Кудинов В.А., Кудинов И.В. Методы решения параболических и гиперболических уравнений переноса тепла, массы, импульса

Оглавление

Введение

Известно, что точные аналитические решения в настоящее время получены лишь для задач в упрощенной математической постановке, когда не учитываются многие важные характеристики процессов (нелинейность, переменность свойств и граничных условий и прочее). Все это приводит к существенному отклонению математических моделей от реальных физических процессов, протекающих в конкретных энергетических установках. К тому же, точные решения выражаются сложными бесконечными функциональными рядами, плохо сходящимися при малых значениях временной координаты. Такие решения малопригодны для инженерных приложений и особенно в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточным этапом решения каких-либо других задач (термоупругости, обратных задач, задач управления и др.). В связи с чем, большой интерес представляют методы прикладной математики, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных приложений. Эти методы позволяют значительно расширить круг задач, для которых могут быть получены аналитические решения, по сравнению с классическими методами. Отметим, что в ряде случаев они позволяют получать и точные аналитические решения, представляемые в форме бесконечных рядов [23, 24].

Классическим точным аналитическим методом применительно к решению краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса является метод разделения переменных (Фурье), который лежит в основе всей аналитической теории краевых задач переноса. Однако при его использовании возникает необходимость нахождения функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям краевой задачи, полученным после разделения переменных в исходном уравнении. Такие функции известны лишь для классических дифференциальных уравнений (Бесселя, Лежандра и др.). Собственные числа находятся из граничных условий краевой задачи путñм решения трансцендентных уравнений. При сложных дифференциальных уравнениях, когда неизвестны функции, удовлетворяющие им, трудности метода Фурье настолько возрастают, что во многих случаях он оказывается практически неприменимым.

В настоящей книге для решения краевых задач совместно с методом Фурье используются методы взвешенных невязок (ортогональный метод Бубнова–Галеркина). Важной особенностью является введение дополнительных граничных условий, необходимость которых объясняется появлением дополнительного неизвестного параметра, представляющего собственные числа краевой задачи, после разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении. Дополнительные граничные условия выводятся из основного дифференциального уравнения путñм его дифференцирования в граничных точках. Использование метода Бубнова–Галеркина позволяет находить высокой точности приближñнные аналитические решения для всех тех краевых задач, уравнения которых допускают разделение переменных. Такой подход значительно расширяет круг задач, решаемых с использованием метода Фурье, что связано с универсальностью метода Бубнова–Галеркина, при использовании которого на вид дифференциальных операторов не накладывается практически никаких условий. Это могут быть задачи с несимметричными и неоднородными граничными условиями первого, второго и третьего рода, с переменным начальным условием и физическими свойствами среды, задачи теплопроводности для многослойных конструкций и другие задачи.

Особое место среди приближенных аналитических методов, позволяющих получать аналитические решения на начальном участке временнуй (параболической) координаты, занимают методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения. Согласно этим методам весь процесс нагрева или охлаждения тел формально разделяется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным распространением фронта температурного возмущения от поверхности тела к его центру, а вторая – изменением температуры по всему объему тела вплоть до наступления стационарного состояния. Такое разделение теплового процесса на две стадии по времени позволяет осуществлять поэтапное решение краевых задач и для каждой из стадий в отдельности уже в первом приближении находить удовлетворительные по точности достаточно простые и удобные в инженерных приложениях расчетные формулы. В то же время эти методы обладают и существенным недостатком, заключающимся в необходимости априорного выбора координатной зависимости искомой температурной функции. Обычно принимается квадратичная или кубическая парабола. Эта неоднозначность приводит к недостаточной точности решения, так как, принимая заранее тот или иной профиль температурного поля, всякий раз будем получать различные конечные результаты.

Среди методов, в которых используется идея конечной скорости перемещения фронта температурного возмущения, наибольшее распространение получил интегральный метод теплового баланса [3, 4, 7, 11, 12, 31–36, 39–42]. С его помощью уравнение в частных производных удается свести к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями, решение которого довольно часто можно получить в замкнутом аналитическом виде. Интегральный метод, например, можно использовать для приближенного решения задач, когда теплофизические свойства не являются постоянными, а определяются сложной функциональной зависимостью, и задач, в которых совместно с теплопроводностью приходится также учитывать и конвекцию. В то же время этот метод имеет отмеченный выше недостаток – априорный выбор температурного профиля, что приводит к низкой точности решения.

Многочисленные примеры применения интегрального метода к решению задач теплопроводности приведены в работе Т.Гудмена [11]. В этой работе наряду с иллюстрацией больших его возможностей показана и его ограниченность. Так, несмотря на то что многие задачи успешно решаются интегральным методом, существует целый класс задач, для которых этот метод практически неприменим. Это, например, задачи с импульсным изменением входных функций. Причина обусловлена тем, что температурный профиль в виде квадратичной или кубической параболы не соответствует истинному профилю температур для таких задач. Поэтому, если истинное распределение температуры в исследуемом теле принимает вид немонотонной функции, то получить удовлетворительное решение, согласующееся с физическим смыслом задачи, ни при каких условиях не удается.

Очевидный путь повышения точности интегрального метода – использование полиномиальных температурных функций более высокого порядка. В этом случае основные граничные условия и условия плавности на фронте температурного возмущения не являются достаточными для определения коэффициентов таких полиномов. В связи с чем, возникает необходимость поиска недостающих граничных условий, которые совместно с заданными позволили бы определять коэффициенты оптимального температурного профиля более высокого порядка, учитывающего все физические особенности исследуемой задачи. Такие дополнительные граничные условия могут быть получены из основных граничных условий и исходного дифференциального уравнения путем их дифференцирования в граничных точках по пространственной координате и по времени [31–36, 39–42].

При исследовании различных задач теплообмена полагают, что теплофизические свойства не зависят от температуры, а в качестве граничных принимают линейные условия. Однако, если температура тела изменяется в широких пределах, то ввиду зависимости теплофизических свойств от температуры уравнение теплопроводности становится нелинейным. Его решение значительно усложняется, и известные точные аналитические методы оказываются неэффективными. Интегральный метод теплового баланса позволяет преодолеть многие трудности, связанные с нелинейностью краевых задач как в основном уравнении, так и в граничных условиях. Этот метод эффективен применительно к решению краевых задач с переменными по пространственной координате физическими свойствами среды, с переменным начальным условием, с переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты, задач гидродинамики и теплообмена для жидкостей, включая динамический и тепловой пограничные слои и других задач. Результаты исследований, связанные с получением аналитических решений практически всех перечисленных выше задач, представлены в настоящей книге.

Краевая задача нестационарной теплопроводности содержит такое количество начальных и граничных условий, которое необходимо для нахождения неопределенных констант, появляющихся в результате интегрирования основного дифференциального уравнения. И, в частности, для одномерного уравнения нестационарной теплопроводности необходимо иметь одно начальное (ввиду наличия в уравнении первой производной от искомой функции по времени) и два граничных (ввиду наличия второй производной по пространственной переменной) условия. Нахождение точного аналитического решения заключается в определении такой аналитической зависимости искомой функции от пространственной переменной и времени, которая будет точно удовлетворять основному дифференциальному уравнению и краевым условиям задачи (начальному и граничным). В этом случае применительно к классическому параболическому уравнению нестационарной теплопроводности доказано, что решение существует, оно единственно и удовлетворяет принципу максимального значения (значение искомой функции не выходит за пределы начального и граничных условий).

Для тел конечных размеров точное аналитическое решение должно представлять бесконечный ряд, что связано со следующими обстоятельствами. С уменьшением x и tau для обеспечения сходимости ряда число его членов будет неограниченно возрастать. При этом ряд будет открытым, то есть не имеющим конечного числа его членов ввиду математической и физической невозможности согласования начального и граничного условий при x = 0 и tau = 0. К выполнению этих условий можно лишь приблизиться при x стремящемся к 0 и tau стремящемся к 0 через использование бесконечно большого числа членов ряда решения. Таким образом, начальное условие в принципе, не может быть выполнено точно. Следовательно, в момент времени приложения граничного условия температура в любой точке тела уже не равна начальной температуре, а меньше еñ на бесконечно малую на величину, что эквивалентно бесконечной скорости распространения теплоты.

В случаях, когда не удается непосредственно проинтегрировать основное дифференциальное уравнение краевой задачи, применяются различные приближенные методы исследования – совместное использование методов Фурье и Бубнова–Галеркина, Фурье и Л.В.Канторовича, интегральных преобразований Лапласа и вариационных методов и др. Во всех этих методах по неограниченной области определения параболической (временной) переменной применяется точный метод (Фурье, интегральных преобразований и др.), а по ограниченной области изменения эллиптических (пространственных) координат – приближенный метод (вариационный, взвешенных невязок, коллокаций и др.). После разделения переменных (или применения интегральных преобразований по временной координате) краевая задача относительно эллиптических координат решается одним из приближенных методов (Ритца, Бубнова–Галеркина и др.). Решение в данном случае разыскивается в виде конечного ряда, содержащего некоторые неизвестные коэффициенты и так называемые координатные функции, которые выбираются таким образом, чтобы при любых значениях неизвестных коэффициентов граничные условия краевой задачи выполнялись точно. Неизвестные коэффициенты решения находятся из выполнения обыкновенного дифференциального уравнения по пространственной переменной, полученного в результате разделения переменных (или применения интегрального преобразования) в основном дифференциальном уравнении краевой задачи. Для этого составляется невязка обыкновенного дифференциального уравнения и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям (решение краевой задачи Штурма–Лиувилля). В итоге относительно неизвестных коэффициентов получается система алгебраических линейных уравнений, матрица которых, являясь заполненной квадратной матрицей с большим разбросом ее членов по абсолютной величине, как правило, плохо обусловлена. Алгебраические полиномы, получаемые из такого вида матриц, приводят к неточным значениям собственных чисел. Причñм, точность их нахождения с увеличением числа приближений может не улучшаться, а ухудшаться.

Таким образом, плохая обусловленность матриц систем алгебраических линейных уравнений, к решению которых приводят перечисленные выше приближñнные аналитические методы, является главной причиной их недостаточной эффективности, связанной с трудностями получения высокоточных решений ввиду принципиального ограничения по числу приближений.

Для преодоления указанных трудностей в работах [31–36, 39–42] предложены методы построения дополнительных граничных условий, являющихся эффективным средством решения проблемы плохой обусловленности матриц систем алгебраических линейных уравнений, что объясняется следующими обстоятельствами. При отсутствии дополнительных граничных условий принимаемое решение в виде алгебраического (или тригонометрического) полинома заранее точно удовлетворяет лишь граничным условиям задачи. Выполнение уравнения и начального условия осуществляется через решение соответствующих систем алгебраических линейных уравнений, имеющих плохо обусловленные матрицы. Основное отличие применения дополнительных граничных условий в том, что при их использовании искомое решение с самого начала точно удовлетворяет основным граничным условиям, а также дифференциальному уравнению в граничных точках и на фронте температурного возмущения (для задач, в которых такой фронт вводится). Выполнение основных и дополнительных граничных условий также осуществляется через решение систем алгебраических линейных уравнений, однако в данном случае эта система является сильно разреженной (с большим количеством нулевых членов). Более того, ввиду применения дополнительных граничных условий, представляющих производные высокого порядка от искомой функции по пространственной переменной, система уравнений имеет цепочный вид. В связи с чем, неизвестные в большей части уравнений разделяются, и они легко могут быть найдены для достаточно большого числа приближений на точном аналитическом уровне. Поэтому проблема плохой обусловленности матриц в данном случае практически не возникает.

Отметим, что дополнительные граничные условия не входят в исходную математическую постановку и поэтому они еñ никоим образом не изменяют. Они являются лишь вспомогательным средством, применяемым на определенном этапе процесса получения решения задачи. Их физический смысл в том, что их выполнение искомым решением является выполнением исходного дифференциального уравнения и производных от него различного порядка в граничных точках (и на фронте температурного возмущения). И чем большее количество таких условий будет использовано, тем лучше будет выполняться исходное уравнение не только на границах, но и внутри рассматриваемой области в течение всего времени протекания процесса теплопроводности.

Об авторах

Кудинов Василий Александрович

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета (СамГТУ). Автор более 200 научных работ, в том числе 56 статей, зарегистрированных в базах данных Scopus, 13 — в Web of Science, 25 книг, напечатанных в 32 изданиях. Область научных интересов: математическое и компьютерное моделирование энергетических процессов и систем, локально-неравновесные процессы переноса тепла, массы, импульса с учетом релаксационных явлений.

Кудинов Игорь Васильевич

Кандидат технических наук, доцент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Самарского государственного технического университета (СамГТУ). Президентский стипендиат, дважды лауреат конкурса «Молодой ученый». Автор более 100 научных работ, в том числе 10 книг, 20 статей в центральных изданиях, индексируемых в международных базах цитирования Web of Science и Scopus. Индекс Хирша — 5.