Голубов Б.И. Элементы двоичного анализа Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

В 1923 г. американский математик Дж.Л.Уолш построил ортонормированную систему функций, получившую название системы Уолша. Функции этой системы являются ступенчатыми на отрезке [0,1] и принимают всего два значения, а именно -1 и +1 на промежутках, концы которых являются двоично-рациональными числами. На базе системы Уолша в 1950 г. Н.Дж. Файн определил преобразование Уолша функций, заданных на положительной полуоси. Ядро этого преобразования, как и функции Уолша, принимает всего два значения -1 и +1 и постоянно на прямоугольниках, координаты вершин которых являются двоично-рациональными числами.

После появления компьютеров, в которых в основном используется представление чисел в двоичной системе счисления, функции Уолша и преобразование Уолша нашли широкое применение в различных областях математики, физики и других наук. Ряды Фурье–Уолша и преобразование Уолша применяются в вычислительной математике, теории кодирования, цифровой обработке сигналов и т.д.

Широкий диапазон применений обусловил большой интерес к теории рядов Фурье–Уолша и преобразования Уолша. Если до конца сороковых годов прошлого века число работ в этой области исчислялось единицами, то в течение следующих двадцати лет оно приблизилось к 150, а с тех пор удвоилось. В настоящее время теория рядов Фурье–Уолша и преобразования Уолша развита достаточно хорошо. Появились две монографии на эту тему (см.: Б.И.Голубов, А.В.Ефимов и В.А.Скворцов [1] и F.Schipp, W.R.Wade, P.Simon [1]), причем в двух главах первой из них рассматриваются разнообразные приложения в вопросах сжатия информации, в построении цифровых фильтров, в голографии, в задачах оптимизации и т.д.

Теория рядов Фурье–Уолша и преобразования Уолша составляет так называемый двоичный гармонический анализ, который в свою очередь есть часть двоичного анализа. Подобно тому, как основу обычного анализа составляют дифференцирование и интегрирование, основу двоичного анализа составляет двоичное дифференцирование и интегрирование. Понятие точечной двоичной производной впервые появилось в 1967 г. в работе Дж. Е.Гиббса [J.E.Gibbs [1]]. С тех пор это определение обобщалось и видоизменялось в различных направлениях. Библиография по теории и приложениям гиббсовских производных и связанных с ними интегралов в настоящее время содержит около 200 наименований. В 1974 г. появилась небольшая монография Й.Х.Вагнера [J.H.Wagner [2]], в которой изложены основные результаты о двоичном дифференцировании и интегрировании, полученные к тому времени. Некоторые результаты о двоичном дифференцировании и интегрировании изложены в упомянутых двух монографиях по двоичному гармоническому анализу.

Данная монография является попыткой изложения элементов двоичного анализа. При этом выбор материала в значительной мере обусловлен научными интересами автора. За исключением вводной первой главы материал остальных глав содержит результаты, полученные автором и в основном опубликованные в журнальных статьях.

Во второй главе излагается теория двоичного дифференцирования и интегрирования функций, заданных на положительной полуоси. При этом рассматриваются как точечные, так и сильные двоичные производные и интегралы, а также так называемый равномерный двоичный интеграл для функций из двоичного пространства Харди. Существование равномерного двоичного интеграла для функций из двоичного пространства Харди на положительной полуоси вытекает из двоичного аналога одного неравенства Харди, доказываемого в этой главе. Следует отметить, что в отличие от классической производной, существование которой обусловлено локальными свойствами функции, двоичная производная опирается на глобальные свойства функции. Существуют ступенчатые функции, которые всюду бесконечно двоично дифференцируемы. В то же время классическая производная такой функции равна нулю всюду, за исключением ее точек разрыва.

В третьей главе рассматриваются двоичные производные и интегралы дробного положительного порядка. Основные результаты второй главы распространяются на случай дробного двоичного дифференцирования и интегрирования. Рассматривается дробное интегрирование и дифференцирование интеграла по параметру. В частности, полученные результаты справедливы для дробного двоичного интегрирования и дифференцирования преобразования Уолша.

В четвертой главе рассматриваются двоичные аналоги тауберовых теорем Винера для пространств интегрируемых или квадратично интегрируемых функций на положительной полуоси. В качестве следствий получены критерии плотности в пространстве L(R₊) (или L²(R₊)) линейной оболочки, натянутой на множество всех двоичных сдвигов заданной функции из указанного пространства. Аналогичные критерии получены для пространств L[0,1) и L²[0,1).

В пятой главе рассматриваются два варианта двоичных интегральных операторов Харди и Харди–Литтлвуда. Изучается их взаимосвязь друг с другом и с операторами Харди и Харди–Литтлвуда. Доказывается, что первый вариант двоичного оператора Харди ограничен в двоичном пространстве Харди H(R₊), а первый вариант двоичного оператора Харди–Литтлвуда ограничен в двоичном пространстве BMO(R₊) функций ограниченной двоичной средней осцилляции.

В шестой главе вводится пространство двоичных обобщенных функций. Доказывается полнота этого пространства. Показывается, что всякая локально интегрируемая на положительной полуоси функция порождает двоичную обобщенную функцию, т.е. ее можно рассматривать как регулярную двоичную обобщенную функцию. Однако существуют и сингулярные двоичные обобщенные функции. Примером может служить двоичная дельта-функция Дирака. Кроме того, вводится пространство двоичных обобщенных функций медленного роста и доказывается, что любая локально интегрируемая на положительной полуоси функция, имеющая полиномиальный рост в окрестности +оо, порождает двоичную обобщенную функцию медленного роста.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность проф. Т.П.Лукашенко, проф. В.А.Скворцову и доц. С.С.Волосивцу, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд полезных замечаний, которые были учтены при окончательном редактировании.

Об авторе

Родился в 1939 г. Окончил механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова в 1961 г. (кафедра теории функций и функционального анализа), защитил кандидатскую (1964) и докторскую (1975) диссертации. Доктор физико-математических наук, профессор. Член Московского математического общества с 1969 г., Американского математического общества с 1993 г. Член редколлегии российско-венгерского журнала "Analysis Mathematica" (с 2005 г.). Преподает математический анализ и другие дисциплины в Московском инженерно-физическом институте (МИФИ) и Московском физико-техническом институте (МФТИ). Имеет более 80 научных публикаций.