Борисович Ю.Г.✦, Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений Изд. стереотип.

Содержание

Из предисловия к первому изданию

Настоящее издание является расширенным, дополненным и исправленным вариантом книги "Введение в теорию многозначных отображений", вышедшей в 1986 г. в издательстве Воронежского университета и давно уже ставшей библиографической редкостью. За истекшие неполные двадцать лет многозначный анализ и теория дифференциальных включений продолжали развиваться очень бурно, находя новые приложения и новых сторонников. Весьма эффективные применения идей и методов теории многозначных отображений и дифференциальных включений в некоторых разделах современной математики, таких как теория оптимизации, негладкий и выпуклый анализ, теория дифференциальных уравнений, теория игр, математическая экономика и других, стали общепризнанными. Несмотря на появившиеся за это время несколько монографий и огромное число других публикаций, идея небольшой книги, дающей достаточно элементарное введение в предмет как для "прикладников", так и для "теоретиков", начиная со студентов старших курсов и аспирантов, стала, пожалуй, еще более актуальной, и мы признательны профессорам П.П.Забрейко и В.А.Мильману и издательству "Едиториал УРСС" за предложение подготовить это издание.

Основному изложению предпослана нулевая глава, где приводятся необходимые определения и сведения, в основном, из топологии.

Первая глава книги начинается примерами, показывающими насколько естественно возникает идея многозначного отображения в различных областях математики. Далее описываются типы непрерывности многозначных отображений, различные операции над многозначными отображениями и их свойства. Затем определяется понятие непрерывного однозначного сечения многозначного отображения и доказывается классическая теорема Майкла о существовании непрерывного сечения. Вводится понятие однозначной аппроксимации многозначного отображения и доказывается соответствующая теорема существования. В отличие от первого издания, мы приводим аналоги данных утверждений для многозначных отображений с разложимыми значениями. Завершает первую главу описание свойств измеримых многозначных функций. Мы приводим здесь доказательство известной по своим приложениям в теории управления леммы Филиппова и подробно изучаем свойства многозначного оператора суперпозиции. Здесь новыми элементами является рассмотрение многозначных функций со значениями в банаховом пространстве, изложение свойств многозначного интеграла и свойств мультиоператора суперпозиции, порожденного полунепрерывным снизу мультиотображением.

Вторая глава посвящена теории неподвижных точек многозначных отображений. Мы приводим теорему Надлера – многозначный аналог классического принципа Банаха неподвижной точки сжимающего отображения. По сравнению с первым изданием, мы добавили здесь рассмотрение сжимающих многозначных отображений, зависящих от параметра, топологической структуры множества неподвижных точек, приложений к уравнениям с сюръективными линейными операторами. Далее излагается теория относительной топологической степени компактных многозначных векторных полей в банаховом пространстве и даются ее приложения к доказательству ряда принципов неподвижной точки, включая известную теорему Какутани–Боненбласта–Карлина. Глава дополнена описанием топологических свойств множества неподвижных точек, теоремой Браудера–Фана о неподвижной точке и ее приложением к решению вариационных неравенств.

Вся третья глава отведена изучению дифференциальных включений и их приложений в теории управления. Этот раздел подвергся наиболее существенной переработке. Мы начинаем с ряда примеров, иллюстрирующих появление дифференциальных включений при описании управляемых систем, дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, в математической экономике. Затем, на базе развитых в предыдущей главе топологических методов, мы приводим теоремы существования решения задачи Коши для дифференциальных включений различных типов, дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и описываем свойства множеств решений. Систематическое применение теория топологической степени находит также и при исследовании периодической задачи для дифференциальных включений. Здесь выделим в качестве новых элементов рассмотрение случая полулинейного дифференциального включения и развитие метода направляющей функции. Далее мы изучаем вопрос об эквивалентности управляемых систем и дифференциальных включений и рассматриваем приложения к решению некоторых задач оптимизации.

Последняя глава посвящена приложениям в теории динамических систем, теории игр и математической экономике. Описываются основные свойства обобщенных динамических систем и их траекторий. Этот раздел дополнен вопросом о точках покоя динамических систем, который решается с помощью техники теории неподвижных точек. Последний раздел, отведенный приложениям к теоремам о равновесии в теории игр и математической экономике, является новым. В нем приводится общая теорема о точках равновесия в антагонистической игре и ее следствие для матричных игр. Рассматривается также вопрос о существовании равновесия в модели конкурентной экономики типа Эрроу–Дебре–Маккензи.

Книгу завершают комментарии по библиографии и дополнения, также написанные специально для настоящего издания. Необходимость литературных указаний особо подчеркивается тем обстоятельством, что по сравнению с первоначальным вариантом книги библиография существенно расширена. Дополнения кратко обрисовывают направления развития ряда разделов, описанных в настоящей работе.

Данная версия книги подготовлена Б.Д.Гельманом и В.В.Обуховским.

Предисловие ко второму изданию

Настоящее издание отличается от предыдущего следующими изменениями: исправлены замеченные опечатки и неточности, упрощены доказательства некоторых результатов, добавлен критерий полунепрерывности сверху многозначного отображения на языке последовательностей (см. Теорему 1.2.20). Расширен список литературы, в основном, за счет появившихся монографий, а также публикаций авторов за 2005–2010 годы. Соответствующим образом увеличились и библиографические указания.

Мы признательны профессору А.В.Арутюнову за полезные обсуждения.

К глубокому прискорбию, за время, прошедшее с момента выхода предыдущего издания, ушли из жизни Юрий Григорьевич Борисович и Анатолий Дмитриевич Мышкис. Нам хотелось бы посвятить это переиздание книги их светлой памяти.

Об авторах

(на фото – слева направо)

Юрий Григорьевич БОРИСОВИЧ (1930–2007)

Доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки РФ. Действительный член Академии нелинейных наук. Один из создателей и руководителей Воронежской школы топологических методов в нелинейном функциональном анализе. Автор свыше 200 научных работ, среди которых ряд монографий, в том числе известный учебник "Введение в топологию".

Борис Данилович ГЕЛЬМАН (род. в 1947 г.)

Доктор физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и геометрии Воронежского государственного университета. Основное направление научных исследований – применение теории многозначных отображений для изучения различных задач нелинейного анализа. Автор свыше 70 научных работ, в том числе двух монографий.

Анатолий Дмитриевич МЫШКИС (1920–2009)

Доктор физико-математических наук, заслуженный работник высшей школы. Действительный член Академии нелинейных наук. Основное направление исследований – дифференциальные уравнения (обыкновенные и с частными производными), функционально-дифференциальные уравнения, методология приложений математики, математические проблемы механики. Автор и соавтор около 330 научных работ, в том числе нескольких книг.

Валерий Владимирович ОБУХОВСКИЙ (род. в 1947 г.)

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и топологических методов анализа Воронежского государственного университета. Основное направление исследований – развитие и применение топологических методов нелинейного и многозначного анализа для изучения различных проблем, возникающих в теории систем, описываемых дифференциальными уравнениями и включениями в конечномерных и банаховых пространствах. Автор свыше 80 научных работ, в том числе трех монографий.