии в антагонистических играх
  4.2.2. Равновесие в модели конкурентной экономики
Библиографические указания и дополнения
Список литературы
Предметный указатель

Из предисловия к первому изданию
Ноша добродетели нелегка.
Закон добродетели

Если вы однажды что-то сделали правильно,
то кто-нибудь обязательно попросит вас сделать это еще раз.

Следствие закона добродетели

Настоящее издание является расширенным, дополненным и исправленным вариантом книги "Введение в теорию многозначных отображений", вышедшей в 1986 г. в издательстве Воронежского университета и давно уже ставшей библиографической редкостью. За истекшие неполные двадцать лет многозначный анализ и теория дифференциальных включений продолжали развиваться очень бурно, находя новые приложения и новых сторонников. Весьма эффективные применения идей и методов теории многозначных отображений и дифференциальных включений в некоторых разделах современной математики, таких как теория оптимизации, негладкий и выпуклый анализ, теория дифференциальных уравнений, теория игр, математическая экономика и других, стали общепризнанными. Несмотря на появившиеся за это время несколько монографий и огромное число других публикаций, идея небольшой книги, дающей достаточно элементарное введение в предмет как для "прикладников", так и для "теоретиков", начиная со студентов старших курсов и аспирантов, стала, пожалуй, еще более актуальной, и мы признательны профессорам П.П.Забрейко и В.А.Мильману и издательству "Едиториал УРСС" за предложение подготовить это издание.

Основному изложению предпослана нулевая глава, где приводятся необходимые определения и сведения, в основном, из топологии.

Первая глава книги начинается примерами, показывающими насколько естественно возникает идея многозначного отображения в различных областях математики. Далее описываются типы непрерывности многозначных отображений, различные операции над многозначными отображениями и их свойства. Затем определяется понятие непрерывного однозначного сечения многозначного отображения и доказывается классическая теорема Майкла о существовании непрерывного сечения. Вводится понятие однозначной аппроксимации многозначного отображения и доказывается соответствующая теорема существования. В отличие от первого издания, мы приводим аналоги данных утверждений для многозначных отображений с разложимыми значениями. Завершает первую главу описание свойств измеримых многозначных функций. Мы приводим здесь доказательство известной по своим приложениям в теории управления леммы Филиппова и подробно изучаем свойства многозначного оператора суперпозиции. Здесь новыми элементами является рассмотрение многозначных функций со значениями в банаховом пространстве, изложение свойств многозначного интеграла и свойств мультиоператора суперпозиции, порожденного полунепрерывным снизу мультиотображением.

Вторая глава посвящена теории неподвижных точек многозначных отображений. Мы приводим теорему Надлера -- многозначный аналог классического принципа Банаха неподвижной точки сжимающего отображения. По сравнению с первым изданием, мы добавили здесь рассмотрение сжимающих многозначных отображений, зависящих от параметра, топологической структуры множества неподвижных точек, приложений к уравнениям с сюръективными линейными операторами. Далее излагается теория относительной топологической степени компактных многозначных векторных полей в банаховом пространстве и даются ее приложения к доказательству ряда принципов неподвижной точки, включая известную теорему Какутани--Боненбласта--Карлина. Глава дополнена описанием топологических свойств множества неподвижных точек, теоремой Браудера--Фана о неподвижной точке и ее приложением к решению вариационных неравенств.

Вся третья глава отведена изучению дифференциальных включений и их приложений в теории управления. Этот раздел подвергся наиболее существенной переработке. Мы начинаем с ряда примеров, иллюстрирующих появление дифференциальных включений при описании управляемых систем, дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, в математической экономике. Затем, на базе развитых в предыдущей главе топологических методов, мы приводим теоремы существования решения задачи Коши для дифференциальных включений различных типов, дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и описываем свойства множеств решений. Систематическое применение теория топологической степени находит также и при исследовании периодической задачи для дифференциальных включений. Здесь выделим в качестве новых элементов рассмотрение случая полулинейного дифференциального включения и развитие метода направляющей функции. Далее мы изучаем вопрос об эквивалентности управляемых систем и дифференциальных включений и рассматриваем приложения к решению некоторых задач оптимизации.

Последняя глава посвящена приложениям в теории динамических систем, теории игр и математической экономике. Описываются основные свойства обобщенных динамических систем и их траекторий. Этот раздел дополнен вопросом о точках покоя динамических систем, который решается с помощью техники теории неподвижных точек. Последний раздел, отведенный приложениям к теоремам о равновесии в теории игр и математической экономике, является новым. В нем приводится общая теорема о точках равновесия в антагонистической игре и ее следствие для матричных игр. Рассматривается также вопрос о существовании равновесия в модели конкурентной экономики типа Эрроу--Дебре--Маккензи.

Книгу завершают комментарии по библиографии и дополнения, также написанные специально для настоящего издания. Необходимость литературных указаний особо подчеркивается тем обстоятельством, что по сравнению с первоначальным вариантом книги библиография существенно расширена. Дополнения кратко обрисовывают направления развития ряда разделов, описанных в настоящей работе.

Данная версия книги подготовлена Б.Д.Гельманом и В.В.Обуховским.


Предисловие ко второму изданию

Настоящее издание отличается от предыдущего следующими изменениями: исправлены замеченные опечатки и неточности, упрощены доказательства некоторых результатов, добавлен критерий полунепрерывности сверху многозначного отображения на языке последовательностей (см. Теорему 1.2.20). Расширен список литературы, в основном, за счет появившихся монографий, а также публикаций авторов за 2005--2010 годы. Соответствующим образом увеличились и библиографические указания.

Мы признательны профессору А.В.Арутюнову за полезные обсуждения.

К глубокому прискорбию, за время, прошедшее с момента выхода предыдущего издания, ушли из жизни Юрий Григорьевич Борисович и Анатолий Дмитриевич Мышкис. Нам хотелось бы посвятить это переиздание книги их светлой памяти.

Б.Гельман, В.Обуховский
Июнь 2010
<
Об авторах
Борисович Юрий Григорьевич

Доктор физико-математических наук, профессор, выдающийся специалист в области нелинейного анализа. Заслуженный деятель науки Российской Федерации, почетный академик Академии нелинейных наук. Окончил с отличием Казанский государственный университет. В 1963-2000 гг. заведовал созданной им кафедрой алгебры и топологических методов анализа математического факультета Воронежского государственного университета (ВГУ). Основал ведущую научную школу ВГУ «Топологические методы в нелинейном анализе». Был одним из организаторов и руководителей известных Воронежских зимних математических школ. Подготовил 32 кандидата и 9 докторов наук. Автор и соавтор более 250 научных и научно-методических работ, в том числе нескольких книг.

Yu. G. Borisovich, D. Sc. (Phys. and Math.) is a head of the Department of Algebra and Topological Methods in Analysis of Voronezh State University. His special interests are nonlinear functional analysis and fixed point theory. His publications include over one hundred scientific articles developing the ideas of J. Leray, J. Schauder, L. Lusternik and L. Schnirelman. Prof. Borisovich is the editor of a series entitled "New ideas in Global Analisis", which has aroused the considerable interest in the USSR and abroad.

Гельман Борис Данилович
Доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки РФ. Действительный член Академии нелинейных наук. Один из создателей и руководителей Воронежской школы топологических методов в нелинейном функциональном анализе. Автор свыше 200 научных работ, среди которых ряд монографий, а также известный учебник «Введение в топологию».
Мышкис Анатолий Дмитриевич
Известный отечественный математик. Окон­чил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный ра­ботник высшей школы. Заслуженный соросовский профессор. Дей­ствительный член Академии нелинейных наук. Область научных интересов: дифференциальные уравнения (обыкновенные и с част­ными производными), функционально-дифференциальные уравнения, методология приложений математики, математические проблемы механики. А. Д. Мышкис был официальным руководителем 36 защи­щенных кандидатских диссертаций; семеро из их авторов стали в дальнейшем докторами наук. Был официальным оппонентом 50 докторских и около 100 кандидатских диссертаций. Является автором и соавтором 17 книг, выдержавших 43 издания на 10 языках, 332 научных статей, 2 авторских свидетельств, 6 официально зарегистрированных рукописей, 67 методических публикаций, 304 информационных заметок, 13 статей в газетах и журнале; был редактором и переводчиком 16 книг.
Обуховский Валерий Владимирович
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и топологических методов анализа Воронежского государственного университета. Основное направление исследований — развитие и применение топологических методов нелинейного и многозначного анализа для изучения различных проблем, возникающих в теории систем, описываемых дифференциальными уравнениями и включениями в конечномерных и банаховых пространствах. Автор свыше 80 научных работ, в том числе трех монографий.

Страницы (пролистать)