Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности Изд. стереотип.

Оглавление

Из введения

Видное место в геометрии n-мерных римановых пространств V_n и пространств аффинной связности А_n занимает учение о движениях в этих пространствах. Со времени С.Ли [1], [68], впервые поставившего вопрос о движениях в римановых пространствах, теория движений достойно привлекает внимание многих математиков до наших дней. Среди большого числа результатов, относящихся к этой области, мы отметим лишь основные уравнения Киллинга, связывающие координаты бесконечно малого движения с составляющими фундаментального тензора риманова пространства, классификацию Л.Бианки двухмерных и трехмерных римановых пространств по группам движений, результаты о свойствах траекторий одночленных групп движений в римановых пространствах, полученные Г.Риччи и Г.Фубини.

В связи с этими исследованиями выясняется возможность движений в конформно-евклидовых пространствах (Левин), в пространствах Эйнштейна (И.Эйслянд) и устанавливается, что всякое риманово пространство, геодезически соответствующее риманову пространству, допускающему группу движений с г параметрами, допускает группу движений с тем же числом параметров (М.Кнебельман). Укажем далее теорему о том, что римановы пространства V_n постоянной кривизны характеризуются максимальной группой движений с n(n + 1)/2 параметрами и важную теорему, доказанную в 1903 году Г.Фубини, о несуществовании римановых пространств с полной группой движений порядка n(n + 1)/2 – 1.

Вопрос о движениях в пространствах аффинной связности А_n, составляющий тему предлагаемой работы, впервые был поставлен Л.П.Эйзенгардтом и М.С.Кнебельманом в 1927 году. Они получили систему дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка, определяющую составляющие бесконечно малого движения в аффинносвязном пространстве, определенном в Х_n коэффициентами перенесения LAMBDA^alpha_{beta gamma}, и показали, что пространство LAMBDA_n тогда и только тогда допускает n² + n-членную группу движений, если оно является обычным аффинным пространством Е_n.

Большой интерес представляют исследования Э.Картана [67], относящиеся к тому же периоду, по движениям в групповых пространствах аффинной связности. В последнее время проф. Московского университета П.К.Рашевский получил важные результаты в теории симметрических пространств аффинной связности с кручением со стороны наперед заданной группы движений: в [3] показывается алгоритм построения аффинной связности во всяком однородном пространстве с транзитивной группой G_r , если Картанова метрика в алгебре Ли этой группы является невырожденной на плоскости операторов, отвечающей стационарной подгруппе.

X. Робертсон в [71] рассмотрел условия возможности движений в пространствах аффинной связности с кручением, допускающих абсолютный параллелизм.

Однако имеет ли место в аффинно связных пространствах предложение, соответствующее теореме Фубини в римановых пространствах: существуют ли пространства аффинной связности, обладающие полными группами движений порядка n² + n – 1?

Этот вопрос до недавнего времени был открытым и полностью решен нами в 1945 году в кандидатской диссертации [9]. В ней показано, что максимальный порядок групп движений пространств аффинной связности без кручения А_n ненулевой кривизны точно равен n². Другими словами, не существует пространств аффинной связности А_n, для которых порядок r полных групп движений удовлетворяет неравенствам n₂ < r < n₂ + n, причем случаю r = n² + n отвечает только аффинно-евклидово пространство (пространство первой лакунарности).

В первой главе настоящей работы приводится упрощенный способ получения результата о максимальном порядке групп движений пространств А_n ненулевой кривизны. В ней решается также задача определения в Х_n всех максимально подвижных пространств А_n (пространств, допускающих группу движений порядка r = n²), устанавливается транзитивность полных групп движений в этих пространствах и выписываются необходимые и достаточные условия в тензорной форме того, чтобы заданное А_n ненулевой кривизны было максимально подвижным в указанном смысле. Эти пространства вместе с пространствами А_n, допускающими п² – 1-параметрическую полную группу движений, составляют пространства второй лакунарности.

Мы нашли далее максимальный порядок групп движений пространств А_n, не являющихся проективно-евклидовыми. Показано также, что максимальный порядок групп движений пространств А_n, для которых симметрическая часть тензора Риччи имеет ранг, равный т(0 =< m =< n), точно равен n² – ( m – 1)n + т (m – 1)/2. Классы получающихся таким образом максимально подвижных пространств включают все симметрические проективно-евклидовы пространства, изученные проф. Казанского университета П.А.Широковым.

В случае пространств А_n, отличных от эквиаффинных, показано, что их максимальный порядок равен точно п² – n + 1. Все такие группы движений оказались транзитивными, а сами пространства-проективно-евклидовыми. Устанавливается, что максимальный порядок интранзитивных групп движений пространств А_n равен точно n² – 1. Непосредственно предшествующий порядок интранзитивных групп движений равен n² – n. В случае транзитивных групп движений показывается, что не существует групп движений порядка r, где n² – n + 1 < r < n².

Об авторе

Егоров Иван Петрович

Известный отечественный математик и педагог. Родился в селе Большая Садовка (ныне Пензенская обл.). Окончил Казанский университет (1939), работал в Пензенском государственном педагогическом институте (ПГПИ). Также преподавал в Горьковском педагогическом институте и университете, в Мордовском университете. В 1945 г. стал кандидатом физико-математических наук, в 1956 г. защитил докторскую диссертацию, с 1957 г. — профессор.

И. П. Егоров — автор трудов по алгебре и дифференциальной геометрии, учебных пособий по неевклидовой геометрии. Возглавляя кафедру высшей математики ПГПИ, он создал Пензенскую математическую школу по движениям в обобщенных пространствах. С 1960 г. в институте функционировала аспирантура под его руководством. Более 70 его научных работ получили широкую известность и признание не только в СССР, но и за рубежом, способствовав появлению новых исследований в США, Японии, Румынии и других странах. Заслуженный деятель науки РСФСР (1970), дважды избирался депутатом Верховного Совета СССР. Награжден орденом Трудового Красного Знамени.