|
Оглавление
Из главы 1: Эмпирическая геометрия
Геометрия как физико-математическая дисциплинаОсновы эмпирической геометрии как науки о непосредственно наблюдаемом пространстве были заложены в глубокой древности: в Египте, Вавилоне и Греции. Итоги многовековых размышлений о количественных соотношениях между видимыми, непосредственно наблюдаемыми объектами были подведены в III в. до н.э. Евклидом. И в течение почти 2,5 тысячелетий евклидова геометрия является одним из столпов школьной математики. Практически в неизменной форме она дошла до нашего времени. Случай этот уникален. Почти забыта физика Аристотеля, о математическом анализе Архимеда вспоминают лишь историки математики. Школьная же геометрия базируется по геометрии Евклида. Разница в основном лишь в методике изложения. В чем причины поразительной живучести евклидовой геометрии? На наш взгляд, ответ на этот вопрос содержит несколько пунктов. Во-первых, она хорошо отображает простейшие количественные отношения форм реальных объектов, во-вторых, евклидову геометрию характеризует поражающая логичность и методическая завершенность, наконец, евклидова геометрия является превосходной основой для воспитания логического мышления на общедоступных примерах, имеющих широкие практические приложения. Евклид (точнее, его геометрия) в достаточно общем виде решил одну из важнейших практических проблем: количественного сравнения реальных объектов с разными формами. Созданная им геометрия была облечена в столь безукоризненно изящную форму, что актуальная для современности проблема "практического внедрения" была решена без задержек. Несомненно, что "живучести" геометрии Евклида и ее быстрому "внедрению" способствовала ее адекватность кинематике абсолютно твердых тел. Неизменность их формы при перемещениях оптимально описывается в рамках евклидовой геометрии. Подчеркнем далее, что вместе с геометрией Евклида в математику вошла абстракция. Для геометрии (по крайней мере в ее привычной формулировке) безразлично, сравниваются ли, например, объемы однородных предметов (двух комнат) или различных (например, гаража и автомашины). Геометрия как часть математики отвлекается от сущности объекта исследования. И в этой особенности имеются как сильные, так и слабые стороны. Сила традиционной геометрии – в ее общности, универсальности. Слабость – в абстрагировании, создающем предпосылки для размытия основополагающих понятий геометрии, размытия, затрудняющего их сопоставление с реальными объектами, явлениями или процессами. До определенного времени этому обстоятельству не придавали серьезного значения, однако когда наступила пора подвергнуть основания геометрии критическому переосмысливанию, высветилась эта слабая сторона геометрии. Возникла парадоксальная ситуация: самая точная и, по-видимому, самая наглядная наука – геометрия – базируется на понятиях, не поддающихся точным определениям: точки, как объекта, лишенного протяженности, и линии, как объекта, характеризуемого длиной, но лишенного ширины. Если постараться, можно, используя тонкое перо, свести размеры "точки" или "ширины" линии до 0,1 мм, но и эта величина не соответствует геометрическому определению точки или линии. Опираясь на весьма тонкие оптические методы, можно уменьшить размеры точки до 10-10 см. Данные о рассеянии некоторых элементарных частиц свидетельствуют, что их размеры <10-16 см. Однако и в этом случае не исчезает "проклятый" вопрос: можно ли объекты, характеризуемые столь малыми величинами, полагать "точками"? Те же трудности возникают при попытках эмпирически воспроизвести другое основное понятие геометрии – прямую линию. Обычно полагают, что эталоном прямой является луч света, распространяющийся в пустом пространстве. Однако в соответствии с основными принципами оптики и квантовой механики ширина пучка света по порядку величины равна длине волны λ, а это значение невозможно свести к нулю. Но главная проблема, пожалуй, не в конечности величины λ. Положение о прямолинейности распространения света в пустоте (даже в пренебрежении значением λ) само является лишь постулатом, требующим независимого доказательства. В нашем распоряжении нет априорно идеальной линейки, которая позволила бы проверить прямолинейность распространения светового луча. Следовательно, это утверждение имеет лишь полуинтуитивное обоснование, базирующееся на том эмпирическом факте, что в нашем распоряжении нет других методов, позволяющих прочертить абсолютно прямую линию между двумя точками. Однако даже это свойство света не гарантирует его прямолинейность. Допустим, что двумерное пространство неевклидово с положительной кривизной, в простейшем случае – сферическое. Кратчайшее расстояние между двумя точками на сфере – отрезок большого круга, отнюдь не тождественный прямой. Поэтому утверждение: "световой луч прочерчивает прямую" эквивалентно тезису: "наше пространство плоское, евклидово". А этот тезис сам нуждается в эмпирическом обосновании. До конца 20-x гг. XIX столетия евклидова геометрия казалась незыблемой и единственной теорией пространства. В 1829 г. Н.И.Лобачевский опубликовал статью "О началах геометрии". В этой статье, так же как и в письме молодого венгерского математика Я.Больяи, переданном К.Гауссу, и, наконец, в неопубликованных заметках самого Гаусса утверждалось, что возможно построение непротиворечивой геометрии, не содержащей известный пятый постулат евклидовой геометрии. Этот постулат, гласящий, что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной, казался наиболее уязвимым (или наименее очевидным) априорным требованием евклидовой геометрии. Однако попытки вывести его из других аксиом оканчивались всегда неудачей. Поэтому был выбран другой путь: построение геометрии, основанной на всех аксиомах и постулатах Евклида, кроме одного. А именно, пятый постулат о параллельных был заменен: через одну точку можно провести либо бесконечное множество прямых, параллельных данной, либо ни одной. Необходимо подчеркнуть важное обстоятельство. Отрицание пятого постулата отнюдь не означает отрицания всей геометрии Евклида. Все остальные аксиомы его геометрии и сам дух этой науки сохранялись. Но отрицание даже одного утверждения Евклида имело далеко идущие последствия: возникла мысль, что геометрия Евклида не единственное и не последнее слово в геометрии. А такая мысль могла быть расценена в то время не иначе как ересь. (Известно, что Гаусс не опубликовал своих исследований по основам геометрии, опасаясь непонимания со стороны своих коллег.) Исключительно важным следствием скепсиса в отношении пятого постулата является постановка вопроса о необходимости его экспериментальной проверки. Непосредственная его проверка весьма затруднительна. Представляется даже уместным употребить слово "невозможна". Дело в том, что если (как отмечалось ранее) нет экспериментального критерия "прямизны" линии, то еще более сложно реализовать эмпирически несколько прямых и убедиться в отсутствии их пересечения на больших расстояниях. Однако пятый постулат о параллельных эквивалентен (в сочетании с другими аксиомами евклидовой геометрии) утверждению, которое в принципе подвергается непосредственной проверке. Согласно этому утверждению сумма углов треугольника равна π. Измерение углов – операция весьма разработанная, и поэтому проверку этого положения можно проделать с относительно хорошей точностью. Уже в первых работах по неевклидовой геометрии было продемонстрировано, что отклонение суммы углов треугольника от π (при отрицании постулата о параллельных) пропорционально площади треугольника. Поэтому казалось, что если провести измерения углов достаточно большого треугольника, то нетрудно проверить истинность (или ложность) пятого постулата. К сожалению, такой оптимистический вывод необоснован. Истоки трудностей предложенного метода проверки коренятся в принципиальной неопределенности термина "большое само по себе". В точных науках имеет смысл лишь утверждение "большое относительно чего-то". В упомянутом же выше утверждении отсутствует именно эталон, который вдохнул бы полноценное содержание в утверждение о сумме углов треугольника. Лобачевский и Гаусс (независимо) в своих попытках проверить евклидову геометрию, по-видимому, исходили из убеждения, продиктованного античной философией: "Человек – мера всех вещей". Поэтому казалось, что достаточно выбрать треугольник со сторонами, существенно превышающими размеры человека. Например, Гаусс измерил сумму углов треугольника со сторонами, во много раз (105) превышающими размеры человека. В результате измерений оказалось, что в пределах экспериментальных ошибок сумма углов треугольника равна π. Следует четко понимать, что в экспериментальном подходе к проверке пятого постулата метод, основанный на измерении суммы углов треугольника, может продемонстрировать отклонение от евклидовой геометрии, но не может доказать ее абсолютную справедливость. Действительно, какой бы треугольник в пределах наблюдаемой части Вселенной мы ни использовали в качестве образца, всегда можно утверждать, что его площадь мала, а точность наших приборов недостаточна для обнаружения отклонений от евклидовой геометрии. Все же известная польза от опытов Гаусса–Лобачевского (или аналогичных экспериментов) существует: если и есть отклонения от евклидовой геометрии, то они малы. Этот вывод верен по крайней мере для масштабов, существенно превышающих привычные земные расстояния. Однако присутствие массивных объектов изменяет кривизну пространства, что приводит к наблюдаемым эффектам. Например, к широко известному в астрофизике эффекту гравитационной линзы: наблюдаются многократные изображения квазаров, световые дуги от галактик с большим красным смещением и радиокольца, т.е. изображение точечного источника становится множественным или растягивается находящимися на пути распространения света или радиоволн галактиками или скоплениями галактик. Итак, с одной стороны, евклидовость пространства допускает опытную проверку. С другой стороны – евклидова геометрия как логическая система аксиом и теорем является лишь одной из возможностей. В дальнейшем мы продемонстрируем, что таких возможностей много, существенно больше, чем полагали основоположники неевклидовой геометрии. Для иллюстрации идеи неевклидовости пространства полезно привести достаточно простой пример. Пусть пространством является поверхность обычной двумерной сферы. В таком пространстве прямым соответствуют дуги большого круга, т.е. в таком пространстве все "прямые" пересекаются. Отметим также и другую важную особенность сферической геометрии. Если вырезать из сферы достаточно малую площадку, то геометрия будет имитироваться геометрией Евклида. Здесь полезно подчеркнуть, что подобный прием – вычленение из более сложной геометрии простейшей (в данном случае геометрии Евклида) с помощью выделения малой части полного пространства (здесь – сферы) – прием весьма распространенный, и мы далее столкнемся с ним не раз. После открытия одного варианта неевклидовой геометрии в последующем своем развитии геометрия как ветвь математики прошла весьма значительный путь. Были развиты многие другие неевклидовы геометрии (некоторые из них рассматриваются далее в этой книге). В подобной эволюции существенную роль сыграло внедрение в геометрию аналитических методов. По существу, геометрия слилась с алгеброй (точнее, с математическим анализом), оставив в своем арсенале лишь одну (хотя и важную) привилегию – определенную форму мышления, в которой большую роль играют образность и наглядность. Об авторах
Розенталь Иосиф Леонидович – доктор физ. мат. наук, профессор
Московского Инженерно-Физического Института (государственного университета),
старший научный сотрудник Института Космических Исследований РАН. Родился в
1919 г. в Москве. Окончил физический факультет МГУ в 1941 г. Служил на
Северном и Центральных фронтах вплоть до окончания войны в должности
командира батареи. Награжден орденом Отечественной войны и многими медалями.
Область научных интересов: космология, физика элементарных частиц,
астрофизика. Автор более 300 статей и 15 книг. Многие книги переведены на
английский, японский, немецкий и польский языки. Кандидатскую диссертацию
защитил в 1950 г., докторскую - в 1957 г. В 1962 г. получил звание
профессора.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Архангельская Ирина Владимировна – младший научный сотрудник Института
Астрофизики Московского Инженерно-Физического Института (государственного
университета). Родилась в 1973 г. в Москве. Окончила факультет
Экспериментальной и теоретической физики МИФИ в 1996 г., награждена за
дипломный проект медалью "За лучшую студенческую работу". Окончила
аспирантуру в 1999 г. Область научных интересов: космология, физика
элементарных частиц, астрофизика, фрактальный анализ. Автор около 30 статей
и одной книги.