Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа.
(С присоединением статьи переводчика 'Доказательство существования трансцендентных чисел'). Пер. с нем. Изд. стереотип.

Содержание

От переводчика

Приступая к переводу этого небольшого сочинения на русский язык, мы, с одной стороны, руководствовались назревшею у нас, как нам кажется, потребностью отдать себе ясный отчет в тех началах, которые лежат в основе арифметики вообще и арифметики иррациональных в частности; с другой стороны, нам казалось, что в маленькой брошюре Дедекинда яркая образность и высокая отвлеченность соединены в той мере, в какой это необходимо для того, чтобы уяснить читателю ход возникновения современной вполне отвлеченной идеи об иррациональном числе и возможность применения этой идеи к предметам более или менее конкретного характера – к геометрическим образам. Наш перевод кажется нам тем более уместным, что в последнее время появились в переводе на русский язык работы Гельмгольца и Кронекера, посвященные научному обоснованию теории рациональных чисел. Знакомство с этой теорией существенно необходимо и для понимания Дедекиндовой теории иррациональных чисел. Особенно важен тот факт, что теория рациональных чисел может быть построена на определении чисел, как знаков, символов, которые расположены в установленной раз навсегда последовательности и которыми могут отмечаться некоторые соотношения между вещами. Сами по себе эти знаки могут быть какой угодно природы-это могут быть звуки, цвета, тела, понятия и т.д., распределенные в некотором неизменном порядке. Важность установления такой неизменной в своем порядке системы знаков заключается в "способности нашего духа, как говорит Дедекинд, устанавливать соответствие между этими знаками и индивидуумами какой бы то ни было группы вещей, благодаря чему мы вносим определенный порядок и в эту последнюю группу.

Когда при ближайшем исследовании вещей в них усматриваются такие свойства или соотношения, которые не могут характеризоваться установленными знаками-числами, то создают, если это выгодно, новые знаки такого рода, чтобы ими могли характеризоваться вновь усмотренные соотношения вещей. Можно, если угодно, называть числами и эти новые знаки, можно их так и не называть. Выгоднее, однако, бывает распространить термин "число" и на вновь вводимые символы. Таким образом, к ряду символов, названных целыми числами, были прежде всего присоединены новые символы, также названные числами, именно дробными числами. Этому дало повод то обстоятельство, что целыми числами нельзя или, по крайней мере, весьма неудобно характеризовать такие явления, которыми сопровождается распадение предмета на части. Когда при некоторых исследованиях оказывается удобнее считать предметы, расположенные в линейном порядке, не от крайнего (крайнего может и не быть), а от какого-либо промежуточного предмета, в обе стороны от него, то представляется выгодным присоединить к прежним символам новые символы-отрицательные числа.

Мы не будем больше говорить об этом. Укажем только, что введение новых символов может обусловливаться не объективными свойствами вещей, к которым мы обыкновенно эти символы относим, а стремлением подчинить старые символы некоторым новым требованиям, несовместимым с теми свойствами этих символов, которые служили им определениями. Так, например, когда мы располагаем только тем рядом знаков, который мы называем системой рациональных чисел, и ищем число х (конечно, рациональное, ибо других чисел мы еще не установили), которого квадрат равен данному положительному числу а, то оказывается, что для некоторых а это число х существует, для других же его совсем нет, т.е. бывает так, что среди символов – рациональных чисел – нет такого, квадрат которого равен а. Мы можем в этом случае ввести в наши исследования новый символ, квадрат которого равен а, можем назвать и этот символ числом, например, радикальным числом, можем его обозначить через a^1/2, sqrt(a), или как-нибудь иначе. Можем всего этого и не делать. В последнем случае устанавливаем такую теорему: некоторые положительные числа имеют, другие не имеют квадратных корней; если же знаки квадратных корней из положительных чисел введены, то будем иметь такую теорему: каждое положительное число имеет квадратный корень. Обе теоремы верны, ибо в последней подразумевается, что те положительные числа, которые не имеют корней среди старых символов, имеют корни среди новых.

У самого Дедекинда определение числа, как символа, нигде явно не высказано, но такое определение числа явно вытекает из рассуждений, изложенных в другом его сочинении: Was sind und was sollen die Zahlen. По нашему мнению, существенно важно знать, что на иррациональные числа (так же, как и на всякие другие) можно смотреть, как на чистые знаки, которые могут быть и действительно бывают весьма полезны, между прочим, по той причине, что этими знаками удобно выражаются реальные свойства вещей.

Распределение чисел на два класса, на класс чисел алгебраических и класс трансцендентных чисел, представляет собою дальнейший шаг в теории развития понятия о числе. Мы сочли поэтому уместным присоединить к статье Дедекинда статью, которая содержала бы основную теорему, лежащую в основании этой классификации, – теорему о существовании трансцендентных чисел. Статья эта, напечатанная в свое время на страницах "Вестника опытной физики и элементарной математики" (N 233), содержит известное Канторово доказательство упомянутой теоремы.

Предисловие автора

Рассуждения, составляющие предмет этого маленького сочинения, относятся к осени 1858 года. Тогда я, в качестве профессора Союзного Политехникума в Цюрихе, в первый раз обязан был по своему положению излагать элементы дифференциального исчисления и при этом чувствовал живее, чем когда-либо, недостаток в действительно научном обосновании арифметики. При изложении понятия о приближении переменной величины к постоянному пределу, и именно при доказательстве того положения, что величина, которая возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, должна приближаться к некоторому пределу, я прибегал к геометрической наглядности. Да и теперь я из дидактических оснований считаю такое привлечение геометрической наглядности при первом обучении дифференциальному исчислению необычайно полезным, даже неизбежным, если не хотят потратить слишком много времени. Но никто не станет отрицать того, что этот способ введения в изучение дифференциального исчисления не может иметь никакого притязания на научность.

Во мне тогда это чувство неудовлетворенности преобладало в такой степени, что я принял твердое решение думать до тех пор, пока не найду часто арифметического и вполне строгого основания для начал анализа бесконечных. Говорят часто, что дифференциальное исчисление занимается непрерывными величинами, однако же нигде не дают определения этой непрерывности, и даже при самом строгом изложении дифференциального исчисления доказательства не основывают на непрерывности, а апеллируют, более или менее сознательно, либо к геометрическим представлениям, либо к представлениям, которые берут свое начало в геометрии, либо, наконец, основывают доказательства на положениях, которые сами никогда не были доказаны чисто арифметическим путем. Сюда относится, например, и вышеупомянутое положение. Более точное изыскание убедило меня в том, что это или всякое другое эквивалентное ему предложение может до известной степени рассматриваться, как достаточный фундамент для анализа бесконечных. Все сводится только к тому, чтобы открыть настоящее начало этого положения в элементах арифметики и вместе с этим приобрести действительное определение существа непрерывности. Это мне удалось 24+ ноября 1858 года, и, несколько дней спустя, я сообщил результаты своих размышлений моему дорогому другу Durege'y, что повело к продолжительной и оживленной беседе. Впоследствии я излагал эти мысли о научном обосновании арифметики то одному, то другому из моих учеников, читал также об этом предмете доклад в ученом обществе профессоров здесь, в Брауншвейге, но я не мог окончательно решиться на действительное опубликование, потому, во-первых, что изложение представляется не легким, и потому еще, что и самый предмет так мало плодовит. Несколько дней назад, 14 марта, в то время, как я наполовину стал уже подумывать о том, чтобы избрать эту тему предметом настоящего юбилейного сочинения), ко мне в руки попала, благодаря любезности ее автора, статья Е. Heine (Crelle's Journal. Bd.74), которая и подкрепила меня в моем решении. По существу я вполне согласен с содержанием этого сочинения, но должен откровенно сознаться, что мое изложение кажется мне более простым по форме и более точно выдвигающим настоящее ядро вопроса. В то время, как я писал это предисловие (20 марта 1872 г.), я получил интересную статью "Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen" G.Cantor'a (Mathem. Annalen von Clebsch und Neumann Bd.5), за которую высказываю искреннюю благодарность остроумному автору. Как мне кажется при быстром чтении, аксиома в & 2 вполне согласуется, независимо от внешней формы изложения, с тем, что я отмечаю ниже в & 3, как сущность непрерывности. Какую же пользу представит выделение, хотя бы только в понятии, вещественных чисел еще более высокого порядка, я, согласно с моим пониманием системы вещественных чисел, как совершенной в самой себе, еще признать не в состоянии.

Об авторе

Известный немецкий математик, член Берлинской академии наук. Родился в Брауншвейге. Учился в Геттингенском университете, был учеником К. Гаусса и П. Дирихле. В 1858 г. начал преподавать в Техническом университете в Цюрихе. В 1859 г. вместе с университетским другом, выдающимся математиком Б. Риманом, совершил поездку в Берлин, где встречался с К. Вейерштрассом, Э. Куммером и другими видными математиками берлинской школы. С 1862 г. – профессор Высшей технической школы в Брауншвейге.

Основные работы Р. Дедекинда относятся к теории алгебраических чисел. Результаты, полученные им в этой области, он собрал в специальный "Одиннадцатый" том дополнений к трудам Дирихле. Он одним из первых дал теоретико-множественное обоснование теории действительных чисел, сформулировал систему аксиом арифметики (обычно называемую аксиомами Пеано), ввел в математику в самом общем виде теоретико-множественное понятие отображения. Ему принадлежит ряд идей в теории чисел, в которую он ввел много новых понятий, таких, например, как кольцо, идеал, группа, лежащих в основе современной алгебры. Кроме того, Р. Дедекинд был редактором посмертных изданий избранных трудов Дирихле, Гаусса и Римана.